专题02 二次函数与面积、线段、倍角问题（专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题02 二次函数与面积、线段、倍角问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数面积问题—割补法 1 题型二、二次函数面积问题—铅锤法 6 题型三、二次函数面积问题—平行转化法 8 题型四、二次函数面积问题—面价比转化为高/底边的比 18 题型五、二次函数线段问题—求平行于y轴的线段最值 25 题型六、二次函数线段问题—求平行于x轴的线段最值 28 题型七、二次函数线段问题—化斜为直 31 题型八、二次函数线段问题—等线段问题 38 题型九、二次函数线段问题—线段存在倍数关系 45 题型十、二次函数与等角问题 52 题型十一、二次函数与倍角问题 59 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数面积问题—割补法 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)_______，点A的坐标为_______，点B的坐标为_______； (2)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． 【答案】(1)3；； (2)9 【分析】本题考查待定系数法求解析式，抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象及性质，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点C的坐标代入函数解析式，然后求出k的值即可；令，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据点A在点B的左边，写出坐标即可； （2）把抛物线解析式整理成顶点式，得到点M的坐标，连接，分别求出、、的面积，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴，． 故答案为：3；；． （2）解：∵抛物线的解析式， ∴抛物线顶点为， 连接， ∵，，， ∴， ， ， ∴． 3．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与 轴交于点，与轴交于点， 点的坐标为． (1)求经过，，三点的抛物线的解析式； (2)将经过，，三点的抛物线如何平移能得到抛物线； (3)如果 为抛物线的顶点，连接， ，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的应用——面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由直线求出，，然后设抛物线解析式为，把代入求出的值即可； （）由（）得抛物线解析式为，则有，然后通过平移规律即可求解； （）由（）得，所以，过作轴于点，然后通过四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴， 当时，， ∴， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（）得抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到； （3）解：由（）得， ∴， 如图，过作轴于点， ∴四边形的面积 ． 题型二、二次函数面积问题—铅锤法 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为1 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，根据三角形的面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得， ∴． （2）解：的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 题型三、二次函数面积问题—平行转化法 6．（湖北省十堰市郧阳区外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一动点，若的面积是6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解方程组等知识点， （1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点，从而可得a的值，进而即可得解． （2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接，求出直线解析式为，直线解析式为，联立解方程组即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线， ∴对称轴为直线，令， 解得， ， 又， ， 代入解析式得， ； （2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立， 解得， 或． 8．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 题型四、二次函数面积问题—面价比转化为高/底边的比 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化． （1）根据待定系数即可求解； （2）①先求出中点的坐标，然后求出直线的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点坐标； ②先将面积比化为底之比得到，设，取的中点记为点，则，进行线段转化得到为的中点，再表示出点的坐标，最后代入直线的表达式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； （2）解：①解：当时，得， 解得，， ，， ∵点E是线段的中点， ∴， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点， ∴； ②设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设， 取的中点记为点，则，如图： ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 即， 将代入， 得：， 整理得：， 解得：， ∴点的横坐标为． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，经过定点A的直线交抛物线于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点． (1)直接写出点A的坐标； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由A为直线上的定点，可得k的系数为0，从而求得x值，则点A的坐标可得； （2）先求得顶点D的坐标，可得轴．分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为，，由的面积是面积的两倍得出．将抛物线解析式与直线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，方法一可以直接解方程，再结合求得答案． 【详解】（1）解：A为直线上的定点， ， ， ； （2）解：， ∴顶点， ， 轴． 分别过点B，C作直线的垂线， 垂足分别为M，N， 设B，C的横坐标分别为， ， ， ， ． 由 得， ， 由，得． ， 解得． ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）设出顶点式，将点代入求解即可； （2）①设，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，从而求出的长，过过点作轴，求出的长，再根据，列出方程进行求解即可； ②根据与面积之比是，得到与的面积之比为，进而推出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴； （2）①∵， 当时，，当，， 解得：， ∴， 设的解析式为，将，代入，得：， ∴， 设， 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴， 当时，； ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∵， ∴，解∶或（不合题意，舍去）， 经检验，原方程的解； ∴； ②∵与面积之比是， ∴与的面积之比为， ∵， ∴， 由①知：，， ∴，解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，计算量大，解题的关键是掌握的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解．属于压轴题． 题型五、二次函数线段问题—求平行于y轴的线段最值 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 13．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 14．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)当m时，PD是最大值 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数和直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）设，根据P、D的坐标求出长，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为， ∴将A、B两点代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令，则， ∴． （2）解：∵点P在直线上方， ∴， 由题知，， ∴， ∵， ∴当时，是最大值． 题型六、二次函数线段问题—求平行于x轴的线段最值 15．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 16．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等： （1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则，故当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，由对称性求出，再求出点的坐标为，即可得到直线的表达式为，则点的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值为； （3）设，则，，可得，，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接， 点与点关于对称轴对称， ， ， 当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长， 顶点坐标的横坐标为1， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 在中，当时， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，分别代入，得， 解得， 直线的表达式为， 将代入，得， 点的坐标为， ，， ， 的最小值为； （3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线，，直线的函数表达式为， 设， 令，得， ，， ，， ． ，， 当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为． 题型七、二次函数线段问题—化斜为直 17．（广西梧州市藤县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 18．（广东省汕头市潮南区陈店实验2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值是 【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答； （2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答； （3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案． 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小， 所以的周长最小值为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 19．（广东省广州市番禺区桥城中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试题）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 题型八、二次函数线段问题—等线段问题 20．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出，两点坐标； (2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标； (3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标是或； (3)直线经过一个定点，理由见解析 【分析】（1）令可得点和两点的坐标； （2）当时，，可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，设点的横坐标为，则点的坐标为，根据两点的距离公式和可得结论； （3）设点的坐标为，点的坐标为，表示点的坐标并代入抛物线的解析式中，计算的解析式可得结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，； （2）解：如图： 当时，， ， 设直线的解析式为：， ， ∴， 解得：， 的解析式为：， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 轴， ∴， ， ∴， ∴， 解得：（舍），，， 点的横坐标是或； （3）解：直线经过一个定点，理由如下： 设点的坐标为，点的坐标为， 由平移得：，， ， ∴， 即点的坐标为， 点在抛物线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ， 得：， ， ∵， ∴， 把代入得：， ∴， 直线的解析式为：， 直线经过一个定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移的性质． 21．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（左右），交轴于点，直线分别交抛物线于、，连接，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于．设点的横坐标为，线段的长力；求与的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）表示出利点坐标，即可解决问题； （3）延长交于，作轴交于，交于，作轴交于，得到是等腰三角形，得出，直线的解析式为，首先证明，得出，，得出，推出，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在上，， 设， 则， 解得：（舍去）或， ∴， ∵， ， 把、坐标代入抛物线得， 解得：，， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，作轴交于，交于，交轴于， 由题意可得，， ∴． （3）解：延长交于，作轴交于，交于，作轴交于， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵在上，，， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为中点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵的横坐标为2，且在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∵在第二象限， ∴正值舍去， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题，一次函数的应用，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 【答案】(1) (2)①3；②见解析 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）①先求出点，再求出点和点，用待定系数法求出直线的解析式为：，过E作轴交BC于点F，则点，则，最后由求解即可； ②设点，，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，求出，．设直线：，联立直线PE与抛物线的解析式．则，是方程：的两根，则①，设直线：，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，②，再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线． ∴ 解得：． ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，联立直线与抛物线的解析式得： ∴ 整理得： ∴， ∴点， ∵抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 令，得，解得，， 令，得， 点和点， 设直线的解析式为：（，且k，b为常数） 则有：，解得：． ∴直线的解析式为：， 过E作轴交BC于点F，则点， ， ∴ ， ， ； ②设点，， 如图， 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴，． 设直线：； 联立直线与抛物线的解析式． 则，是方程：的两根， ∴①， 同理：设直线：； 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴② ①+②得： ∴ ∵，，， ∴． 题型九、二次函数线段问题—线段存在倍数关系 23．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴，x轴上，点A的坐标为，，直线 和抛物线都经过、两点，且抛物线的对称轴为直线． (1)分别求直线和抛物线的解析式； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和抛物线于两不重合的点、．若求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数综合应用； （1）先确定坐标，再利用待定系数法求直线的解析式；接着利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一交点坐标为，则可设交点式，然后把点坐标代入求出得到抛物线解析式； （2）设，则，则利用得到，解或，然后分别解关于的方程可得到点坐标． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 解得， 直线的解析式为； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点的坐标为 抛物线与轴的另一交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （2）设，则， ， ， 或， 解方程，得，舍去， 此时点坐标为 解方程，得，， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 24．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 25．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式； （2）令，可得，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为，则， 把代入，得： ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ， 又轴， ∴轴， ， ， ， ， 又， ， 解得：，（不合题意，故舍去）， ∴的值为； （3）解：存在，点的坐标为或或或， 理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 又点是轴上方抛物线上的一点， 当时，， 解得：，， 点的坐标为或， 分情况讨论： 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型十、二次函数与等角问题 26．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 27．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点与点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则 ，根据、即可建立函数关系式求解； （3）作轴，设点，可求出；当时，，推出；分类讨论当点在轴上方时和当点在轴下方时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点与点代入得： ， 解得：， （2）解：作轴交于点，如图所示： 由（1）可知：,； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，； ∴； ∴； 设点，则 ∴， ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； （3）解：作轴，如图所示： 设点， 则； ∵， ∴； ∴当时，； 由可得， ∴当点在轴上方时，， 解得：（舍去）； 当点在轴下方时，， 解得：（舍去）； ∴点的坐标为或； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积、三角函数的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． 28．（2024·福建·模拟预测）抛物线过点，点与y轴交于点C，在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图，连接，当时，求点M的坐标； (3)如图，连接并延长交y轴于点N，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 【答案】(1)，点 (2)M的坐标为 (3)m的值为 【分析】（1）运用待定系数法求出解析式，得，当时，，即可作答． （2）先整理得，，，运用勾股定理得，运用等面积法计算得，设点，，，结合，则，解得，即可得M的坐标为； （3）运用待定系数法解出直线的表达式为，分别表示，，因为，所以，解出，即可作答． 【详解】（1）解：将点、代入得： ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点； （2）解：如图，过点A作交于点D， ∵，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 把代入，得， ∴M的坐标为； （3）解：∵，过点E作直线轴，交抛物线于点M ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 在中， 当时，， ∴点，， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，角度问题，二次函数的解析式，勾股定理，解直角三角形的相关计算，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十一、二次函数与倍角问题 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点B作轴，交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为F，证明出，设D点的坐标为，则，，再结合，，得出，即，求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，，解得；令，得， ∴，， 把，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点B作轴，交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为F， ∵轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设D点的坐标为，则，， ∵，， ∴，即， 解得（舍去），， 当时，， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，2倍角关系和三角函数，将2倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题． 30．（24-25九年级上·安徽·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 31．（23-24九年级下·四川南充·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为点交直线于点，设点的横坐标为长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线经过点，且与轴交于点．点为线段上的一点，连接交轴正半轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线解析式，设，则，，最后根据即可解答； （3）先求出点D的坐标，再求出的值，过点F作轴于点H，证明可得，再在上取点K，使得，连接，然后说明，再在中运用勾股定理可得；设F，则，根据点N在直线上列式求得t，进而确定点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线经过点、点B， 令， ∴，解得， ∴ 设直线解析式为 ∵，， ∴，解得： ∴直线解析式为： 设，则， ∴， 即． （3）解：由于直线交y轴于点D，又当时， ∴， 又∵ ∴， ∴， 过点F作轴于点H， ∵轴于点M， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 在上取点K，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得， 设F，则， ∴， ∵，， ∴， ∴点N的坐标是， 又∵点N在直线上 ∴，解得， 当时，， ∴点N坐标是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识点为解答本题的关键． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 33．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为4或2 (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质． （1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 令，则， ， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则， 则直线， 过点作轴交于，    设，则， ， ， ∴点的横坐标为4或2； （3）解：设直线与轴交于点，      则， ， ∴， ， ， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ． 34．（2024·安徽·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解； （3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，， ∴设二次函数的表达式为． 将点代入，得，解得． ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则． ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点P为线段的三等分点， ∴或，即或． ∴或． ∴点P的坐标为或； （3）解：不存在． 理由：假设在线段上存在点P，使得，则， 连接，如图所示， 则． 过点F作于点H，交于点G， 则 ． ∴． ∵，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为． 设，则，． ∴， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数解． ∴假设不成立． ∴在线段上不存在点P，使得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程． 35．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)设点的横坐标为，当为何值时，线段的长度最大，最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）设拋物线的表达式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将其配方即可得到顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式为，设，则，进而用含有的式子表示，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设拋物线的表达式为， 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线所对应的函数表达式为， 经配方得：， 拋物线的顶点的坐标为； （2）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 设，则． ， ，且， 当时，线段的长度最大，最大值为． 36．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 37．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 38．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入求出k值，进而求出点B的坐标，再将A，B的坐标代入，利用待定系数法求解； （2）将（1）中解析式变为顶点式求出对称轴，进而求出D点坐标，作轴，交直线于点E，设点P的横坐标为m，则，，则，，变形为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 直线解析式为， 将代入，得：， ， 将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线， 对称轴与直线交于点， ； 如图，作轴，交直线于点E， 设点P的横坐标为m，则，， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点P的坐标为． 39．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3) 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点，设点，则，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （3）解：设交轴于点，如图， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得： ， ， 令， 解得：， 点的横坐标为， 把代入得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 40．（2024·湖北武汉·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； (3)如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点E作轴于F，过点D作轴于G，设点，由，得，列出关于m的方程即可求解； （3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，，将A，D两点坐标代入得： ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：在第三象限内抛物线上找点E，使，如图1，过点E作轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴； （3）解：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由，得，即：， ∴，， ∴ ， ∵线段的中点是M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与面积、线段、倍角问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数面积问题—割补法 1 题型二、二次函数面积问题—铅锤法 3 题型三、二次函数面积问题—平行转化法 3 题型四、二次函数面积问题—面价比转化为高/底边的比 5 题型五、二次函数线段问题—求平行于y轴的线段最值 6 题型六、二次函数线段问题—求平行于x轴的线段最值 7 题型七、二次函数线段问题—化斜为直 8 题型八、二次函数线段问题—等线段问题 9 题型九、二次函数线段问题—线段存在倍数关系 10 题型十、二次函数与等角问题 12 题型十一、二次函数与倍角问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数面积问题—割补法 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)_______，点A的坐标为_______，点B的坐标为_______； (2)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． 3．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与 轴交于点，与轴交于点， 点的坐标为． (1)求经过，，三点的抛物线的解析式； (2)将经过，，三点的抛物线如何平移能得到抛物线； (3)如果 为抛物线的顶点，连接， ，求四边形的面积． 题型二、二次函数面积问题—铅锤法 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数面积问题—平行转化法 6．（湖北省十堰市郧阳区外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一动点，若的面积是6，求点P的坐标． 8．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 题型四、二次函数面积问题—面价比转化为高/底边的比 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，经过定点A的直线交抛物线于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点． (1)直接写出点A的坐标； (2)若，求k的值． 12．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 题型五、二次函数线段问题—求平行于y轴的线段最值 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 13．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 14．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 题型六、二次函数线段问题—求平行于x轴的线段最值 15．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 16．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 题型七、二次函数线段问题—化斜为直 17．（广西梧州市藤县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 18．（广东省汕头市潮南区陈店实验2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 19．（广东省广州市番禺区桥城中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试题）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 题型八、二次函数线段问题—等线段问题 20．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出，两点坐标； (2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标； (3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点． 21．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（左右），交轴于点，直线分别交抛物线于、，连接，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于．设点的横坐标为，线段的长力；求与的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若．求点的坐标． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 题型九、二次函数线段问题—线段存在倍数关系 23．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴，x轴上，点A的坐标为，，直线 和抛物线都经过、两点，且抛物线的对称轴为直线． (1)分别求直线和抛物线的解析式； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和抛物线于两不重合的点、．若求点的坐标． 24．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 25．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十、二次函数与等角问题 26．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 27．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2024·福建·模拟预测）抛物线过点，点与y轴交于点C，在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图，连接，当时，求点M的坐标； (3)如图，连接并延长交y轴于点N，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 题型十一、二次函数与倍角问题 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 30．（24-25九年级上·安徽·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．   31．（23-24九年级下·四川南充·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为点交直线于点，设点的横坐标为长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线经过点，且与轴交于点．点为线段上的一点，连接交轴正半轴于点，当时，求点的坐标． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 33．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 34．（2024·安徽·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)设点的横坐标为，当为何值时，线段的长度最大，最大值为多少？ 36．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 37．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 38．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，求的坐标． 39．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 40．（2024·湖北武汉·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； (3)如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $