第1章 第1节 集合(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 分册一(第一章至第六章) 复习导学案 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1节　集合 考试要求 考题分析 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T1 T1 2023年 T1 T2 2024年 T1 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.集合的概念 (1)集合中元素的三个特征:________、________、________. (2)元素与集合的关系有______、________两种,用符号____,___表示. (3)集合的表示法:________、________、________. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 __ _________ ___ ___ ___ 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 N N*(或N+) Z Q R 返回 2.集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 (即若x∈A,则x∈B) ____________ 真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个 元素不在集合A中 ____________ 相等 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 _____ 空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集 ⌀ A⊆B或B⊇A A⫋B或B⫌A A=B 返回 3.集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 ________________ A∪B ______ 交集 ________________ ______ 补集 _______________ _____ {x|x∈A,或x∈B} A∪B {x|x∈A,且x∈B} A∩B {x|x∈U,且x∉A} ∁UA 返回 4.集合的运算性质 交集 A∩B=______,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩⌀=___,A⊆B⇒A∩B=___ 并集 A∪B=______,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪⌀=___,A⊆B⇒A∪B=___ 补集 ∁U(∁UA)=___,∁U⌀=___,∁UU=⌀,A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=___ B∩A ⌀ A B∪A A B A U U 返回 【常用结论】 1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 4.集合元素的个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中). 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 返回 1.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.任何一个集合都至少有两个子集 B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1} C.若{x2,1}={0,1},则x=0 D.对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立 【解析】选CD.A错误,空集只有一个子集. B错误,{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞), {(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.C,D正确. 返回 2.已知集合A={x∈N|x<3},则集合A的真子集个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.7 【解析】选D.由已知可得A={0,1,2},其真子集个数为23-1=7. 返回 3.(必修第一册P10例1变式)已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=}, 则A∪B=(　　)　　　　 　　　　　 A.(0,+∞) B.[0,2) C.(-∞,2] D.[0,+∞) 【解析】选D.因为A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={y|y=}={y|y≥0}, 所以A∪B=[0,+∞). 返回 4.(必修第一册P9T5变式)已知集合A={x|0<x<a},B={x|2<x<4},若B⊆A, 则实数a的取值范围是________.  【解析】依题意,如图,由图可知a≥4. 答案:[4,+∞) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　集合的含义与表示 【例1】(1)(2023·上海卷)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x∉Q},则M=(　　) A.{1} B.{2} C.{3} D.{1,2,3} 【解析】选A.因为P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P,x∉Q},所以M={1}. 返回 (2)(2025·南京模拟)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则集合B的元素个数为___________.  【解析】当x=1时,y=1,2,4,x-y分别为0,-1,-3,均不能满足x-y∈A; 当x=2时,y=1时可满足x-y=1∈A, 当x=2时,y=2,x-y=0,x=2时,y=4,x-y=-2均不满足x-y∈A; 当x=4时,y=2可满足x-y=2∈A,当x=4时,y=1,x-y=3,当x=4时,y=4,x-y=0 均不满足x-y∈A,所以B={(2,1),(4,2)},故集合B的元素有2个. 答案:2 返回 【思维升华】 解决与集合的基本概念有关问题的关键点 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合; (2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 返回 【对点训练】 1.(2025·济南模拟)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为(　　) A.{0} B.{1} C.{-1,1} D.{0,-1,1} 【解析】选D.因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1, 所以当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两个相等的实数根时,可得x=a2=1,即a=±1, 当方程有两个不相等的实数根时,x=a2=0,即a=0, 综上,实数a所有取值的集合为{0,1,-1}. 返回 2.若{a2,0,-1}={a,b,0},则(ab)2 026的值是(　　) A.0 B.1 C.-1 D.±1 【解析】选B.因为{a2,0,-1}={a,b,0},所以①或②, 由①得或,其中与元素互异性矛盾,舍去, 符合题意,由②得,符合题意, 两种情况分别代入(ab)2 026=(-1)2 026=1,答案相同. 返回 考点二　集合间的基本关系 【例2】(1)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2 B.1 C. D.-1 【解析】选B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意. 返回 (2)(2024·鹰潭模拟)已知集合A={x||x-1|≤2},B={-t,t},且B⊆A,则实数t的取值范围 是(　　) A.[-1,1] B.[-3,3] C.[-1,0)∪(0,1] D.[-3,0)∪(0,3] 【解析】选C.根据题意得到A={x|-1≤x≤3}, 由B⊆A,得,解得-1≤t≤1且t≠0. 故实数t的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 返回 【思维升华】 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性. (2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. [提醒]若有条件B⊆A,则应注意判断是否需要分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论. 返回 【对点训练】 1.(2025·南昌模拟)已知集合M={x|ln x<0},N={x|ex-a>0},若M⊆N,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(-∞,e] D.(-∞,e) 【解析】选A.由ln x<0得0<x<1,所以M={x|0<x<1},因为M⊆N,所以a<ex对∀x∈(0,1)恒成立,所以a≤1. 返回 2.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.  【解析】①若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2. ②若1∈B,则12+m+1=0, 解得m=-2,此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0, 解得m=-,此时B={2,},不符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). 答案:[-2,2) 返回 【加练备选】 (2025·太原模拟)在下列选项中,能正确表示集合A={-3,0,3}和B={x|x2+3x=0} 的关系的是(　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A∩B=⌀ 【解析】选B.由B={x|x2+3x=0},可得B={-3,0},因为A={-3,0,3},所以A⊇B. 返回 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 【例3】(1)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【解析】选D.因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81}, 所以∁A(A∩B)={2,3,5}. 返回 (2)(2025·沈阳模拟)已知M,N为全集U的非空真子集,且M,N不相等, 若(∁UM)∪N=U,则(　　) A.N⊆M B.M∪N=N C.(∁UM)∩N=⌀ D.M∪(∁UN)=U 【解析】选B.因为(∁UM)∪N=U,等价于∁UN⊆∁UM,等价于M⊆N,且M,N不相等, 可知集合M是集合N的真子集,故A错误; 且M∪N=N,故B正确;据此作出Venn图, 可知(∁UM)∩N≠⌀,M∪(∁UN)≠U,故C,D错误. 返回 【对点训练】 1.(2025·绵阳模拟)已知全集U=R,集合M={x|x2-2x-3≤0}和N={x|x=2k-1,k∈Z}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有(　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 【解析】选A.已知全集U=R,集合M={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},得阴影部分所示的集合为M∩N={-1,1,3},则阴影部分所示的集合的元素共有3个. 返回 2.(多选题)(2025·聊城模拟)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的定义出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F,且满足E∪F=Q,E∩F=⌀,E中的每个元素都小于F中的每个元素,称(E,F)为戴德金分割.下列结论正确的是(　　) A.E={x∈Q|x<1},F={x∈Q|x>1}是一个戴德金分割 B.存在一个戴德金分割(E,F),使得E有一个最大元素,F没有最小元素 C.存在一个戴德金分割(E,F),使得E有一个最大元素,F有一个最小元素 D.存在一个戴德金分割(E,F),使得E没有最大元素,F也没有最小元素 返回 【解析】选BD.对于A,因为E∪F={x∈Q|x≠1}≠Q,所以A错误. 对于B,设E={x∈Q|x≤1},F={x∈Q|x>1},满足戴德金分割,则E有一个最大元素1,F没有最小元素,所以B正确. 对于C,若E有一个最大元素,F有一个最小元素,则不能同时满足E∪F=Q,E∩F=⌀,所以C错误. 对于D,设E={x∈Q|x≤},F={x∈Q|x>},满足戴德金分割,此时E中没有最大元素,F中也没有最小元素,所以D正确. 返回 角度2　由集合的基本运算求参数的值(范围) 【例4】(1)(多选题)(2025·南昌模拟)设集合A={x|3x2-2x-1=0},B={x|ax-1=0}, 若A∪B=A,则a的值可以为(　　) A.1 B.0 C.- D.-3 【解析】选ABD.A={x|3x2-2x-1=0}={-,1},因为A∪B=A,所以B⊆A,当a=0时,B=⌀⊆A, 当a≠0时,B={x|ax-1=0}={}, 则=-或=1,所以a=-3或1, 综上所述,a=-3或0或1. 返回 (2)(2025·沧州模拟)已知集合P={x||x+1|<2},Q={x|x2-(a+1)x+a<0}.若P∪Q=P, 则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,1) B.[-3,1] C.(1,3] D.(-∞,1) 【解析】选B.由|x+1|<2,解得-3<x<1,所以集合P={x|-3<x<1}, 由x2-(a+1)x+a<0,可得(x-1)(x-a)<0,所以Q={x|(x-1)(x-a)<0}. 因为P∪Q=P,所以Q⊆P,当a>1时,不符合题意,所以Q={x|a<x<1},因为Q⊆P, 所以-3≤a≤1,即实数a的取值范围是[-3,1]. 返回 【思维升华】 求集合中含参数问题的两种方法和一个注意点 (1)两种方法 ①借助结论:A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B; ②利用集合的运算性质:化简集合之间的关系,有利于准确了解集合之间的联系. (2)一个注意点 集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时,要考虑B=⌀的情形,切不可漏掉. 返回 【对点训练】 1.已知集合A={x|-1≤x≤2 026},B={x|a≤x≤a+1}(a>0),若A∩B≠⌀,则a的取值范围 是(　　) A.(0,2 026) B.(0,2 026] C.(0,2 025) D.(0,2 025] 【解析】选B.由题意知A∩B≠⌀,再由a>0,得集合B中最小元素a应在集合A中,所以0<a≤2 026,即a的取值范围是(0,2 026]. 返回 2.已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪∁R B=R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 【解析】选A.因为B={x|1<x≤2},所以∁RB={x|x≤1或x>2},又A∪∁RB=R,所以a≤1. 返回 【加练备选】 1.(2025·宁德模拟)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A,则m的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 【解析】选D.由A∩B=A,故A⊆B,由|x-3|≤m,则-m+3≤x≤m+3, 则有,解得,即m≥5. 返回 2.设集合A={x|x2-2x-3<0,x∈R},B={x||x|>a,a>0},则A∪B=R,则实数a的取值范围 为________.  【解析】由题意A={x|x2-2x-3<0,x∈R}={x|-1<x<3},B={x||x|>a,a>0}= {x|x>a或x<-a,a>0},若满足A∪B=R,则∁R B⊆A,又因为∁R B={x|-a≤x≤a}, 所以,解得0<a<1. 答案:(0,1) 返回 $