第1章 第2节 常用逻辑用语(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第2节　常用逻辑用语 考试要求 考题分析 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 T7 - 2024年 - T2 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则p是q的______条件,q是p的______条件 p是q的____________条件 p⇒q且q p p是q的____________条件 p q且q⇒p p是q的______条件 p⇔q p是q的__________________条件 p q且q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 返回 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词:所有的、任意一个等,用符号“___”表示. (2)存在量词:存在一个、至少有一个等,用符号“___”表示. (3)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立” 可用符号简记为______________. (4)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中的元素x,p(x)成立” 可用符号简记为______________. ∀ ∃ ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 返回 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ______________ ∃x∈M,p(x) ______________ ∃x∈M, ¬p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 返回 【常用结论】 1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件; (2)若B⊆A,则p是q的必要条件; (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件; (5)若A=B,则p是q的充要条件. 返回 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 3.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1 3,4 返回 1.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=B D.命题“∃x∈R,sin2 +cos2 =”是真命题 【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确; B选项,任意三角形的内角和为180°,正确; C选项,由集合的运算知,正确; D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2 +cos2 =1,错误. 返回 2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1; 当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1. 则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件. 返回 3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题　 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题　 D. ¬p和¬q都是真命题 【解析】选B.由x=0时p不成立知p是假命题,由x=1时q成立知q是真命题,所以B选项正确. 返回 4.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件是(　　) A.m< B.m≤ C.m<- D.m< 【解析】选A.因为一元二次方程x2+x+m=0有实根,所以Δ=1-4m≥0,解得m≤. 又(-∞,]是(-∞,)的真子集,所以“(-∞,)”是“(-∞,]”的必要不充分条件. 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　充分、必要条件的判定 【例1】(1)(2025·天津模拟)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由|x-2|<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3,所以由1<x<2推得出|x-2|<1,故充分性成立; 由|x-2|<1推不出1<x<2,故必要性不成立,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件. 返回 (2)(2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.因为xy≠0,x+y=0,所以y=-x≠0,所以+=-2;令=t,则t+=-2, 化为t2+2t+1=0,解得t=-1,即=-1.故“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 返回 【思维升华】 判断充分条件、必要条件的三种方法 定义法 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定的特点,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性问题 等价 转化法 对于带有否定性词语的命题,要判断p是q的什么条件,只需判断¬q是¬p的什么条件 [提醒]定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题. 返回 【对点训练】 1.对于实数x,“x≠5”是“|x-3|≠2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.因为|x-3|≠2,等价于x≠1且x≠5,且(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)是(-∞,5) ∪(5,+∞)的真子集,所以“x≠5”是“|x-3|≠2”的必要不充分条件. 返回 2.明罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件. 返回 【加练备选】 (2025·连云港模拟)已知a,b,m是正数,“a<b”是“>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.由-==(b-a)>0,因为a,b,m是正数, 则>0, 可得>等价于b-a>0,等价于a<b, 所以“a<b”是“>”的充要条件. 返回 考点二　充分、必要条件的应用 【例2】(1)(2025·济南模拟)已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则(　　) A.a≥ B.0<a≤ C.a>2 D.0<a≤2 【解析】选A.命题p:1<2x<4,即p:0<x<2,因为p是q的充分不必要条件,显然当x=0时满足q:x2-ax-1<0,所以当0<x<2时,x2-ax-1<0恒成立,则a>x-在0<x<2上恒成立, 又函数f(x)=x-在(0,2)上单调递增,且f(2)=,所以a≥. 返回 (2)金榜原创·易错对对碰 ①已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要 条件,则m的取值范围是___________.  【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则 所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 答案:[0,3] 返回 ②已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},若¬P是¬S的必要不充分 条件,则m的取值范围是___________.  【解析】由已知可得P={x|-2≤x≤10}, 因为¬P是¬S的必要不充分条件, 所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈S x∈P. 所以[-2,10]⫋[1-m,1+m]. 所以或 所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 答案:[9,+∞) 返回 【思维升华】 由充分条件、必要条件求参数范围的策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)在求参数范围时,要注意端点值的检验,处理不当容易造成漏解或增解. 返回 【对点训练】 1.(2025·南昌模拟)已知p:“x>2”,q:“x2-x-a>0”,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. [-,2] B.(-∞,2] C. (-,+∞) D.[2,+∞) 【解析】选B.若p是q的充分不必要条件,故x2-x-a>0在x>2时恒成立,故得a<x2-x,令f(x)=x2-x,由二次函数性质得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则f(x)>f(2)=2,可得a∈(-∞,2]. 返回 2.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________, 若p是q的必要条件,则m的最小值为________.  【解析】因为|x|≤m(m>0),所以-m≤x≤m. ①由p是q的充分条件,得, 解得0<m≤1,所以m的最大值为1, ②由p是q的必要条件,得, 解得m≥4,所以m的最小值为4. 答案:1　4 返回 【加练备选】 (多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的 是(　　) A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0 B.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 C.方程无实数根的充要条件是m>1 D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0 返回 【解析】选AB.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0中,Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9, 两根和为3-m、两根积为m.若方程有一个正根和一个负根,则,解得m<0,故A对; 若方程有两个正根,则, 解得0<m≤1,故B对; 若方程无实数根,则Δ=m2-10m+9<0,解得1<m<9,故C错; 当m=3时,方程x2+(m-3)x+m=0可化为x2+3=0,显然无实数解,故D错. 返回 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 【例3】(2025·郑州模拟)命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定是(　　) A.∀x>0,x2+x-1>0 B.∀x>0,x2+x-1≤0 C.∃x≤0,x2+x-1>0 D.∃x≤0,x2+x-1≤0 【解析】选B.根据存在量词命题的否定为全称量词命题,即命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定为“∀x>0,x2+x-1≤0”. 返回 【对点训练】 (2025·青岛模拟)已知命题p:∀x∈(0,),sin x<x,则¬p为(　　) A.∃x∉(0,),sin x>x B.∃x∈(0,),sin x>x C.∃x∉(0,),sin x≥x D.∃x∈(0,),sin x≥x 【解析】选D.命题p:∀x∈(0,),sin x<x为全称量词命题,则¬p为∃x∈(0,),sin x≥x. 返回 角度2　含量词命题的真假判断 【例4】命题p:∀x>1,+2x-3>0,命题q:∃x∈R,2x2-4x+3=0,则(　　) A.p真q真 B.p假q假 C.p假q真 D.p真q假 【解析】选D.对于命题p:令t=>1,则y=t+2t2-3=2t2+t-3开口向上,对称轴为t=-,且y|x=1=0,则y=2t2+t-3>0, 所以∀x>1,+2x-3>0,即命题p为真命题; 对于命题q:因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程2x2-4x+3=0无解,即命题q为假命题. 返回 【对点训练】(2025·蚌埠模拟)下列四个命题中,是假命题的是(　　) A.∀x∈R,且x≠0,x+≥2 B.∃x∈R,使得x2+1≤2x C.若x>0,y>0,则≥ D.若x≥,则的最小值为1 返回 【解析】选A.对于A,∀x∈R,且x≠0,x+≥2对x<0时不成立; 对于B,当x=1时,x2+1=2,2x=2,x2+1≤2x成立,B正确; 对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,化为≥,当且仅当x=y>0时等号成立,C正确; 对于D,设y===[(x-2)+],因为x≥,所以x-2>0,所以 [(x-2)+]≥×2=1,当且仅当x-2=,即x=3时等号成立.故y的最小值为1,D正确. 返回 角度3　由含量词命题的真假求参数的值(范围) 【例5】(2025·漳州模拟)若∃α∈[0,+∞),cos α<m为真命题,则实数m的取值范围 为(　　) A.m≥1 B.m>1 C.m≥-1 D.m>-1 【解析】选D.若∃α∈[0,+∞),cos α<m为真命题,则m>(cos α)min.因为cos α在[0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1. 返回 【思维升华】 根据命题的真假求参数取值范围的步骤 (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (2)根据题意确定每个命题的真假; (3)由各个命题的真假列出关于参数的不等式(组)求解. 返回 【对点训练】 (2025·成都模拟)已知命题“∀x∈[1,4],ex--m≥0”为真命题,则实数m的取值范围 为(　　) A.(-∞,e-2] B. (-∞,e4-] C.[e-2,+∞) D. [e4-,+∞) 【解析】选A.因为命题“∀x∈[1,4],ex--m≥0”为真命题,所以∀x∈[1,4],m≤ex-. 令f(x)=ex-,x∈[1,4],y=ex与y=-在[1,4]上均为增函数,故f(x)为增函数,当x=1时,f(x)有最小值e-2,即m≤e-2. 返回 $