15.2画轴对称的图形讲义-2025-2026学年人教版（2024） 八年级数学上册

第十五章 轴对称 第三节 画轴对称的图形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1轴对称变换 2 知识点2 作轴对称图形 2 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标 3 知识点4 在平面直角坐标系中画轴对称图形 4 题型精讲1画轴对称图形 5 题型精讲2车牌号码的镜面对称 6 题型精讲3钟表的镜面对称 7 题型精讲4电子钟示数的镜面对称 7 题型精讲5坐标系中的对称 8 题型精讲6坐标与图形变化——轴对称 9 题型精讲7线段问题（轴对称综合题） 11 题型精讲8面积问题(轴对称综合题） 12 题型精讲9角度问题（轴对称综合题） 11 题型精讲10其他问题（轴对称综合题） 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：掌握“找关键点—画对称点—连对称点”的画图步骤，能画出平面图形关于某直线的轴对称图形；熟记平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴、y轴对称的坐标规律（分别为(x,-y)、(-x,y)），并能据此画图。 2. 过程与方法：通过动手折叠、尺规作图、坐标分析等活动，经历从具体到抽象的探究过程，体会化繁为简的转化思想与数形结合思想，深化对轴对称性质的理解，发展几何直观与空间观念。 3. 应用与素养：能运用画图方法解决图案设计、图形折叠等问题，能结合坐标规律解决与对称相关的计算，契合中考对图形变换应用的考查要求，提升应用意识与创新思维。 【新知学习】 【知识点1】轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 边学边练如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，则所需管道最短． 故选：C． 【知识点2】作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 边学边练如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 【答案】见解析 解：如图所示． 【知识点3】关于坐标轴对称的点的坐标 1.关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，一y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(一x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数． 2.关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) （1）点（a，b）关于直线x=m对称的点为（2m-a，b）； （2）点（a，b）关于直线y=n对称的点为（a，2n-b）； （3）点(a，b)关于原点对称的点为（一a，一b). 边学边练在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵点和点关于轴对称， ∴（横坐标相等）， （纵坐标互为相反数）， ∴； 故选：C． 【知识点4】在平面直角坐标系中画轴对称图形 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算己知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3）连接—-按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 边学边练如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于 轴对称的； (2)写出点 、、的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)，， （1）根据题意作图如下： （2）由上图可知：，，． 题型精讲 题型精讲1画轴对称图形 一、题型特征 题目给出平面图形（如三角形、四边形、多边形）和一条对称轴（直线），要求画出图形关于该对称轴的轴对称图形，常以作图题形式出现，需保留作图痕迹（如关键点、对称点的连线、垂直符号），核心是 “找关键点→画对称点→连对称点” 的转化思路。 二、解题核心步骤 1.找关键点：在原图形上确定能决定图形形状的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点），用字母标注（如 A、B、C）。 2.画对称点： 0. 过每个关键点（如 A）作对称轴的垂线，用三角板或直尺确保垂直，标出垂足 O； 0. 测量关键点到垂足的距离（如 AO 的长度），在垂线的另一侧截取相等距离，得到点 A 的对称点 A'（即 OA'=AO）； 0. 重复操作，画出所有关键点的对称点（如 B→B'、C→C'）。 3.连对称点：用直尺依次连接所有对称点（A'→B'→C'→A'），所得图形即为原图形关于对称轴的轴对称图形。 【易错提醒】 1. 对称点距离偏差：测量关键点到对称轴的距离时不准确，或截取对称点时距离不等（如 AO=2cm，OA'=3cm），导致对称图形变形。 1. 漏画关键点：忽略图形的 “拐点”（如多边形的顶点、曲线与直线的交点），仅画部分关键点的对称点，导致对称图形不完整。 1. 未保留作图痕迹：未标出垂足、垂线或距离截取痕迹，不符合作图题 “保留痕迹” 的要求。 【例题1】画出关于直线l的对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，先分别作出点A和点B关于直线l的对称点和，然后再顺次连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于轴对称的△； (2)请直接写出点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点、、的坐标分别为，， 【分析】此题考查了坐标系中轴对称作图，正确作图是关键． （1）作出点关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）中的作图写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：点、、的坐标分别为，，． 【变式训练2】如图，写出的各顶点坐标，并画出关于轴对称的，写出关于轴对称的的各点坐标． 【答案】 ， ，，见详解，，， 【分析】本题考查的是轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，然后再连接即可画出关于y轴的对称图形；根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得的各点坐标． 【详解】解：如图， ， ，． 如图， 即为所求； 如图， 的各点坐标为，，． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)在轴上找一点P，使最小，并写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，，； （3）解：如图所示，点即为所求， 连接交轴于一点，即为点， 此时，最小， 可以看作的正方形的对角线， ∴． 题型精讲2车牌号码的镜面对称 一、题型特征 题目给出车牌号码（如 “粤 A12345”）或其镜面反射后的图案，要求判断镜面中的车牌对应的实际号码，或根据实际号码推导镜面中的号码，常以选择题、填空题形式出现，核心是利用 “镜面对称 = 关于竖直直线的轴对称” 性质，且数字、字母有固定的对称形式（如 “0”“1”“8” 对称后不变，“2” 对称后类似 “5”）。 二、解题核心步骤 1.定对称轴：车牌的镜面对称，本质是关于 “竖直直线”（镜面的竖直中线）的轴对称，即左右翻转（上下不变，左右相反）。 2.记特殊字符对称规律： 3. 数字对称：0→0，1→1，8→8，2→5（镜面中 “2” 的对称图形类似实际 “5”），5→2，3、4、6、7、9 无有效对称数字（镜面中无法对应常见数字）； 3. 字母对称：A→A，H→H，I→I，M→M，O→O，T→T，U→U，V→V，W→W，X→X，Y→Y（这些字母左右对称），其他字母（如 B、C、D）对称后无常见对应字母。 3.逆推 / 正推号码： 3. 已知实际号码求镜面号码：将实际号码按字符顺序左右翻转，替换为对称字符（如实际 “粤 A1285”，镜面中为 “粤 A2851”，注意 “2”→“5”、“5”→“2”，左右顺序颠倒）； 3. 已知镜面号码求实际号码：同理，将镜面号码左右翻转，替换对称字符（如镜面 “粤 A5821”，实际为 “粤 A1285”）。 【易错提醒】 1. 字符对称记错：混淆 “2” 与 “5” 的对称关系（如将镜面中 “2” 错认为实际 “2”），或误用无对称的字符（如认为 “3” 对称后还是 “3”），导致号码判断错误。 1. 忽略左右顺序颠倒：仅替换字符对称形式，未将整个号码左右翻转（如实际 “123”，镜面中应为 “3（无对称）→2→1”，而非 “1→2→3”），导致顺序错误。 【例题1】从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 【变式训练1】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 【变式训练2】在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 【变式训练3】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 题型精讲3钟表的镜面对称 一、题型特征 题目给出钟表的实际时间（如 3:00），要求求镜面中显示的时间；或给出镜面中的时间，求实际时间，常以选择题、填空题形式出现，核心是利用 “钟表镜面对称 = 关于竖直直线的轴对称”，且钟表一圈 360°，每小时对应 30°（360°÷12），分钟每分对应 6°（360°÷60）。 二、解题核心步骤 1.方法一：对称法（直接作图）： 5. 画钟表的竖直对称轴（过 12 和 6 的直线）； 5. 找到实际时间时针、分针的位置，画出它们关于竖直对称轴的对称位置（如实际 3:00，时针指 3，对称后指 9；分针指 12，对称后仍指 12，故镜面时间为 9:00）。 2.方法二：公式法（快速计算）： 5. 镜面对称时间与实际时间的和为 12 小时（12:00），若时间带分钟，和为 11:60（即 12:00）； 5. 公式：镜面时间 = 12:00 - 实际时间（若结果为负，加 12 小时）； 5. 例：实际时间 2:30，镜面时间 = 12:00 - 2:30=9:30；实际时间 10:15，镜面时间 = 12:00 - 10:15=1:45。 【易错提醒】 1. 12:00 与 0:00 混淆：当实际时间为 12:00 时，镜面时间仍为 12:00（时针、分针均在 12，对称后不变），不可用公式算成 0:00。 1. 分钟计算错误：公式中 “12:00” 需按 “11 小时 60 分钟” 计算（如 12:00 - 3:40，先算 11:60 - 3:40=8:20），不可直接用 12 小时减 3 小时 40 分钟得 8 小时 20 分钟（结果正确，但需注意计算逻辑）。 1. 忽略时针位置：仅对称分针，未对称时针（如实际 4:00，误将分针对称后仍指 12，时针未从 4 对称到 8，错认为镜面时间 4:00）。 【例题1】小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是． 故答案为：． 【变式训练1】在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握两个成轴对称图形的性质． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 【变式训练2】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【变式训练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 题型精讲4电子钟示数的镜面对称 一、题型特征 题目给出电子钟的实际示数（如 “08:21”，数字为 7 段显示），要求求镜面中显示的示数；或给出镜面示数求实际示数，常以选择题、填空题形式出现，核心是 “7 段显示数字的镜面对称规律”（与车牌数字对称类似，但需注意电子钟数字的特定形态），且电子钟示数的对称轴为竖直直线（左右对称）。 二、解题核心步骤 1.记 7 段显示数字的对称规律： 8. 对称后不变的数字：0（7 段显示中左右对称）、1（仅左右两竖段，对称后不变）、8（上下左右均对称）； 8. 对称后互变的数字：2（7 段显示中，镜面对称后类似 “5”）、5（对称后类似 “2”）； 8. 无有效对称的数字：3、4、6、7、9（7 段显示中，对称后无法构成其他常见数字，题目中一般不涉及这类数字的电子钟对称）。 2.分步骤推导： 8. 已知实际示数求镜面示数：先将实际示数的数字按 “左右顺序颠倒”，再将每个数字替换为其对称数字（注意电子钟的冒号 “:” 对称后仍为冒号）； 8. 例：实际示数 “08:21”，第一步颠倒顺序为 “12:80”，第二步替换对称数字（1→1，2→5，8→8，0→0），得镜面示数 “15:80”（注意电子钟示数的合理性，如 “80” 分钟不存在，题目中一般会给出合理数字组合，如 “02:51”）； 8. 已知镜面示数求实际示数：同理，先颠倒镜面示数的数字顺序，再替换对称数字（如镜面 “15:08”，颠倒为 “80:51”，替换后为 “80:21”，实际应为 “21:08”，需注意时间的合理性）。 【易错提醒】 1. 数字对称规律记错：将电子钟中 “2” 的对称数字错记为 “3”，或 “5” 错记为 “6”，导致数字替换错误。 1. 忽略顺序颠倒：仅替换数字对称形式，未颠倒左右顺序（如实际 “02:15”，错认为镜面是 “05:12”，而非 “51:20”→替换后 “21:50”）。 1. 无视时间合理性：未检查推导后的示数是否符合电子钟时间规则（如分钟≤59），如将 “15:80” 当作有效镜面示数，忽略 “80 分钟” 无效，实际题目中会避免这类情况，需优先选择合理数字组合。 【例题1】在镜子中看到的数字，则实际数字是 【答案】 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【变式训练1】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 【变式训练2】李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的特点，掌握其特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键． 根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的轴对称， 注意镜子中的2实际应为5，电子表的实际时刻是． 故答案为：． 【变式训练3】小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示 ，这时的时刻应是 ．      【答案】20：01 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是20：01． 故答案为：20：01． 题型精讲5坐标系中的对称 一、题型特征 题目给出平面直角坐标系中某点的坐标（如 P (x,y)），要求求该点关于 x 轴、y 轴、原点或某条特殊直线（如 x=1、y=-2）的对称点坐标，常以选择题、填空题形式出现，核心是 “坐标系中对称点的坐标规律”，需区分不同对称轴的坐标变换规则。 二、解题核心步骤 1.记基础对称规律（针对 x 轴、y 轴、原点）： 11. 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即 P (x,y)→P1 (x,-y)（如 (2,3)→(2,-3)）； 11. 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即 P (x,y)→P2 (-x,y)（如 (2,3)→(-2,3)）； 11. 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数，即 P (x,y)→P3 (-x,-y)（如 (2,3)→(-2,-3)，注：原点对称不属于轴对称，属于中心对称，题目若明确 “轴对称”，则重点关注 x 轴、y 轴及特殊直线）。 2.特殊直线的对称规律（如 x=a、y=b，a、b 为常数）： 11. 关于直线 x=a 对称：纵坐标不变，横坐标满足 “两点横坐标的中点为 a”，即 P (x,y)→P4 (2a - x,y)（如 P (1,3) 关于 x=2 对称，横坐标 = 2×2 - 1=3，对称点为 (3,3)）； 11. 关于直线 y=b 对称：横坐标不变，纵坐标满足 “两点纵坐标的中点为 b”，即 P (x,y)→P5 (x,2b - y)（如 P (1,3) 关于 y=1 对称，纵坐标 = 2×1 - 3=-1，对称点为 (1,-1)）。 3.验证规律：通过 “中点坐标公式” 验证（如两点关于 x=a 对称，中点横坐标 =(x + x')/2 = a，故 x'=2a - x），确保坐标正确。 【易错提醒】 1. 混淆对称轴：将 “关于 x 轴对称” 与 “关于 y 轴对称” 的规律记反（如将 (2,3) 关于 x 轴对称错写为 (-2,3)），或混淆 “关于 x=a 对称” 与 “关于 y=b 对称” 的横纵坐标变换。 1. 特殊直线计算错误：计算关于 x=a 或 y=b 的对称点时，漏乘 2（如 P (1,3) 关于 x=2 对称，错算为 x=2 - 1=1，对称点 (1,3)），或符号错误（如 P (1,3) 关于 y=1 对称，错算为 y=1 - 3=-2，对称点 (1,-2)）。 1. 原点对称与轴对称混淆：将 “关于原点对称” 当作轴对称（实际原点对称是中心对称），题目明确 “轴对称” 时，不可用原点对称的规律解题。 【例题1】点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 【变式训练1】点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，判断点所在的象限．先根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点P对称点的坐标，进而判断其所在的象限． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，它在第二象限． 故答案为：二． 【变式训练3】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 题型精讲6坐标与图形变化——轴对称 一、题型特征 题目给出平面直角坐标系中的图形（如三角形、四边形，已知各顶点坐标），要求画出图形关于某条直线（x 轴、y 轴、x=a、y=b）的轴对称图形，并写出对称图形各顶点的坐标；或根据对称图形的顶点坐标，反求原图形的顶点坐标，常以作图题、解答题形式出现，核心是 “先求对称点坐标，再画对称图形”，需结合坐标系对称规律与作图步骤。 二、解题核心步骤 1.列原图形顶点坐标：将原图形的所有关键点（如三角形 ABC 的顶点 A (x1,y1)、B (x2,y2)、C (x3,y3)）的坐标列出，明确对称轴（如 x 轴、y=1）。 2.求对称点坐标：根据对称轴的坐标规律，逐一计算每个关键点的对称点坐标（如关于 x 轴对称，A (x1,y1)→A'(x1,-y1)；关于 y=1 对称，B (x2,y2)→B'(x2,2×1 - y2)）。 3.描点与连线：在坐标系中找到所有对称点的位置，用直尺依次连接（如 A'→B'→C'→A'），得到轴对称图形，同时标注对称点的坐标。 4.验证（可选）：若题目要求反求原图形坐标（已知对称图形顶点坐标，求原图形），则反向应用对称规律（如已知 A'(x1,-y1) 关于 x 轴对称，原顶点 A (x1,y1)）。 【易错提醒】 1. 顶点坐标抄错：将原图形顶点坐标抄错（如 A (2,3) 抄为 (3,2)），导致后续对称点坐标计算错误，对称图形位置偏差。 1. 对称点坐标计算错误：应用坐标系对称规律时出错（如关于 y 轴对称，B (2,3) 错算为 (2,-3)），或特殊直线（如 x=2）的对称点计算错误（如 C (1,4) 错算为 (2,4)）。 1. 作图不规范：描点时未对准坐标系的格子线，或连线时未用直尺，导致对称图形变形；未标注对称点坐标，不符合题目 “写出坐标” 的要求。 【例题1】已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 【变式训练1】点关于y轴对称的点N的坐标是 ，线段的长度为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据点关于y轴对称的特征求出点N的坐标，再求出线段的长度． 【详解】解：点关于y轴对称的点N的坐标是， 线段的长度为， 故答案为：，6． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的特征，设点关于直线对称的点为，根据轴对称的性质可得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】解：设点关于直线对称的点为， 根据轴对称的性质得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等， ∴点的纵坐标为2， ∵点到直线的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 故选：C． 【变式训练3】若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点关于x轴对称的点的特点，“关于x轴对称，横同纵反”，还考查了二元一次方程组的解法，灵活掌握运用这些知识点是解题的关键． 根据题意可知点P和点关于轴对称，“横同纵反”，可以得到关于a和b的方程组，解出a和b，可求得点P的坐标． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P的坐标为， 故选：B． 题型精讲7线段问题（轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与线段相关的问题，如 “求线段长度”“证明线段相等”“求线段和的最小值（将军饮马模型）”“求线段差的最大值”，常结合等腰三角形、全等三角形、线段垂直平分线性质，以解答题形式出现，核心是 “利用轴对称转化线段，结合几何性质解题”。 二、解题核心步骤（以经典 “将军饮马” 模型为例，求 PA+PB 最小值） 1.识模型：题目为 “点 P 在直线 l 上，求 PA+PB 的最小值”（A、B 为直线 l 同侧的两个定点），属于轴对称中的最短路径问题，需用 “轴对称转化线段”。 2.作对称点：过其中一个定点（如 A）作直线 l 的对称点 A'，根据轴对称性质，直线 l 上任意一点 P 到 A 和 A' 的距离相等（PA=PA'）。 3.转化线段和：PA+PB=PA'+PB，根据 “两点之间，线段最短”，当 P、A'、B 三点共线时，PA'+PB 取得最小值，即线段 A'B 的长度。 4.求最小值（若需）：若已知 A、B 坐标或线段长度，用勾股定理计算 A'B 的长度（如 A (0,2)、B (3,1)，l 为 x 轴，A' 为 (0,-2)，A'B=√[(3-0)²+(1+2)²]=√(9+9)=√18=3√2）。 5.其他线段问题： 17. 证明线段相等：利用 “轴对称图形中对应线段相等”，或结合全等三角形（如△PAO≌△PA'O，得 PA=PA'）； 17. 求线段长度：利用 “线段垂直平分线性质（对称点连线被对称轴垂直平分）”，结合勾股定理计算（如 AO=A'O，OO'⊥l，得 OO'=1，AO=2，A'O=2）。 【易错提醒】 1. 对称点作错位置：将 A 的对称点 A' 作在直线 l 的同侧（如 A 和 A' 都在 l 上方），导致 PA+PB 无法转化为 “两点之间线段最短” 的模型，求不出最小值。 2. 忽略 “三点共线” 条件：仅作完对称点，未确认 P 在 A'B 与 l 的交点上，直接用其他点计算 PA+PB，导致结果不是最小值。 3. 线段差最大值模型混淆：求 “PA-PB 最大值” 时（A、B 在 l 异侧），误用作 A 对称点的方法，实际应作 B 的对称点 B'，转化为 PA-PB=PA-PB'，根据 “三角形两边之差小于第三边”，当 P 在 A、B' 延长线与 l 交点时，最大值为 AB'，需区分和与差的模型差异。 【例题1】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【变式训练1】已知：如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 【答案】(1)、、；图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，在垂线上，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长度，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． （1）写出点A、B、C关于x轴对称的对应点、、，然后描点，再连线即可； （2）作点A关于y轴的对称点；连接交y轴于点P，则，利用两点之间线段最短可判断此时最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 、、 （2）解：①作点A关于y轴的对称点； ②连接交y轴于点P， 如图，点P即为所求点． 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 【变式训练2】如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题， 作点P关于射线，的对称点E，点F，连接交于点，交于点，依次连接可得答案，再根据轴对称可知的周长为，然后根据“两点之间，线段最短”，可知此时的周长最小． 【详解】解：如答图，作点P关于射线的对称点E，点P关于射线的对称点F，连接交于点，交于点，连接，，即为所求． ∵，， ∴的周长为． 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小． 【变式训练3】如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了轴对称、最短路径问题、对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，依据轴对称的性质即可得解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小． 由对称性可知：， ∵， ∴， ∴的值最小时，点应该满足． 题型精讲8面积问题(轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与图形面积相关的问题，如 “求轴对称图形的面积”“求对称后图形与原图形组成的新图形面积”“利用轴对称求不规则图形的面积（割补法）”，常结合三角形、四边形、圆等图形，以选择题、填空题、解答题形式出现，核心是 “利用轴对称的全等性（对称图形与原图形全等，面积相等）转化面积”。 二、解题核心步骤 1. 判断图形关系： · 若求 “轴对称图形的面积”：因对称图形与原图形全等，面积相等，故先求原图形面积，即为对称图形面积（如原三角形面积为 6，则对称三角形面积也为 6）； · 若求 “原图形 + 对称图形的总面积”：总面积 = 2× 原图形面积（如原四边形面积为 8，总面积 = 2×8=16，需注意两图形无重叠，若有重叠需减去重叠部分面积）； · 若求 “不规则图形面积（含轴对称特征）”：用割补法将不规则图形补成轴对称图形，或分割为多个对称的基本图形（如三角形、矩形），分别求面积再求和 / 差。 2. 计算基础图形面积： · 三角形面积 = 底 × 高 ÷2；矩形面积 = 长 × 宽； 3. 验证面积计算：若用割补法，需确认分割 / 补全后的图形与原图形面积相等（如将不规则图形的一部分对称到另一侧，面积不变）。 【易错提醒】 1. 重叠部分重复计算：求 “原图形 + 对称图形总面积” 时，未发现两图形有重叠区域（如两个三角形共用一条边），直接用 2× 原面积，导致面积多算。 2. 高的位置判断错误：计算对称图形的高时，误将原图形的高当作对称图形的高，忽略高的位置因对称发生变化（如原三角形的高在左侧，对称后高在右侧，需重新确认高与底的对应关系）。 3. 割补法应用不当：分割不规则图形时，未按轴对称特征分割，导致分割后的图形无法用基础公式计算面积，增加解题难度。 【例题1】如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形就是一个“格点四边形”． (1)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称； (2)求图中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过点A作直线l的垂线并延长，取A到直线l的距离等于到直线l的距离，得点，同理可得，，依次连接D----D即可求解． （2）根据，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：过点A作直线l的垂线并延长，取A到直线l的距离等于到直线l的距离，得点， 同理可得，，依次连接D----D， 如图所示：四边形即为所求． （2）， 答：四边形的面积为6． 【变式训练1】如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，借助平面直角坐标系中的网格线可以求出点、、的坐标； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 从网格图中可以看出：    ； （2）解：． 【变式训练2】如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)4 【分析】此题考查了轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）如图所示：    ∴点的坐标为； （2）由图可知，． 【变式训练3】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 题型精讲9角度问题（轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与角度相关的问题，如 “求对称图形的对应角度数”“求原图形与对称图形组成的新图形中的角度”“利用轴对称证明角相等 / 角平分线”，常结合等腰三角形、全等三角形、三角形内角和，以解答题形式出现，核心是 “利用轴对称的性质（对应角相等、对称轴是角平分线）推导角度关系”。 二、解题核心步骤 1. 用 “对应角相等” 求角度： 若已知原图形的角，对称图形的对应角与原角相等（如△ABC 关于 l 对称的△A'B'C' 中，∠A=50°，则∠A'=50°）； 2. 用 “对称轴是角平分线” 推导角度： 对称轴是原图形与对称图形对应点连线的垂直平分线，且平分对应点与对称轴交点形成的角（如点 A 与 A' 关于 l 对称，l 上一点 O，則∠AOB=∠A'OB）； 3. 结合三角形内角和 / 外角性质求角度： 若求新图形中的角（如原图形与对称图形组成的四边形的内角），先找对应角，再用多边形内角和公式（四边形内角和 360°）计算； 【易错提醒】 1. 对应角找错：混淆原图形与对称图形的对应顶点（如将△ABC 的∠B 对应到△A'B'C' 的∠C'），导致角度推导错误。 1. 忽略 “对称轴平分角” 的隐含条件：未意识到对称轴是对应角的平分线，无法建立角度之间的等量关系，导致推导中断。 1. 三角形内角和误用：计算角度时，误将三角形内角和当作 180° 以外的数值（如 190°），或忽略外角等于不相邻两内角和的性质，导致结果偏差。 【例题1】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 【变式训练1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【变式训练2】如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【答案】D 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N， ∴，，， 根据轴对称的性质可得，， ∴的周长的最小值为长度， 由轴对称的性质可得， ∴等腰中， ， ∴ ， ， ， 故选：D． 【变式训练3】如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【答案】50 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 题型精讲10其他问题（轴对称综合题） 一、题型特征 除线段、面积、角度外的轴对称综合问题，如 “利用轴对称设计图案”“判断图形的轴对称性及对称轴数量”“结合实际场景的轴对称应用（如折叠问题、剪纸问题）”，题型灵活，常以作图题、应用题形式出现，核心是 “紧扣轴对称的定义和性质，结合实际需求或图形特征解题”。 二、解题核心步骤 1. 轴对称图案设计： · 确定基本图形（如正方形、树叶轮廓）和对称轴（1 条或多条，如竖直、水平、斜向）； · 画出基本图形关于第一条对称轴的对称图形，再将新图形关于第二条对称轴（若有）对称，重复操作得到完整图案（如设计窗花，以正方形中心为对称中心，多条对称轴，对称画出花纹）； · 确保图案沿每条对称轴折叠后，两侧完全重合。 · 图形轴对称性判断与对称轴找法： · 判断方法：将图形沿某条直线折叠，观察直线两侧的部分是否完全重合，若重合则为轴对称图形，该直线为对称轴； · 常见图形对称轴数量：正方形 4 条、长方形 2 条、等腰三角形 1 条、等边三角形 3 条、圆无数条； · 找对称轴步骤：①找图形的关键点（如顶点、中点）；②找关键点的对称点；③连接对称点，作垂直平分线，即为对称轴。 · 实际场景应用（以折叠问题为例）： · 折叠问题本质是 “轴对称”，折叠前后的图形全等（对应边相等、对应角相等）； 【易错提醒】 1. 图案设计不对称：设计图案时，未确保沿对称轴折叠后两侧完全重合，导致图案不符合轴对称要求（如花纹数量、位置不对称）。 2. 对称轴找不全：判断图形对称轴时，漏找斜向对称轴（如正方形的两条对角线），或误将 “中心对称” 当作 “轴对称”（如平行四边形是中心对称图形，非轴对称图形）。 3. 折叠问题忽略全等性：折叠后未利用 “对应边相等、对应角相等” 的性质，仅用原图形的边长计算，导致关键线段（如 DE、EF）长度无法求解。 【例题1】综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 【答案】(1)方法一：同位角相等，两直线平行，，；方法二：，；见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）方法一：利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；方法二：利用全等三角形的判定和性质证明即可； 利用构造全等三角形解决问题即可； （2）设两面镜子的夹角，即为像的数量，利用轴对称变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）方法一：证明：，已作 ，同位角相等，两直线平行 ． 已作， ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行，，； 方法二：证明：连接，． 垂直平分已作， ， 同理可得， ． 又已作，， ， ． 故答案为：，； 如图中，射线即为所求． 理由：由作图可知，， ， ， ； （2）如图中，一共形成个物体的像． 故答案为：． 【变式训练1】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【变式训练2】如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图所示： ∵动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=2， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD=AB=4，∠DAB=90°， ∵E是AD的中点， ∴DE=AD=×4=2， ∵点E与点E'关于DC对称， ∴DE'=DE=2，PE=PE'， ∴AE'=AD+DE'=4+2=6， 在Rt△AOE'中，， ∴线段PE+PM的最小值为： PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=． 故答案为：． 【变式训练3】如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点． 【详解】①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″； ②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求． 【拓展培优】 【典例1】图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、三角形中位线的实际应用、画轴对称图形 【分析】本题考查利用网格求角的度数，作平行线，作线段的倍数线段，对称点等，掌握三角形中位线的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、轴对称的性质是解题的关键． （1）结合网格，利用正方形的性质进行求解即可； （2）结合网格可得点是线段的中点，结合网格找出线段的中点，连接，此时为的中位线，则；可以看作的矩形的对角线，过点作的矩形的对角线，交于点，此时，则为直角三角形，连接，根据直角三角形斜边中线定理，则； （3）点可以看作所在小正方形的中点，看作是直角边为2和的直角三角形的斜边，先利用的矩形对角线确定中点，然后连接，，且两个直角三角形全等，可以看作的正方形的对角线，此时点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：可以看作的正方形的对角线， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【变式训练1】在直角坐标系内的位置如图所示： (1)分别写出点A，C的坐标：A的坐标：________，C的坐标：________； (2)请在这个坐标系内画出与关于x轴对称的，并写出点的坐标________； (3)尺规作图，保留作图痕迹（不写作法）：在y轴上找一点E，满足，并直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3)图见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、作已知线段的垂直平分线、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据点A，C的位置直接写出坐标； （2）根据题意作出图形，根据轴对称性求出点的坐标； （3）在y轴上找一点E，满足，只需作出的垂直平分线，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：A的坐标：， C的坐标：， 故答案为：，； （2）如图，关于x轴对称的，即为所求作， ∵，与关于x轴对称， ∴， （3）如图，作出的垂直平分线交y轴于点E， 则，点E即为求作， 过点作y轴的垂线垂足为F， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，在的垂直平分线上，且点在y轴上， ∴点E与点重合， 即点E的坐标为． 【变式训练2】作图题 (1)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点． ①画出关于直线MN的对称图形； ②在直线上找一点P，使的长度最短，在图中作出P点的位置． (2)如图，已知，线段a， 求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，在中，． ①尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性；②在①的条件下，若的周长为16cm，，求的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)①见解析；② 【知识点】尺规作图——作三角形、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，最短路径问题，尺规作图等问题，解题的关键是： （1）①根据轴对称的性质找出对应点画即可； ②根据最短路径问题，连接与交于点P，点P即为所求； （2）先作线段，然后以B为端点，为边作，再以C为顶点，为边，在同侧作，与相交于A，即可； （3）①作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可； ②结合①中可把的周长转化为，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：①如图，即为所求， ； ②如图，点P即为所求， （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：①如图，点E即为所求， ， 理由：由作图知：垂直平分， ∴， 又， ∴； ②∵的周长为16cm，， ∴， 又， ∴． 【变式训练3】如图，的顶点在x轴上，则点A的坐标为______；将点A向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为_____；，点C在x轴的上方，且轴，则点C的坐标为______． (1)先填写横线上的坐标，再在图中画出； (2)将的三个顶点横坐标分别乘，纵坐标不变，依次得到点，请在图中画出，并写出与的位置关系； (3)若内任意一点P的坐标为，那么P到x轴的距离是_____． 【答案】(1)，图见解析 (2)图见解析，与关于y轴对称 (3)n 【知识点】求点到坐标轴的距离、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，求出点坐标，根据平移规则，求出点坐标，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两个点之间的距离为纵坐标的差值的绝对值，求出点坐标，进而描点，连线，画出； （2）描点，连线，画出，进而得到两个三角形的位置关系即可； （3）根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵将点A向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B， ∴，即：， ∵，点C在x轴的上方，且轴， ∴，即：， 描点，连线，画出，如图： （2）解：由题意，，，，画出如图所示： 由图可知，与关于y轴对称； （3）解：由题意，点P在第一象限， ∴， ∴点到轴的距离为， 故答案为：． 【典例2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，．已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． 由此可以发现，每四次一个循环， ∵ ∴点与点的坐标相同，为， 故选：C． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出点位置是解题关键． 根据轴对称作最短路线得出，进而得出，即可得出的周长最小时点坐标． 【详解】解：作点关于轴对称点点，连接，交轴于点， 此时的周长最小， 点、的坐标分别为和， 点坐标为：，， 则，即， ， ， 点的坐标是，此时的周长最小． 故选：A． 【典例3】如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、全等三角形的性质、全等三角形综合问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）证明即可； （2）①证明得，证明得N是的中点，，进而得证；②延长交于点Q．证明是的垂直平分线，则P关于的对称点为Q，根据几何关系即可证明． 本题考查了三角形全等的判定性质、垂直平分线的判定与性质、直线平行的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：①如图， ， ． ． ． ， ， ． ， ，， ． 又， ， ． 又， ， ， ∴N是的中点，， ∴垂直平分． ②如图，延长交于点Q． 由①知， ， ． ． ， ， ∴是的垂直平分线． ∵O为直线上的点， ， ∴当点O与点E重合时，，此时的值最小， 即当的值最小时，点E与点O重合． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆·期末）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标．根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】解：平面直角坐标系内的点与点关于轴对称． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 【详解】解：点， 点关于轴的对称点的坐标是， 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变换--轴对称，熟练掌握轴对称性质是解题的关键，根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案. 【详解】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特征，解题的关键是掌握该特征． 利用关于轴对称的点的特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数求得的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 则， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，利用轴对称的性质，求出m，n的值，可得结论． 【详解】解：，关于y轴对称， ，， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题、坐标系中的对称 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、角度问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 二、填空题 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点的平移与轴对称．先根据向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变得到点B的坐标，再根据关于轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：将点向右平移4个单位长度得到点， 则点， 则点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·江西新余·期末）已知：点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查轴对称点的性质，乘方运算，解一元一次方程，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出m，n，然后代入求值即可进而得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， 则． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形的变化-对称，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， 观察图象可知，6次一个循环， ∵余2， ∴的坐标与的坐标相同，坐标为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我们把顶点在格点的四边形叫做格点四边形．如图在的方格纸中，已知线段，请按下列要求完成作图． (1)在图1中作格点四边形，使四边形为中心对称图形． (2)在图2中作格点四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】画轴对称图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、格点作图题 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称的作图．理解中心对称图形与轴对称的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义，在图1中找到合适的格点，确定点和点的位置，使得四边形为中心对称图形． （2）根据轴对称图形的定义，在图2中找到合适的格点，确定点和点的位置，使得四边形为轴对称图形． 【详解】（1） 解： （2） 解： 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)请直接写出点关于轴对称的点的坐标为 ； (2)将平移，使点移动后的坐标为，画出平移后的图形； (3)画出关于x轴对称的图形． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点得出点关于轴对称的点的坐标即可； （2）根据图形平移的性质画出平移后的图形； （3）作出关于轴对称的图形即可． 【详解】（1）解：， 点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：如上图所示： 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系． 已知点 ．．． 关于直线的对称点 （______，_______） ．．． 关于直线的对称点 （_________，_______） ．．． (1)结合图表，写出（_________，_______），（_________，_______） (2)结合上述探究规律填空： ①点关于直线的对称点的坐标为___________； ②点关于直线的对称点的坐标为___________． (3)若点与点关于一条直线对称，直接写出两点的对称轴所在直线． 【答案】(1)；0；； (2)；． (3) 【知识点】数字类规律探索、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-对称、点的坐标规律等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质在坐标系内确定点、的位置，然后直接写出其坐标即可； （2）根据轴对称的性质即可解答； （3）由题意得，点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：如图： ． 故答案为：；0；；． （2）解：①点关于直线的对称点的坐标为； ②点关于直线的对称点的坐标为． 故答案为：；． （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴M，N两点的对称轴所在直线为． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据折叠的性质即可求解； （）①作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长，再利用解答即可求解；②当取最小值时，于点，交于点，，由可得，由得，即得，即得到，可得，设，由 得，进而由列出方程求出即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 沿直线翻折得到，点的对应点为， ； （2）解：①如图，作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接， 则， ， ∴当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长， 如图，于点，交于点，， ∵， ∴， 解得，此时， 的最小值为； ②如图，当取最小值时，于点，交于点，， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， 设， ， ， ∵， 得， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第三节 画轴对称的图形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1轴对称变换 2 知识点2 作轴对称图形 2 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标 3 知识点4 在平面直角坐标系中画轴对称图形 4 题型精讲1画轴对称图形 5 题型精讲2车牌号码的镜面对称 6 题型精讲3钟表的镜面对称 7 题型精讲4电子钟示数的镜面对称 7 题型精讲5坐标系中的对称 8 题型精讲6坐标与图形变化——轴对称 9 题型精讲7线段问题（轴对称综合题） 11 题型精讲8面积问题(轴对称综合题） 12 题型精讲9角度问题（轴对称综合题） 11 题型精讲10其他问题（轴对称综合题） 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：掌握“找关键点—画对称点—连对称点”的画图步骤，能画出平面图形关于某直线的轴对称图形；熟记平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴、y轴对称的坐标规律（分别为(x,-y)、(-x,y)），并能据此画图。 2. 过程与方法：通过动手折叠、尺规作图、坐标分析等活动，经历从具体到抽象的探究过程，体会化繁为简的转化思想与数形结合思想，深化对轴对称性质的理解，发展几何直观与空间观念。 3. 应用与素养：能运用画图方法解决图案设计、图形折叠等问题，能结合坐标规律解决与对称相关的计算，契合中考对图形变换应用的考查要求，提升应用意识与创新思维。 【新知学习】 【知识点1】轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做 。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形 。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的 。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴 边学边练如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点）的对称点，连接这些 ，就可以得到与原图形成 的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 边学边练如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 【知识点3】关于坐标轴对称的点的坐标 1.关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，一y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为 ； (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(一x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为 ． 2.关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) （1）点（a，b）关于直线x=m对称的点为（2m-a，b）； （2）点（a，b）关于直线y=n对称的点为（a，2n-b）； （3）点(a，b)关于原点对称的点为（一a，一b). 边学边练在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 【知识点4】在平面直角坐标系中画轴对称图形 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算己知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3）连接—-按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 边学边练如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于 轴对称的； (2)写出点 、、的坐标． 题型精讲 题型精讲1画轴对称图形 一、题型特征 题目给出平面图形（如三角形、四边形、多边形）和一条对称轴（直线），要求画出图形关于该对称轴的轴对称图形，常以作图题形式出现，需保留作图痕迹（如关键点、对称点的连线、垂直符号），核心是 “找关键点→画对称点→连对称点” 的转化思路。 二、解题核心步骤 1.找关键点：在原图形上确定能决定图形形状的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点），用字母标注（如 A、B、C）。 2.画对称点： 0. 过每个关键点（如 A）作对称轴的垂线，用三角板或直尺确保垂直，标出垂足 O； 0. 测量关键点到垂足的距离（如 AO 的长度），在垂线的另一侧截取相等距离，得到点 A 的对称点 A'（即 OA'=AO）； 0. 重复操作，画出所有关键点的对称点（如 B→B'、C→C'）。 3.连对称点：用直尺依次连接所有对称点（A'→B'→C'→A'），所得图形即为原图形关于对称轴的轴对称图形。 【易错提醒】 1. 对称点距离偏差：测量关键点到对称轴的距离时不准确，或截取对称点时距离不等（如 AO=2cm，OA'=3cm），导致对称图形变形。 1. 漏画关键点：忽略图形的 “拐点”（如多边形的顶点、曲线与直线的交点），仅画部分关键点的对称点，导致对称图形不完整。 1. 未保留作图痕迹：未标出垂足、垂线或距离截取痕迹，不符合作图题 “保留痕迹” 的要求。 【例题1】画出关于直线l的对称图形． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于轴对称的△； (2)请直接写出点、、的坐标． 【变式训练2】如图，写出的各顶点坐标，并画出关于轴对称的，写出关于轴对称的的各点坐标． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)在轴上找一点P，使最小，并写出点P的坐标． 题型精讲2车牌号码的镜面对称 一、题型特征 题目给出车牌号码（如 “粤 A12345”）或其镜面反射后的图案，要求判断镜面中的车牌对应的实际号码，或根据实际号码推导镜面中的号码，常以选择题、填空题形式出现，核心是利用 “镜面对称 = 关于竖直直线的轴对称” 性质，且数字、字母有固定的对称形式（如 “0”“1”“8” 对称后不变，“2” 对称后类似 “5”）。 二、解题核心步骤 1.定对称轴：车牌的镜面对称，本质是关于 “竖直直线”（镜面的竖直中线）的轴对称，即左右翻转（上下不变，左右相反）。 2.记特殊字符对称规律： 3. 数字对称：0→0，1→1，8→8，2→5（镜面中 “2” 的对称图形类似实际 “5”），5→2，3、4、6、7、9 无有效对称数字（镜面中无法对应常见数字）； 3. 字母对称：A→A，H→H，I→I，M→M，O→O，T→T，U→U，V→V，W→W，X→X，Y→Y（这些字母左右对称），其他字母（如 B、C、D）对称后无常见对应字母。 3.逆推 / 正推号码： 3. 已知实际号码求镜面号码：将实际号码按字符顺序左右翻转，替换为对称字符（如实际 “粤 A1285”，镜面中为 “粤 A2851”，注意 “2”→“5”、“5”→“2”，左右顺序颠倒）； 3. 已知镜面号码求实际号码：同理，将镜面号码左右翻转，替换对称字符（如镜面 “粤 A5821”，实际为 “粤 A1285”）。 【易错提醒】 1. 字符对称记错：混淆 “2” 与 “5” 的对称关系（如将镜面中 “2” 错认为实际 “2”），或误用无对称的字符（如认为 “3” 对称后还是 “3”），导致号码判断错误。 1. 忽略左右顺序颠倒：仅替换字符对称形式，未将整个号码左右翻转（如实际 “123”，镜面中应为 “3（无对称）→2→1”，而非 “1→2→3”），导致顺序错误。 【例题1】从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【变式训练1】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【变式训练2】在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 题型精讲3钟表的镜面对称 一、题型特征 题目给出钟表的实际时间（如 3:00），要求求镜面中显示的时间；或给出镜面中的时间，求实际时间，常以选择题、填空题形式出现，核心是利用 “钟表镜面对称 = 关于竖直直线的轴对称”，且钟表一圈 360°，每小时对应 30°（360°÷12），分钟每分对应 6°（360°÷60）。 二、解题核心步骤 1.方法一：对称法（直接作图）： 5. 画钟表的竖直对称轴（过 12 和 6 的直线）； 5. 找到实际时间时针、分针的位置，画出它们关于竖直对称轴的对称位置（如实际 3:00，时针指 3，对称后指 9；分针指 12，对称后仍指 12，故镜面时间为 9:00）。 2.方法二：公式法（快速计算）： 5. 镜面对称时间与实际时间的和为 12 小时（12:00），若时间带分钟，和为 11:60（即 12:00）； 5. 公式：镜面时间 = 12:00 - 实际时间（若结果为负，加 12 小时）； 5. 例：实际时间 2:30，镜面时间 = 12:00 - 2:30=9:30；实际时间 10:15，镜面时间 = 12:00 - 10:15=1:45。 【易错提醒】 1. 12:00 与 0:00 混淆：当实际时间为 12:00 时，镜面时间仍为 12:00（时针、分针均在 12，对称后不变），不可用公式算成 0:00。 1. 分钟计算错误：公式中 “12:00” 需按 “11 小时 60 分钟” 计算（如 12:00 - 3:40，先算 11:60 - 3:40=8:20），不可直接用 12 小时减 3 小时 40 分钟得 8 小时 20 分钟（结果正确，但需注意计算逻辑）。 1. 忽略时针位置：仅对称分针，未对称时针（如实际 4:00，误将分针对称后仍指 12，时针未从 4 对称到 8，错认为镜面时间 4:00）。 【例题1】小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是 ． 【变式训练1】在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练2】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【变式训练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 题型精讲4电子钟示数的镜面对称 一、题型特征 题目给出电子钟的实际示数（如 “08:21”，数字为 7 段显示），要求求镜面中显示的示数；或给出镜面示数求实际示数，常以选择题、填空题形式出现，核心是 “7 段显示数字的镜面对称规律”（与车牌数字对称类似，但需注意电子钟数字的特定形态），且电子钟示数的对称轴为竖直直线（左右对称）。 二、解题核心步骤 1.记 7 段显示数字的对称规律： 8. 对称后不变的数字：0（7 段显示中左右对称）、1（仅左右两竖段，对称后不变）、8（上下左右均对称）； 8. 对称后互变的数字：2（7 段显示中，镜面对称后类似 “5”）、5（对称后类似 “2”）； 8. 无有效对称的数字：3、4、6、7、9（7 段显示中，对称后无法构成其他常见数字，题目中一般不涉及这类数字的电子钟对称）。 2.分步骤推导： 8. 已知实际示数求镜面示数：先将实际示数的数字按 “左右顺序颠倒”，再将每个数字替换为其对称数字（注意电子钟的冒号 “:” 对称后仍为冒号）； 8. 例：实际示数 “08:21”，第一步颠倒顺序为 “12:80”，第二步替换对称数字（1→1，2→5，8→8，0→0），得镜面示数 “15:80”（注意电子钟示数的合理性，如 “80” 分钟不存在，题目中一般会给出合理数字组合，如 “02:51”）； 8. 已知镜面示数求实际示数：同理，先颠倒镜面示数的数字顺序，再替换对称数字（如镜面 “15:08”，颠倒为 “80:51”，替换后为 “80:21”，实际应为 “21:08”，需注意时间的合理性）。 【易错提醒】 1. 数字对称规律记错：将电子钟中 “2” 的对称数字错记为 “3”，或 “5” 错记为 “6”，导致数字替换错误。 1. 忽略顺序颠倒：仅替换数字对称形式，未颠倒左右顺序（如实际 “02:15”，错认为镜面是 “05:12”，而非 “51:20”→替换后 “21:50”）。 1. 无视时间合理性：未检查推导后的示数是否符合电子钟时间规则（如分钟≤59），如将 “15:80” 当作有效镜面示数，忽略 “80 分钟” 无效，实际题目中会避免这类情况，需优先选择合理数字组合。 【例题1】在镜子中看到的数字，则实际数字是 【变式训练1】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 【变式训练3】小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示 ，这时的时刻应是 ．      题型精讲5坐标系中的对称 一、题型特征 题目给出平面直角坐标系中某点的坐标（如 P (x,y)），要求求该点关于 x 轴、y 轴、原点或某条特殊直线（如 x=1、y=-2）的对称点坐标，常以选择题、填空题形式出现，核心是 “坐标系中对称点的坐标规律”，需区分不同对称轴的坐标变换规则。 二、解题核心步骤 1.记基础对称规律（针对 x 轴、y 轴、原点）： 11. 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即 P (x,y)→P1 (x,-y)（如 (2,3)→(2,-3)）； 11. 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即 P (x,y)→P2 (-x,y)（如 (2,3)→(-2,3)）； 11. 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数，即 P (x,y)→P3 (-x,-y)（如 (2,3)→(-2,-3)，注：原点对称不属于轴对称，属于中心对称，题目若明确 “轴对称”，则重点关注 x 轴、y 轴及特殊直线）。 2.特殊直线的对称规律（如 x=a、y=b，a、b 为常数）： 11. 关于直线 x=a 对称：纵坐标不变，横坐标满足 “两点横坐标的中点为 a”，即 P (x,y)→P4 (2a - x,y)（如 P (1,3) 关于 x=2 对称，横坐标 = 2×2 - 1=3，对称点为 (3,3)）； 11. 关于直线 y=b 对称：横坐标不变，纵坐标满足 “两点纵坐标的中点为 b”，即 P (x,y)→P5 (x,2b - y)（如 P (1,3) 关于 y=1 对称，纵坐标 = 2×1 - 3=-1，对称点为 (1,-1)）。 3.验证规律：通过 “中点坐标公式” 验证（如两点关于 x=a 对称，中点横坐标 =(x + x')/2 = a，故 x'=2a - x），确保坐标正确。 【易错提醒】 1. 混淆对称轴：将 “关于 x 轴对称” 与 “关于 y 轴对称” 的规律记反（如将 (2,3) 关于 x 轴对称错写为 (-2,3)），或混淆 “关于 x=a 对称” 与 “关于 y=b 对称” 的横纵坐标变换。 1. 特殊直线计算错误：计算关于 x=a 或 y=b 的对称点时，漏乘 2（如 P (1,3) 关于 x=2 对称，错算为 x=2 - 1=1，对称点 (1,3)），或符号错误（如 P (1,3) 关于 y=1 对称，错算为 y=1 - 3=-2，对称点 (1,-2)）。 1. 原点对称与轴对称混淆：将 “关于原点对称” 当作轴对称（实际原点对称是中心对称），题目明确 “轴对称” 时，不可用原点对称的规律解题。 【例题1】点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】点关于轴的对称点的坐标为 ． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在第 象限． 【变式训练3】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 题型精讲6坐标与图形变化——轴对称 一、题型特征 题目给出平面直角坐标系中的图形（如三角形、四边形，已知各顶点坐标），要求画出图形关于某条直线（x 轴、y 轴、x=a、y=b）的轴对称图形，并写出对称图形各顶点的坐标；或根据对称图形的顶点坐标，反求原图形的顶点坐标，常以作图题、解答题形式出现，核心是 “先求对称点坐标，再画对称图形”，需结合坐标系对称规律与作图步骤。 二、解题核心步骤 1.列原图形顶点坐标：将原图形的所有关键点（如三角形 ABC 的顶点 A (x1,y1)、B (x2,y2)、C (x3,y3)）的坐标列出，明确对称轴（如 x 轴、y=1）。 2.求对称点坐标：根据对称轴的坐标规律，逐一计算每个关键点的对称点坐标（如关于 x 轴对称，A (x1,y1)→A'(x1,-y1)；关于 y=1 对称，B (x2,y2)→B'(x2,2×1 - y2)）。 3.描点与连线：在坐标系中找到所有对称点的位置，用直尺依次连接（如 A'→B'→C'→A'），得到轴对称图形，同时标注对称点的坐标。 4.验证（可选）：若题目要求反求原图形坐标（已知对称图形顶点坐标，求原图形），则反向应用对称规律（如已知 A'(x1,-y1) 关于 x 轴对称，原顶点 A (x1,y1)）。 【易错提醒】 1. 顶点坐标抄错：将原图形顶点坐标抄错（如 A (2,3) 抄为 (3,2)），导致后续对称点坐标计算错误，对称图形位置偏差。 1. 对称点坐标计算错误：应用坐标系对称规律时出错（如关于 y 轴对称，B (2,3) 错算为 (2,-3)），或特殊直线（如 x=2）的对称点计算错误（如 C (1,4) 错算为 (2,4)）。 1. 作图不规范：描点时未对准坐标系的格子线，或连线时未用直尺，导致对称图形变形；未标注对称点坐标，不符合题目 “写出坐标” 的要求。 【例题1】已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】点关于y轴对称的点N的坐标是 ，线段的长度为 ． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型精讲7线段问题（轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与线段相关的问题，如 “求线段长度”“证明线段相等”“求线段和的最小值（将军饮马模型）”“求线段差的最大值”，常结合等腰三角形、全等三角形、线段垂直平分线性质，以解答题形式出现，核心是 “利用轴对称转化线段，结合几何性质解题”。 二、解题核心步骤（以经典 “将军饮马” 模型为例，求 PA+PB 最小值） 1.识模型：题目为 “点 P 在直线 l 上，求 PA+PB 的最小值”（A、B 为直线 l 同侧的两个定点），属于轴对称中的最短路径问题，需用 “轴对称转化线段”。 2.作对称点：过其中一个定点（如 A）作直线 l 的对称点 A'，根据轴对称性质，直线 l 上任意一点 P 到 A 和 A' 的距离相等（PA=PA'）。 3.转化线段和：PA+PB=PA'+PB，根据 “两点之间，线段最短”，当 P、A'、B 三点共线时，PA'+PB 取得最小值，即线段 A'B 的长度。 4.求最小值（若需）：若已知 A、B 坐标或线段长度，用勾股定理计算 A'B 的长度（如 A (0,2)、B (3,1)，l 为 x 轴，A' 为 (0,-2)，A'B=√[(3-0)²+(1+2)²]=√(9+9)=√18=3√2）。 5.其他线段问题： 17. 证明线段相等：利用 “轴对称图形中对应线段相等”，或结合全等三角形（如△PAO≌△PA'O，得 PA=PA'）； 17. 求线段长度：利用 “线段垂直平分线性质（对称点连线被对称轴垂直平分）”，结合勾股定理计算（如 AO=A'O，OO'⊥l，得 OO'=1，AO=2，A'O=2）。 【易错提醒】 1. 对称点作错位置：将 A 的对称点 A' 作在直线 l 的同侧（如 A 和 A' 都在 l 上方），导致 PA+PB 无法转化为 “两点之间线段最短” 的模型，求不出最小值。 2. 忽略 “三点共线” 条件：仅作完对称点，未确认 P 在 A'B 与 l 的交点上，直接用其他点计算 PA+PB，导致结果不是最小值。 3. 线段差最大值模型混淆：求 “PA-PB 最大值” 时（A、B 在 l 异侧），误用作 A 对称点的方法，实际应作 B 的对称点 B'，转化为 PA-PB=PA-PB'，根据 “三角形两边之差小于第三边”，当 P 在 A、B' 延长线与 l 交点时，最大值为 AB'，需区分和与差的模型差异。 【例题1】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知：如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 【变式训练2】如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【变式训练3】如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 题型精讲8面积问题(轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与图形面积相关的问题，如 “求轴对称图形的面积”“求对称后图形与原图形组成的新图形面积”“利用轴对称求不规则图形的面积（割补法）”，常结合三角形、四边形、圆等图形，以选择题、填空题、解答题形式出现，核心是 “利用轴对称的全等性（对称图形与原图形全等，面积相等）转化面积”。 二、解题核心步骤 1. 判断图形关系： · 若求 “轴对称图形的面积”：因对称图形与原图形全等，面积相等，故先求原图形面积，即为对称图形面积（如原三角形面积为 6，则对称三角形面积也为 6）； · 若求 “原图形 + 对称图形的总面积”：总面积 = 2× 原图形面积（如原四边形面积为 8，总面积 = 2×8=16，需注意两图形无重叠，若有重叠需减去重叠部分面积）； · 若求 “不规则图形面积（含轴对称特征）”：用割补法将不规则图形补成轴对称图形，或分割为多个对称的基本图形（如三角形、矩形），分别求面积再求和 / 差。 2. 计算基础图形面积： · 三角形面积 = 底 × 高 ÷2；矩形面积 = 长 × 宽； 3. 验证面积计算：若用割补法，需确认分割 / 补全后的图形与原图形面积相等（如将不规则图形的一部分对称到另一侧，面积不变）。 【易错提醒】 1. 重叠部分重复计算：求 “原图形 + 对称图形总面积” 时，未发现两图形有重叠区域（如两个三角形共用一条边），直接用 2× 原面积，导致面积多算。 2. 高的位置判断错误：计算对称图形的高时，误将原图形的高当作对称图形的高，忽略高的位置因对称发生变化（如原三角形的高在左侧，对称后高在右侧，需重新确认高与底的对应关系）。 3. 割补法应用不当：分割不规则图形时，未按轴对称特征分割，导致分割后的图形无法用基础公式计算面积，增加解题难度。 【例题1】如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形就是一个“格点四边形”． (1)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称； (2)求图中四边形的面积． 【变式训练1】如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【变式训练2】如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【变式训练3】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 题型精讲9角度问题（轴对称综合题） 一、题型特征 题目以轴对称为背景，考查与角度相关的问题，如 “求对称图形的对应角度数”“求原图形与对称图形组成的新图形中的角度”“利用轴对称证明角相等 / 角平分线”，常结合等腰三角形、全等三角形、三角形内角和，以解答题形式出现，核心是 “利用轴对称的性质（对应角相等、对称轴是角平分线）推导角度关系”。 二、解题核心步骤 1. 用 “对应角相等” 求角度： 若已知原图形的角，对称图形的对应角与原角相等（如△ABC 关于 l 对称的△A'B'C' 中，∠A=50°，则∠A'=50°）； 2. 用 “对称轴是角平分线” 推导角度： 对称轴是原图形与对称图形对应点连线的垂直平分线，且平分对应点与对称轴交点形成的角（如点 A 与 A' 关于 l 对称，l 上一点 O，則∠AOB=∠A'OB）； 3. 结合三角形内角和 / 外角性质求角度： 若求新图形中的角（如原图形与对称图形组成的四边形的内角），先找对应角，再用多边形内角和公式（四边形内角和 360°）计算； 【易错提醒】 1. 对应角找错：混淆原图形与对称图形的对应顶点（如将△ABC 的∠B 对应到△A'B'C' 的∠C'），导致角度推导错误。 1. 忽略 “对称轴平分角” 的隐含条件：未意识到对称轴是对应角的平分线，无法建立角度之间的等量关系，导致推导中断。 1. 三角形内角和误用：计算角度时，误将三角形内角和当作 180° 以外的数值（如 190°），或忽略外角等于不相邻两内角和的性质，导致结果偏差。 【例题1】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【变式训练1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【变式训练3】如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 题型精讲10其他问题（轴对称综合题） 一、题型特征 除线段、面积、角度外的轴对称综合问题，如 “利用轴对称设计图案”“判断图形的轴对称性及对称轴数量”“结合实际场景的轴对称应用（如折叠问题、剪纸问题）”，题型灵活，常以作图题、应用题形式出现，核心是 “紧扣轴对称的定义和性质，结合实际需求或图形特征解题”。 二、解题核心步骤 1. 轴对称图案设计： · 确定基本图形（如正方形、树叶轮廓）和对称轴（1 条或多条，如竖直、水平、斜向）； · 画出基本图形关于第一条对称轴的对称图形，再将新图形关于第二条对称轴（若有）对称，重复操作得到完整图案（如设计窗花，以正方形中心为对称中心，多条对称轴，对称画出花纹）； · 确保图案沿每条对称轴折叠后，两侧完全重合。 · 图形轴对称性判断与对称轴找法： · 判断方法：将图形沿某条直线折叠，观察直线两侧的部分是否完全重合，若重合则为轴对称图形，该直线为对称轴； · 常见图形对称轴数量：正方形 4 条、长方形 2 条、等腰三角形 1 条、等边三角形 3 条、圆无数条； · 找对称轴步骤：①找图形的关键点（如顶点、中点）；②找关键点的对称点；③连接对称点，作垂直平分线，即为对称轴。 · 实际场景应用（以折叠问题为例）： · 折叠问题本质是 “轴对称”，折叠前后的图形全等（对应边相等、对应角相等）； 【易错提醒】 1. 图案设计不对称：设计图案时，未确保沿对称轴折叠后两侧完全重合，导致图案不符合轴对称要求（如花纹数量、位置不对称）。 2. 对称轴找不全：判断图形对称轴时，漏找斜向对称轴（如正方形的两条对角线），或误将 “中心对称” 当作 “轴对称”（如平行四边形是中心对称图形，非轴对称图形）。 3. 折叠问题忽略全等性：折叠后未利用 “对应边相等、对应角相等” 的性质，仅用原图形的边长计算，导致关键线段（如 DE、EF）长度无法求解。 【例题1】综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 【变式训练1】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【变式训练2】如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为 ． 【变式训练3】如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【拓展培优】 【典例1】图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 【变式训练1】在直角坐标系内的位置如图所示： (1)分别写出点A，C的坐标：A的坐标：________，C的坐标：________； (2)请在这个坐标系内画出与关于x轴对称的，并写出点的坐标________； (3)尺规作图，保留作图痕迹（不写作法）：在y轴上找一点E，满足，并直接写出点E的坐标． 【变式训练2】作图题 (1)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点． ①画出关于直线MN的对称图形； ②在直线上找一点P，使的长度最短，在图中作出P点的位置． (2)如图，已知，线段a， 求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，在中，． ①尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性；②在①的条件下，若的周长为16cm，，求的长度． 【变式训练3】如图，的顶点在x轴上，则点A的坐标为______；将点A向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为_____；，点C在x轴的上方，且轴，则点C的坐标为______． (1)先填写横线上的坐标，再在图中画出； (2)将的三个顶点横坐标分别乘，纵坐标不变，依次得到点，请在图中画出，并写出与的位置关系； (3)若内任意一点P的坐标为，那么P到x轴的距离是_____． 【典例2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，．已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例3】如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆·期末）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 6．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·江西新余·期末）已知：点与点关于轴对称，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我们把顶点在格点的四边形叫做格点四边形．如图在的方格纸中，已知线段，请按下列要求完成作图． (1)在图1中作格点四边形，使四边形为中心对称图形． (2)在图2中作格点四边形，使四边形为轴对称图形． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)请直接写出点关于轴对称的点的坐标为 ； (2)将平移，使点移动后的坐标为，画出平移后的图形； (3)画出关于x轴对称的图形． 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系． 已知点 ．．． 关于直线的对称点 （______，_______） ．．． 关于直线的对称点 （_________，_______） ．．． (1)结合图表，写出（_________，_______），（_________，_______） (2)结合上述探究规律填空： ①点关于直线的对称点的坐标为___________； ②点关于直线的对称点的坐标为___________． (3)若点与点关于一条直线对称，直接写出两点的对称轴所在直线． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $