2.5 三角函数的应用 同步学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2012）数学九年级上册

第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第2课时 方向角问题 列清单·划重点 知识点 方向角 　　如图所示，在平面上过观测点 O 作一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点 O出发的视线与铅垂线(南北方向线)的夹角，叫做点O的方向角. 　　如图所示，点 A 关于点O 的方向角为北偏东__________，点 B 关于点O 的方向角为南偏西__________. 注意 (1)方向角通常是以南北方向线(指南针)为主，分南偏东(西)或北偏东(西). (2)观测点不同，所得的方向角也不同.如图所示，观测点O关于点B 的方向角为北偏东60°，各个观测点的南北方向线或东西方向线是互相平行的. 明考点·识方法 考点 与方向角有关的实际问题 典例 如图,灯塔 A 周围 9 海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至 B处，测得灯塔 A 在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达 C 处，测得灯塔 A 在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险?(参考数据：0.530,cos32°≈0.848, tan32°≈0.625, 思路导析 本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.作AD⊥BC，设. 根据等腰直角三角形的性质用x表示出DC，根据正切的定义用x表示出BD，结合图形列出方程，解方程得到答案. 变式 某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地 A 测得小岛C 在它的北偏东 方向上，2小时后到达 B 处，测得小岛 C 在它的北偏西 方向上，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离.(参考数据： 结果精确到0.1km) 当堂测·夯基础 1.如图,一艘船由 A港沿北偏东 方向航行 30km至 B 港,然后再沿北偏西 方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离是 ( ) 第1题图 第2题图 2.一渔船在海上 A 处测得灯塔C 在它的北偏东( 方向，渔船向正东方向航行 12 海里到达点 B 处，测得灯塔C在它的北偏东 方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C 的最短距离是____________海里. 3.如图,CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在 A 处测得桥头C 在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头 D在北偏东 方向上.已知大桥 CD 长 300米,求桥头C到公路l 的距离.(结果保留根号) 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 30° 60° 【明考点·识方法】 典例 解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, 设AD=x海里,由题意,得∠ABD = 32°,∠ACD= 45°,BC=6海里, 在 Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD=x海里, 在 Rt△ABD中, 解得x=10,即AD=10海里, ∵10＞9,∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险. 变式 解：由题意，得. 80(km) 如图，过点 C 作 于点 D, 解得 所以，该船在航行过程中与小岛C的最近距离为 29.2km. 【当堂测·夯基础】 1. D 3.解:如图.延长 DC交直线l于点 H, 设 米，由题意，得 在 中, 米, 米, 米, 在 中, 米, 解得 米, 所以,桥头C到公路的距离为米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第1课时 仰角、俯角问题 列清单·划重点 知识点① 仰角与俯角 示意图 仰角与俯角 仰角: (如图所示)当从_______观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角 俯角:(如图所示)当从________观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角 注意 　 仰角、俯角是视线与水平线所成的锐角，不要误认为视线与铅垂线所成的锐角. 知识点② 运用解直角三角形的知识解决生产、生活中实际问题的步骤 一审：弄清题意，找出已知量和未知量； 二构：根据题意，画出示意图，并构造要求解的三角形，对非直角三角形通过作辅助线构造直角三角形“化斜为直”； 三选：将题中的已知角、线段转变为直角三角形的元素，选择恰当的元素间的关系式，解直角三角形； 四答：按照题中已知量的精确度或题中要求的精确度给出答案并注明单位；如题中未明确精确度，结果可保留最简根式的形式. 明考点·识方法 考点 与仰角、俯角有关的实际问题 典例 根据以下材料，完成项目任务. 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 图示: 说明:点 Q 为古塔底面圆圆心,测角仪高度AB=CD=1.5m,在B,D 处分别测得古塔顶端的仰角为32°,45°,BD=9 m,测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离 DG=12.9 m.点 B,D,G,Q在同一条直线上 参考数据 sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈ 0.625 项目任务： (1)求出古塔的高度； (2)求出古塔底面圆的半径. 思路导析 本题考查解直角三角形的应用——仰角、俯角问题、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.首先延长AC交PQ 于点H,则四边形CDQH、四边形ABQH 都为矩形，得出对边相等，设古塔底面圆的半径为x m，找等量关系，列方程，求x，则在Rt△PAH中可以求出两条直角边的值，最后再由PQ=PH+QH,即可得出答案. 变式 “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手了一台无人机用于航拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机 A 看建筑物顶部B 的仰角为 看底部 C的俯角为 无人机 A到该建筑物BC 的水平距离AD 为 10 米，求该建筑物BC 的高度.(结果精确到 0.1 米；参考数据: 当堂测·夯基础 1.日照灯塔是海滨港口城市日照的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC= 15.3m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1m，参考数据: ( ) A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m 2.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面 CD 的中点 A 处竖直上升 30米到达 B 处，测得博雅楼顶部 E 的俯角为 尚美楼顶部 F的俯角为 已知博雅楼高度 CE 为 15 米，则尚美楼高度DF 为_________米.(结果保留根号) 3.“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达 A点时，从位于地面C处的雷达站测得 AC 的距离是8 km,仰角为 10s后飞船到达 B处, 此时测得仰角为 (1)求点 A离地面的高度AO; (2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度.(结果精确到0.1 km/s,参考数据: 1.73) 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 低处 高处 【明考点·识方法】 典例 解:如图,延长 AC 交 PQ 于点 H,则四边形CDQH、四边形 ABQH 都为矩形, ∴CH=DQ,BQ=AH, ∠PHA =90°, AB = QH =1.5m, 由题意,得∠PAH=32°,∠PCH=45°,古塔的高度为 PQ，古塔底面圆的半径为GQ, ∴△PHC 是等腰直角三角形，∴PH=CH, 设GQ=xm,则PH=CH=DQ=DG+GQ=(12.9+x)m, ∴AH=BQ=BD+DQ=9+12.9+x=(21.9+x)m, 在 Rt△PHA 中,PH=AH·tan∠PAH=AH·tan32°≈0.625(21.9+x)=(13.687 5+0.625x)m, ∴12.9+x=13.687 5+0.625x,解得x=2.1, ∴PQ=PH+QH=12.9+2.1+1.5=16.5m, 所以，古塔的高度为16.5m ，古塔底面圆的半径为2.1m . 变式 解:由题意,得∠BAD=45°,∠CAD=60°,AD⊥BC. ∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∴BD=AD=10(米). 在 Rt△ACD 中,CD= AD·tan∠CAD= AD·tan60°=(米). (米). 所以，该建筑物 BC的高度约为 27.3米. 【当堂测·夯基础】 1. B 3.解:(1)在 中, (2)在 中, 在 中, ∴飞船从 A 处到 B 处的平均速度 = www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第3课时 坡度、坡脚问题 列清单·划重点 知识点 坡度与坡角 1.坡度：斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的__________与_________的比叫做坡度(或坡比).通常用小写字母 i 表示. 2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做______________. 3.两者之间的关联：①坡度是坡角的_______________，②坡度(坡比)越大，斜坡越陡，坡角越大. 明考点·识方法 考点 与坡度、坡角有关的实际问题 典例 如图,长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 3 m，坝高 斜坡 AB 的坡比 斜坡CD的坡比 (1)求坝底宽 AD 的长; (2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米? 思路导析 本题考查解直角三角形的应用——坡度、坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键.(1)由题意,得 由高和坡比求得 AE 和 DF，利用线段的和差关系，计算AD 即可;(2)先求出梯形 ABCD的面积,然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答. 变式 如图是某水库大坝的横截面,坝高 CD=20 m,背水坡 BC 的坡度为 为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 求背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离.(参考数据: 结果精确到0.1m) 当堂测·夯基础 1.如图，一个小球由坡底沿着坡比为1：2的坡面前进了12 米，此时小球在竖直方向上升了 ( ) A.4米 米 米 米 第1题图 第2题图 2.如图,在坡度 i=1：2的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为 6m，则这两棵树之间的坡面距离为 ( ) 3.如图表示大坝的横断面，斜坡 AB 的坡比 背水坡CD的坡比 若 AB的长度为米，则斜坡CD的长度为 ( ) A.6米 米 米 米 4.某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进.如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡 AC 长为13米，它的坡度为i=1:2.4,AB⊥BC,为了居民行车安全, 现将斜坡的坡角改为17°，即(此时点 B，C，D 在同一直线上).求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离(结果精确到 0.1 米).(参考数据: 0. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 1.铅直高度 水平宽度 2.坡角 3.正切值 【明考点·识方法】 典例 解:(1)由题意,得. A ∵斜坡AB 的坡比 斜坡 CD的坡比 ∴坝底宽AD的长为 ∴梯形 ABCD的面积 ∴修筑这个堤坝需要土方 所以，修筑这个堤坝需要 土方(60000+立方米. 变式 解:在 Rt△BCD 中,∵BC的坡度为 ∴CD=BD=20 m. 在 Rt△ACD 中,∵AC的坡度为 所以，背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离约为 14.6 m. 【当堂测·夯基础】 1. C 2. D 3. B 4.解:由题意,得∠ABC=90°,i=1:2.4, 在 Rt△ABC中, 设 AB=5x米,则 BC=12x米, 即 解得x=1(负值舍去), ∴AB=5米,BC=12米, 在 Rt△ABD 中,∠ADC=17°,AB=5米, 0.31,解得 CD≈4.1(米), 所以，斜坡改进后的起点 D 与原起点C的距离为 4.1 米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $