15.1.1轴对称及其性质 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 第一节 轴对称及其性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1轴对称图形 2 知识点2两个图形形成轴对称 2 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性 3 题型精讲1轴对称图形的识别 5 题型精讲2成轴对称的两个图形的识别 6 题型精讲3根据成轴对称图形的特征进行判断 7 题型精讲4根据成轴对称图形的特征进行求解 7 题型精讲5台球桌面上的轴对称问题轴 8 题型精讲6对称中的光线反射问题 9 题型精讲7折叠问题 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解轴对称和轴对称图形的概念，能辨析二者区别与联系；识别常见轴对称图形及其对称轴，掌握轴对称的核心性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段与角相等），能规范描述对称关系。 2. 过程与方法：通过观察生活实例、折叠操作、图形分析，经历“感知—抽象—验证”的探究过程，深化几何直观与空间观念，体会类比思想。 3. 应用与素养：能运用性质解决图形折叠、对称轴作图等问题，建立数学与生活的联系，契合中考对图形性质应用的基础考查要求。 【新知学习】 【知识点1】轴对称图形 （1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. （2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点；轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 边学边练2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】根据轴对称图形的定义可知， A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形． 故选：A． 【知识点2】两个图形形成轴对称 1.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2.轴对称和轴对称图形的区别与联系 边学边练视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 【知识点3】两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段(对折后重合的线段）相等，对应角(对折后重合的角）相等. 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形. 边学边练如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称的性质一一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，直线，， 故选项A，B，D正确，无法判断选项C成立， 故选：C． 题型精讲 题型精讲1轴对称图形的识别 一、题型特征 题目给出一组平面图形（如字母、几何图形、生活图案），要求判断其中哪些是 “轴对称图形”（即一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合），常以选择题、判断题形式出现，核心是紧扣 “单个图形 + 一条对称轴 + 折叠重合” 的定义，需准确识别常见图形的轴对称属性。 二、解题核心步骤 1. 定判断标准：明确轴对称图形的本质 ——单个图形，存在至少一条 “对称轴”，沿对称轴折叠后，两侧部分 “完全重合”（无重叠、无空缺）。 1. 逐一分析图形： 0. 几何图形：如正方形（有 4 条对称轴，沿对角线或对边中线折叠均重合）、等腰三角形（1 条对称轴，沿底边上的高折叠重合）、平行四边形（无对称轴，沿任意直线折叠均不重合）； 0. 字母 / 数字：如 “A”“H”“0”“8”（有对称轴），“N”“Z”“3”（无对称轴）； 0. 生活图案：如圆形钟表（有无数条对称轴）、五角星（5 条对称轴）、剪刀图案（若左右对称则为轴对称图形）。 2. 标注对称轴验证：对疑似轴对称图形，尝试画出可能的对称轴（如竖直、水平、斜向直线），想象折叠过程，确认两侧是否完全重合，若重合则为轴对称图形。 【易错提醒】 1. 混淆 “单个图形” 属性：误将 “两个图形”（如一对全等的三角形）当作单个图形判断，导致错判为轴对称图形； 1. 漏判 “多条对称轴” 图形：认为只有一条对称轴的图形才是轴对称图形，忽略有多条对称轴的图形（如正方形、圆）； 1. 误判 “近似对称” 图形：如认为 “平行四边形” 是轴对称图形，忽略其沿对边中线折叠后，上下部分仅全等但不重合（需结合图形实际折叠效果，而非仅看形状相似）。 【例题1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的概念，关键在于理解并运用“沿某条直线对折后直线两旁部分完全重合”这一特性去判断图形是否为轴对称图形．根据轴对称图形的定义，判断每个选项中的图形是否能沿某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合． 【详解】解：对于选项A中的图形，我们可以想象沿着它的某一条直径所在的直线对折，对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以该图形是轴对称图形； 对于选项B中的图形，无论尝试沿着哪一条直线对折，对折后直线两旁的部分都不能完全重合，所以该图形不是轴对称图形； 对于选项C中的图形，不存在这样一条直线，使得沿着该直线对折后，直线两旁的部分完全重合，所以该图形不是轴对称图形； 对于选项D中的图形，也找不到一条直线，沿其对折后直线两旁的部分能完全重合，所以该图形不是轴对称图形． 故选：A． 【变式训练1】已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【答案】② 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的． 故答案为：． 【变式训练2】下列江苏省城市足球联赛十三支参赛队中的四支参赛队队徽（字母和文字除外）中，其中一个与另外三个图案特征不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】由题意可知，只有选项的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边能完全重合，故选项是轴对称图形，选项、、不是轴对称图形， 故选：． 【变式训练3】下列黑体字中是轴对称图形的是（   ） A．山 B．秀 C．水 D．清 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：A选项符合轴对称图形定义，B、C、D项不符合， 故选：A； 题型精讲2成轴对称的两个图形的识别 一、题型特征 题目给出两组图形（如两个三角形、两个字母、两个图案），要求判断哪组 “成轴对称”（即两个图形沿某条直线折叠后，能完全重合），常以选择题、填空题形式出现，核心是区分 “成轴对称” 与 “轴对称图形”—— 前者是 “两个图形的关系”，后者是 “单个图形的属性”，需紧扣 “两个图形 + 一条对称轴 + 折叠重合” 的定义。 二、解题核心步骤 1. 定判断标准：明确成轴对称的本质 ——两个图形（通常全等），存在至少一条 “对称轴”，沿对称轴折叠后，两个图形能 “完全重合”（一个图形能覆盖另一个图形）。 1. 逐一分析图形组： 3. 看 “全等性”：成轴对称的两个图形必全等（若不全等，直接排除，如一个大三角形和一个小三角形，不可能成轴对称）； 3. 找 “对称轴”：对全等的两个图形，尝试画直线（如连接对应点的垂直平分线），判断沿该直线折叠后是否重合，例： 2. 两个全等的等腰三角形，若底边在同一直线上，顶点分别在直线两侧，连接顶点的直线为对称轴，折叠后重合，成轴对称； 2. 两个全等的平行四边形，若摆放无对称关系（如一个水平、一个旋转 45°），则无对称轴，不成轴对称。 5. 对比 “轴对称图形”：若题目同时出现两种概念，需明确区分 —— 如 “单个圆形” 是轴对称图形，“两个半径相等的圆形，圆心连线的垂直平分线为对称轴” 则成轴对称。 【易错提醒】 1. 混淆 “两个图形” 与 “单个图形”：误将 “轴对称图形”（如单个正方形）拆分为两个图形判断，错认为成轴对称； 1. 忽略 “折叠重合” 条件：仅看到两个图形全等，就判定成轴对称，忽略 “需沿某条直线折叠重合” 的关键条件（如两个全等的三角形随意摆放，无对称轴则不成轴对称）； 1. 误判 “对称轴位置”：找错对称轴（如将两个三角形对应顶点的连线当作对称轴，而非垂直平分线），导致误判折叠是否重合。 【例题1】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【变式训练2】如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：； (2)可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 【答案】(1)见解析 (2)轴对称 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）观察图形可知，可以通过轴对称变换得到，作答即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）观察图形可知，可以通过轴对称变换得到， 故答案为：轴对称． 【变式训练3】2021车12月13日是第八个南京大屠杀死难者国家公祭日，南京大屠杀死难者国家公祭日是为了在南京大屠杀中被日军杀害的30万无辜军民，它的设立表明中国人民反对侵略战争、捍卫人类尊严、维护世界和平的坚定立场．已知表示“勿”、“忘”、“历”、“史”的点的坐标分别为，、，． (1)请在平面直角坐标系中标出这些点； (2)表示“吾”、“辈”的这两个点关于______轴对称； (3)已知表示“自”、“强”的点分别与“史”，“勿”关于轴对称，请在图中标出这两个点． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据坐标在直角坐标系中标出即可； （2）根据点的坐标特点可发现关系； （3）根据轴对称的概念，在图中标出点即可． 【详解】（1）如图所示： （2）由图得：“吾”坐标为（-5，-3）、“辈”坐标为（5，-3）， 故“吾”、“辈”的这两个点关于轴对称； 故答案为：； （3）如图所示： 题型精讲3根据成轴对称图形的特征进行判断 一、题型特征 题目已知两组图形 “成轴对称”，给出部分条件（如其中一个图形的顶点坐标、某条边的长度、某个角的度数），要求判断另一个图形的相关属性（如顶点位置是否正确、边的长度是否相等、角的度数是否匹配），常以选择题、判断题形式出现，核心是利用 “成轴对称的两个图形全等”“对应点连线被对称轴垂直平分” 的特征，验证图形属性的一致性。 二、解题核心步骤 1. 提取成轴对称的特征：成轴对称的两个图形满足 ——①全等（对应边相等、对应角相等）；②对应点连线⊥对称轴；③对应点到对称轴的距离相等。 1. 结合已知条件判断： 6. 边 / 角判断：若已知图形 1 的边 AB=5，角∠C=60°，则图形 2 的对应边 A'B' 必 = 5，对应角∠C' 必 = 60°，若选项中 A'B'≠5 或∠C'≠60°，则判断错误； 6. 位置判断：若已知图形 1 的顶点 P (2,3)，对称轴为 x=1，则图形 2 的对应顶点 P' 的横坐标 = 2×1-2=0，纵坐标 = 3（即 P'(0,3)），若选项中 P' 坐标不是 (0,3)，则判断错误； 6. 对称性判断：若两个图形的对应点连线不垂直于对称轴（如对称轴为 x=1，P (2,3) 对应 P'(3,3)，连线横坐标差 1，不垂直于 x=1），则判断不成轴对称。 8. 综合验证：若题目涉及多个属性（边、角、位置），需逐一验证，全部符合成轴对称特征则判断正确，任一属性不符合则判断错误。 【易错提醒】 1. 忽略 “对应关系”：未明确两个图形的对应顶点、对应边，误将非对应边 / 角当作对应关系判断（如将图形 1 的边 AB 对应图形 2 的边 A'C'），导致结果错误； 1. 误用 “中心对称” 特征：将 “成轴对称” 与 “中心对称”（对应点连线过对称中心，且被中心平分）的特征混淆，用中心对称的位置关系判断成轴对称的图形； 1. 未验证 “垂直平分”：仅验证对应边 / 角相等，忽略对应点连线是否被对称轴垂直平分（如两个全等三角形对应点连线不垂直于对称轴，虽全等但不成轴对称）。 【例题1】民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ②无论沿哪条直线对折，两部分都不能完全重合，不是轴对称图形； ③沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ④沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形． 所以轴对称图形有3个， 故选C． 【变式训练1】跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是 ． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 【变式训练2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，垂直平分， ∴， 故选项A，B，C正确，不符合题意； 不一定平行，故选项D不一定正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】已知在地图上，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点处． (1)已知车站在学校的北偏东方向距学校处，请标出汽车站的位置； (2)若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 【答案】(1)见解析 (2)图上表示见解析，公园在学校的北偏西方向距学校处 【分析】（）根据方向角的定义及距离标出汽车站的位置即可； （）根据轴对称的性质作出图形，再根据轴对称的性质及方向角的定义解答即可； 本题考查了用方向角表示位置，作轴对称图形，掌握方向角的定义及轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，对学校而言，公园在学校的北偏西方向距学校处． 题型精讲4根据成轴对称图形的特征进行求解 一、题型特征 题目已知两组图形成轴对称，给出其中一个图形的具体条件（如顶点坐标、边的长度、角的度数、对称轴位置），要求求解另一个图形的对应条件（如未知顶点坐标、未知边长度、未知角度数），常以填空题、计算题形式出现，核心是利用成轴对称的三大特征（全等、对应点连线⊥对称轴、对应点到对称轴距离相等），结合几何公式（如坐标变换、勾股定理）求解。 二、解题核心步骤 1. 明确已知条件与求解目标： 9. 已知：成轴对称的两个图形（如△ABC 与△A'B'C'）、对称轴（如 x 轴、直线 l:y=2）、其中一个图形的条件（如 A (3,4)、BC=5、∠A=60°）； 9. 求解：另一个图形的对应条件（如 A' 坐标、B'C' 长度、∠A' 度数）。 10. 分类型求解： 9. 求对应点坐标：若对称轴为 x 轴，A (x,y)→A'(x,-y)；若对称轴为直线 x=a，A (x,y)→A'(2a-x,y)（如 A (3,4) 关于 x=1 对称，A'(2×1-3,4)=(-1,4)）； 9. 求对应边 / 角：由 “全等” 特征，对应边相等（BC=B'C'=5），对应角相等（∠A=∠A'=60°）； 9. 求对称轴：若已知对应点 A (1,2)、A'(3,2)，则对称轴为 A'A 的垂直平分线，横坐标 =(1+3)/2=2，纵坐标任意，即直线 x=2（因 A'A 平行于 x 轴，垂直平分线垂直于 x 轴）。 11. 验证求解结果：将结果代入成轴对称特征，验证是否符合（如 A'(-1,4) 与 A (3,4) 关于 x=1 对称，对应点连线中点为 (1,4) 在对称轴上，连线与对称轴垂直，符合特征）。 【易错提醒】 1. 坐标变换公式记错：如将 “关于 y 轴对称” 的坐标变换（x,y→-x,y）记反为（x,-y），导致对应点坐标求解错误； 1. 忽略 “对应边 / 角的唯一性”：未明确对应关系（如△ABC 与△A'B'C' 成轴对称，误将 AB 对应 A'C'），导致对应边长度、角度求解错误； 1. 对称轴为斜向直线时无从下手：遇到对称轴为斜向（如 y=x）的情况，未掌握斜向对称轴的坐标变换规律（如 A (x,y) 关于 y=x 对称→A'(y,x)），导致求解中断（需提前记忆常见斜向对称轴的变换规则）。 【例题1】已知点与点关于x轴对称，则x、y的值分别为（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换、代数式求值，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得x、y值． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 故选：A． 【变式训练1】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：该图形为轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点， ，， ， 故答案为：． 【变式训练2】如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∵的周长是， ∴， ∴，即， 故选：C． 【变式训练3】如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，然后求出，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点是点关于的轴对称点是， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型精讲5台球桌面上的轴对称问题轴 一、题型特征 题目以台球运动为背景，描述台球从某点出发，撞击桌面边缘（如桌边、球袋附近的边线）后反弹，要求确定反弹后的运动路径、撞击点位置，或判断能否落入指定球袋，本质是 “光的反射定律” 在台球运动中的应用，核心是将 “反弹路径” 转化为 “轴对称路径”（即反弹后的路径是入射路径关于撞击边线的对称图形），常以解答题、作图题形式出现。 二、解题核心步骤 1. 建模型：转化为轴对称问题： 12. 明确 “入射点”“撞击边线”“反弹点”：如台球从点 A 出发，撞击桌边 l 上的点 P，反弹后向点 B 运动，桌边 l 为 “对称轴”，入射路径 AP 与反弹路径 PB 关于 l 成轴对称； 12. 作对称点：过入射点 A 作桌边 l 的对称点 A'，根据轴对称性质，AP=A'P，且∠APl=∠BPl（反射角 = 入射角），因此反弹路径 PB 的延长线必过 A'（即 A'、P、B 三点共线）。 13. 确定撞击点与路径： 12. 连接 A' 与目标点 B（如球袋位置），线段 A'B 与桌边 l 的交点即为撞击点 P； 12. 入射路径为 AP，反弹路径为 PB，此路径即为台球的运动轨迹（确保 A'、P、B 共线，满足反射定律）。 14. 验证能否入袋：若 A'B 与桌边 l 的交点 P 在合理范围内（如在桌边的有效长度内），且 PB 的延长线经过球袋，则台球能落入指定球袋；反之则不能。 【易错提醒】 1. 对称点作错对象：误将目标点 B 作对称点，而非入射点 A，导致撞击点 P 位置错误，路径偏离； 1. 忽略 “桌边的有效范围”：仅关注 A'、P、B 共线，未确认撞击点 P 是否在桌边的实际长度内（如桌边 l 为从 C 到 D 的线段，P 需在 CD 之间），导致路径不符合实际台球桌场景； 1. 未结合 “多库反弹”：遇到台球需撞击两次或多次桌边的情况（如先撞 l1，再撞 l2），未依次作对称点（第一次作 A 关于 l1 的对称点 A1，第二次作 A1 关于 l2 的对称点 A2，连接 A2 与 B 找两次撞击点），导致多库反弹路径求解错误。 【例题1】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式训练1】如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】674 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【变式训练2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式训练3】如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ． 【答案】（1，4） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解： 如图， 经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），反射角等于入射角，等于45°， ∵P从(0，3)出发，∴第一次反弹的碰触点为（3,0），第二次反弹的碰触点为（7,4），第三次反弹的碰触点为（8,3），第四次反弹的碰触点为（5,0），第五次反弹的碰触点为（1,4），第六次反弹的碰触点为（0,3），依次循环， ∵2021÷6=336…5， ∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹， 点P的坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）． 题型精讲6对称中的光线反射问题 一、题型特征 题目以光线反射为背景，如 “光线从点 A 出发，经过镜面（如平面镜子、墙面）反射后到达点 B”“光线经过多次反射后照亮目标”，要求确定反射光线的路径、镜面中的像的位置，或计算光线传播的最短距离，核心是利用 “光的反射定律”（反射角 = 入射角），且 “反射光线的路径与入射光线关于镜面成轴对称”，常以解答题、计算题形式出现，与台球桌面问题本质一致，但场景更侧重 “光线” 与 “镜面”。 二、解题核心步骤 1. 建模型：光线反射与轴对称的关系： 15. 明确 “入射光线”“镜面”“反射光线”：如光线从 A 到镜面 l 上的点 O（入射点），反射后到 B，镜面 l 为对称轴，入射光线 AO 与反射光线 OB 关于 l 对称，且∠AOl=∠BOl（反射角 = 入射角）； 15. 作 “像点”：过 A 作镜面 l 的对称点 A'（即 A 在镜中的像），根据轴对称性质，AO=A'O，反射光线 OB 的延长线必过 A'（A'、O、B 共线），即反射路径 OB 可由 A'B 与 l 的交点 O 确定。 16. 求路径长度或像的位置： 15. 求最短路径：光线从 A 到镜面再到 B 的最短路径长度 = A'B 的长度（因 AO+OB=A'O+OB=A'B，两点之间线段最短）； 15. 求像的位置：若已知 A (x1,y1)，镜面为 x 轴，则像点 A'(x1,-y1)；若镜面为直线 y=a，则 A'(x1,2a-y1)（与坐标系中对称点规律一致）。 17. 多次反射问题：如光线先经镜面 l1 反射，再经镜面 l2 反射，需依次作对称点（A 关于 l1 的对称点 A1，A1 关于 l2 的对称点 A2），连接 A2 与 B，与 l2、l1 的交点即为两次反射的入射点，确定两次反射的路径。 【易错提醒】 1. 混淆 “像点” 与 “实际点”：误将 A' 当作实际光线的路径点，导致描述路径时错写为 A'→O→B，忽略 A' 是辅助点，实际路径为 A→O→B； 1. 镜面为曲线时误用轴对称：光的反射问题中，仅 “平面镜面” 可用轴对称模型，若镜面为曲面（如球面镜），则不能直接作对称点，需用曲面反射规律，避免误用； 1. 多次反射时漏作对称点：如两次反射仅作一次对称点，导致第二次反射的入射点无法确定，路径求解不完整。 【例题1】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式训练1】如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（    ）． A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据入射光线与反射光线关于法线对称作答即可． 【详解】解：如图， ∵入射光线与反射光线关于法线对称， ∴其反射光线为b， 故选：B． 【变式训练2】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式训练3】综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得：． 题型精讲7折叠问题 一、题型特征 题目描述将平面图形（如矩形、三角形、正方形）沿某条直线折叠，使图形的一部分与另一部分重合，要求求折叠后未知的边长度、角的度数、顶点坐标，或判断折叠后图形的形状，核心是 “折叠即轴对称”—— 折叠前后的图形关于折痕（对称轴）成轴对称，对应边相等、对应角相等，常以解答题、计算题形式出现，是轴对称综合应用的典型题型。 二、解题核心步骤 1. 明确折叠中的 “对应关系”： 18. 找 “折痕”（对称轴）：如将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 B 与 D 重合，EF 即为折痕（对称轴）； 18. 确定 “对应点”“对应边”“对应角”：折叠后 B 与 D 重合（B 和 D 为对应点），则 AB 与 AD 的对应边需结合折叠方向判断（如 AB 对应 CD，BE 对应 DE，BF 对应 DF），∠B 对应∠D，∠BEF 对应∠DEF。 19. 利用轴对称性质列等式： 18. 对应边相等：如 BE=DE（B 与 D 对应，E 在折痕上），设 BE=DE=x，结合原图形边长（如矩形 AB=3，AD=4，AE=AD-DE=4-x），在 Rt△ABE 中用勾股定理：AB²+AE²=BE²→3²+(4-x)²=x²，解得 x=25/8； 18. 对应角相等：如折叠后∠AFE=∠CFE，若已知∠AFE=60°，则∠CFE=60°，∠EFC+∠AFE=120°，结合矩形内角为 90°，推导其他角的度数。 20. 求解目标量：根据所列等式（如勾股定理方程、角度和差关系），计算未知边长度、角度或坐标，最后验证结果是否符合图形实际（如边长为正，角度在合理范围内）。 【易错提醒】 · 对应关系判断错误：如折叠矩形时，误将 “AB 对应 AD”，导致对应边长度代入错误（如用 AB 的长度计算 AD 方向的线段），进而引发后续勾股定理方程列错；或折叠三角形时，混淆 “顶角对应底角”，导致对应角推导偏差（如将∠A 对应∠B，而非∠C）。 · 忽略 “折痕上的点到对应点距离相等”：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应点的距离相等（如折痕 EF 上的点 E 到 B、D 的距离相等，即 EB=ED），若未利用这一性质，会错过关键等量关系，导致无法列方程求解。 · 未结合图形隐藏条件：折叠问题常隐含 “直角三角形”（如矩形折叠后形成的 Rt△ABE）、“等腰三角形”（如折叠后 EB=ED，△EBD 为等腰三角形）等条件，若忽略这些隐藏图形的性质（如等腰三角形的 “等边对等角”），会增加解题难度，甚至无法得出结果。 【例题1】小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，关键是明白数字左右对称，上下对称．由轴对称的性质即可判断． 【详解】解：由轴对称的性质可得：展开后的圆形是选项C中的图形． 故选：C． 【变式训练1】如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角．根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 【变式训练2】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高：正确理解三角形的高的定义是解决问题的关键．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】解：是的高的是： 故选：D． 【变式训练3】如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理. 先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 【答案】/72度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 根据翻折的性质及角的数量关系求出，根据平行线的性质得出同位角相等，再利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据翻折的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质得， ， 故答案为：． 【变式训练1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 【答案】70°/70度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质确定，利用平行线性质得到、的度数进行求解即可． 【详解】解： 由折叠的性质得，， ． 故答案为：． 【变式训练2】如图，已知． (1)按图1的折叠方法，折叠后点落在上，则是的．若，则． (2)按图2中的折叠方法，折叠后点落在上，则是的． 若，则； 如图3，过点作于点．若，，，则； 如图4，的平分线交于点．若，则的度数为． (3)按图5中的折叠方法，折叠后点与点重合，则是的． 若，则； 如图6，是边的中点．若的周长等于11，则的周长等于． 【答案】(1)高；； (2)角平分线，； (3)中线， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、折叠问题 【分析】（1）依据三角形高的定义、三角形面积公式即可解决问题； （2）以三角形角平分线为核心线索，整合三角形内角和定理、角平分线的定义与性质、三角形面积公式等知识点，通过角平分线将角进行分割，再结合角平分线定理、三角形内角和来求解角度、边长等问题； （3）本题利用折叠性质确定中线，再分别依据中线分面积的性质和中位线等知识，结合线段中点关系，通过代换求出三角形的面积和周长． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠， ∴，即：是边的高， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：高，． （2）解：由图可知：沿着折叠后点落在上， 则：，即：是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； 过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故答案为：角平分线，，，． （3）解：∵点折叠后与点完全重合， ∴，即：是边的中线， ∵是边的中线，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴是的中位线，即， ∵的周长等于， ∴， ∴的周长： ， ， ， ， ． 故答案为：中线，，． 【变式训练3】如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【知识点】折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质，角的和，计算即可； （2）根据折叠的性质，得，根据，得，根据折叠的性质，得，根据三角形面积公式求的面积即可． 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角的和，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， ， ， ． （2）解：根据折叠的性质，得， 又，得， 根据折叠的性质，得， 故， 故． 【典例2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ， 在和中， ∴， ， ， ∵有最小值． 当是点到直线的距离时，， 又，，此时， 即取最小值为4， ∴的最小值是 4 ． 故答案为4． 【变式训练1】如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形中对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 【变式训练2】 【变式训练3】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不变；2 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，再结合可得，根据对顶角性质可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：过D点作，易证可得．再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：作，先证明可得，进而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵B，C关于x轴对称， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：过D点作， 在与中， ， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴平分． （3）解：不变，理由如下： 如图：作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒()． (1)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示) (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； (3)若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 (3)的值为或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了列代数式，轴对称图形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想方法，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用路程，速度，时间的关系式解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点在边上时，，当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可；②当点在边上时，，当时，四边形为长方形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当点在边上时，，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；②当点在边上，且未到达点时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：(1)当点在边上时，， ， ； 当点在边上时，， ． 故答案为：；； （2）①当点在边上时，， 由题意得： ． 当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形， ， ． ②当点在边上时，， 当时，四边形为长方形，是轴对称图形， ， ． 综上，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，的值为或． （3）当的面积是面积的倍时，的值为或．理由： ①当点在边上时，， 由题意得： 作点关于点的中心对称点，如图， 则， 的面积是面积的倍， ， ， 不合题意，舍去． ②当点在边上，且未到达点时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ， 的面积是面积的倍， ， ． ③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ． ． ， ． 综上，当的面积是面积的倍时，的值为或． 【变式训练2】某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）理由见解析；或 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得与的数量关系； （2）过点作于点，证明，再证明，即可得证； （3）延长交的延长线于点，证明得，从而得，再由角平分线的判定可得．分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）解：∵，分别是，的高， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，过点作于点， ∵是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 当时，如图3，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，， ∴， 过点作于点， 由（2）知：，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图4，延长交的延长线于点，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，， ∴， 由前面结论可得：，，，， ∴， 又∵， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的面积为或。． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合． 【详解】A、该图形能找到一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案． 【详解】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点， ∴线段、、都被直线垂直平分． 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，下面四种仪器的示意图中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，求出折叠三次后的角度是解题的关键． 根据折叠的轴对称性，计算出对折三次后的度数，乘以2即可得出答案． 【详解】解：将对折3次后角度变为， ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 7．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据邻补角的性质可得，故该结论①正确；根据“两直线平行，内错角相等”可知，故该结论②正确；由折叠可得，进而可判断该结论③正确；已知条件无法证明，故该结论④不正确；过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，故该结论⑤正确． 【详解】解：①∵， ∴，故该结论正确； ②根据题意，可知， ∴，故该结论正确； ③由折叠可知， ∴，故该结论正确； ④已知条件无法证明，故该结论不正确； ⑤如下图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有①②③⑤． 故选：B． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 【答案】（4） 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了用平行线的性质和折叠的性质求角度，准确计算是解题的关键． 先根据长方形对边平行得出度数，再依据折叠的性质得出的度数，进而求出的度数，最后根据平角为求出的度数． 【详解】由题意可得：， ， 由折叠可得：， ， ． 故答案是． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．结合图形，先表示出的度数，再根据求解可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是 度；如图2，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 或 【知识点】折叠问题 【分析】题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．求的度数，由翻折的性质可得，，故，即得，求的度数分两种情况，画出图形，根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可得， ， ，， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：，或． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，纸片中，，将折叠，使边与边叠在一起，点B落在的延长线上的点D处． (1)若，，求的长； (2)若，，求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据折叠的性质得出，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解∶由折叠得：， ∴， ∵， ∴； （2）解∶ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 【答案】见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求． 【详解】解：如图所示，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求； 由轴对称的性质可得， 则， 故当三点共线时，有最小值，即此时最小，则的周长最小． 16．（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、折叠问题 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知，， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第一节 轴对称及其性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1轴对称图形 2 知识点2两个图形形成轴对称 2 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性 3 题型精讲1轴对称图形的识别 5 题型精讲2成轴对称的两个图形的识别 6 题型精讲3根据成轴对称图形的特征进行判断 7 题型精讲4根据成轴对称图形的特征进行求解 7 题型精讲5台球桌面上的轴对称问题轴 8 题型精讲6对称中的光线反射问题 9 题型精讲7折叠问题 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解轴对称和轴对称图形的概念，能辨析二者区别与联系；识别常见轴对称图形及其对称轴，掌握轴对称的核心性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段与角相等），能规范描述对称关系。 2. 过程与方法：通过观察生活实例、折叠操作、图形分析，经历“感知—抽象—验证”的探究过程，深化几何直观与空间观念，体会类比思想。 3. 应用与素养：能运用性质解决图形折叠、对称轴作图等问题，建立数学与生活的联系，契合中考对图形性质应用的基础考查要求。 【新知学习】 【知识点1】轴对称图形 （1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. （2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点；轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 边学边练2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2】两个图形形成轴对称 1.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2.轴对称和轴对称图形的区别与联系 边学边练视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【知识点3】两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1. 两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 . 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对 所连线段的垂直平分线. 3.轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段(对折后重合的线段） ，对应角(对折后重合的角） . 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也 ，但全等的两个图形不一定是轴对称图形. 边学边练如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 题型精讲 题型精讲1轴对称图形的识别 一、题型特征 题目给出一组平面图形（如字母、几何图形、生活图案），要求判断其中哪些是 “轴对称图形”（即一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合），常以选择题、判断题形式出现，核心是紧扣 “单个图形 + 一条对称轴 + 折叠重合” 的定义，需准确识别常见图形的轴对称属性。 二、解题核心步骤 1. 定判断标准：明确轴对称图形的本质 ——单个图形，存在至少一条 “对称轴”，沿对称轴折叠后，两侧部分 “完全重合”（无重叠、无空缺）。 1. 逐一分析图形： 0. 几何图形：如正方形（有 4 条对称轴，沿对角线或对边中线折叠均重合）、等腰三角形（1 条对称轴，沿底边上的高折叠重合）、平行四边形（无对称轴，沿任意直线折叠均不重合）； 0. 字母 / 数字：如 “A”“H”“0”“8”（有对称轴），“N”“Z”“3”（无对称轴）； 0. 生活图案：如圆形钟表（有无数条对称轴）、五角星（5 条对称轴）、剪刀图案（若左右对称则为轴对称图形）。 2. 标注对称轴验证：对疑似轴对称图形，尝试画出可能的对称轴（如竖直、水平、斜向直线），想象折叠过程，确认两侧是否完全重合，若重合则为轴对称图形。 【易错提醒】 1. 混淆 “单个图形” 属性：误将 “两个图形”（如一对全等的三角形）当作单个图形判断，导致错判为轴对称图形； 1. 漏判 “多条对称轴” 图形：认为只有一条对称轴的图形才是轴对称图形，忽略有多条对称轴的图形（如正方形、圆）； 1. 误判 “近似对称” 图形：如认为 “平行四边形” 是轴对称图形，忽略其沿对边中线折叠后，上下部分仅全等但不重合（需结合图形实际折叠效果，而非仅看形状相似）。 【例题1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【变式训练2】下列江苏省城市足球联赛十三支参赛队中的四支参赛队队徽（字母和文字除外）中，其中一个与另外三个图案特征不同的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】下列黑体字中是轴对称图形的是（   ） A．山 B．秀 C．水 D．清 题型精讲2成轴对称的两个图形的识别 一、题型特征 题目给出两组图形（如两个三角形、两个字母、两个图案），要求判断哪组 “成轴对称”（即两个图形沿某条直线折叠后，能完全重合），常以选择题、填空题形式出现，核心是区分 “成轴对称” 与 “轴对称图形”—— 前者是 “两个图形的关系”，后者是 “单个图形的属性”，需紧扣 “两个图形 + 一条对称轴 + 折叠重合” 的定义。 二、解题核心步骤 1. 定判断标准：明确成轴对称的本质 ——两个图形（通常全等），存在至少一条 “对称轴”，沿对称轴折叠后，两个图形能 “完全重合”（一个图形能覆盖另一个图形）。 1. 逐一分析图形组： 3. 看 “全等性”：成轴对称的两个图形必全等（若不全等，直接排除，如一个大三角形和一个小三角形，不可能成轴对称）； 3. 找 “对称轴”：对全等的两个图形，尝试画直线（如连接对应点的垂直平分线），判断沿该直线折叠后是否重合，例： 2. 两个全等的等腰三角形，若底边在同一直线上，顶点分别在直线两侧，连接顶点的直线为对称轴，折叠后重合，成轴对称； 2. 两个全等的平行四边形，若摆放无对称关系（如一个水平、一个旋转 45°），则无对称轴，不成轴对称。 5. 对比 “轴对称图形”：若题目同时出现两种概念，需明确区分 —— 如 “单个圆形” 是轴对称图形，“两个半径相等的圆形，圆心连线的垂直平分线为对称轴” 则成轴对称。 【易错提醒】 1. 混淆 “两个图形” 与 “单个图形”：误将 “轴对称图形”（如单个正方形）拆分为两个图形判断，错认为成轴对称； 1. 忽略 “折叠重合” 条件：仅看到两个图形全等，就判定成轴对称，忽略 “需沿某条直线折叠重合” 的关键条件（如两个全等的三角形随意摆放，无对称轴则不成轴对称）； 1. 误判 “对称轴位置”：找错对称轴（如将两个三角形对应顶点的连线当作对称轴，而非垂直平分线），导致误判折叠是否重合。 【例题1】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 【变式训练2】如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：； (2)可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 【变式训练3】2021车12月13日是第八个南京大屠杀死难者国家公祭日，南京大屠杀死难者国家公祭日是为了在南京大屠杀中被日军杀害的30万无辜军民，它的设立表明中国人民反对侵略战争、捍卫人类尊严、维护世界和平的坚定立场．已知表示“勿”、“忘”、“历”、“史”的点的坐标分别为，、，． (1)请在平面直角坐标系中标出这些点； (2)表示“吾”、“辈”的这两个点关于______轴对称； (3)已知表示“自”、“强”的点分别与“史”，“勿”关于轴对称，请在图中标出这两个点． 题型精讲3根据成轴对称图形的特征进行判断 一、题型特征 题目已知两组图形 “成轴对称”，给出部分条件（如其中一个图形的顶点坐标、某条边的长度、某个角的度数），要求判断另一个图形的相关属性（如顶点位置是否正确、边的长度是否相等、角的度数是否匹配），常以选择题、判断题形式出现，核心是利用 “成轴对称的两个图形全等”“对应点连线被对称轴垂直平分” 的特征，验证图形属性的一致性。 二、解题核心步骤 1. 提取成轴对称的特征：成轴对称的两个图形满足 ——①全等（对应边相等、对应角相等）；②对应点连线⊥对称轴；③对应点到对称轴的距离相等。 1. 结合已知条件判断： 6. 边 / 角判断：若已知图形 1 的边 AB=5，角∠C=60°，则图形 2 的对应边 A'B' 必 = 5，对应角∠C' 必 = 60°，若选项中 A'B'≠5 或∠C'≠60°，则判断错误； 6. 位置判断：若已知图形 1 的顶点 P (2,3)，对称轴为 x=1，则图形 2 的对应顶点 P' 的横坐标 = 2×1-2=0，纵坐标 = 3（即 P'(0,3)），若选项中 P' 坐标不是 (0,3)，则判断错误； 6. 对称性判断：若两个图形的对应点连线不垂直于对称轴（如对称轴为 x=1，P (2,3) 对应 P'(3,3)，连线横坐标差 1，不垂直于 x=1），则判断不成轴对称。 8. 综合验证：若题目涉及多个属性（边、角、位置），需逐一验证，全部符合成轴对称特征则判断正确，任一属性不符合则判断错误。 【易错提醒】 1. 忽略 “对应关系”：未明确两个图形的对应顶点、对应边，误将非对应边 / 角当作对应关系判断（如将图形 1 的边 AB 对应图形 2 的边 A'C'），导致结果错误； 1. 误用 “中心对称” 特征：将 “成轴对称” 与 “中心对称”（对应点连线过对称中心，且被中心平分）的特征混淆，用中心对称的位置关系判断成轴对称的图形； 1. 未验证 “垂直平分”：仅验证对应边 / 角相等，忽略对应点连线是否被对称轴垂直平分（如两个全等三角形对应点连线不垂直于对称轴，虽全等但不成轴对称）。 【例题1】民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是 ． 【变式训练2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知在地图上，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点处． (1)已知车站在学校的北偏东方向距学校处，请标出汽车站的位置； (2)若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 题型精讲4根据成轴对称图形的特征进行求解 一、题型特征 题目已知两组图形成轴对称，给出其中一个图形的具体条件（如顶点坐标、边的长度、角的度数、对称轴位置），要求求解另一个图形的对应条件（如未知顶点坐标、未知边长度、未知角度数），常以填空题、计算题形式出现，核心是利用成轴对称的三大特征（全等、对应点连线⊥对称轴、对应点到对称轴距离相等），结合几何公式（如坐标变换、勾股定理）求解。 二、解题核心步骤 1. 明确已知条件与求解目标： 9. 已知：成轴对称的两个图形（如△ABC 与△A'B'C'）、对称轴（如 x 轴、直线 l:y=2）、其中一个图形的条件（如 A (3,4)、BC=5、∠A=60°）； 9. 求解：另一个图形的对应条件（如 A' 坐标、B'C' 长度、∠A' 度数）。 10. 分类型求解： 9. 求对应点坐标：若对称轴为 x 轴，A (x,y)→A'(x,-y)；若对称轴为直线 x=a，A (x,y)→A'(2a-x,y)（如 A (3,4) 关于 x=1 对称，A'(2×1-3,4)=(-1,4)）； 9. 求对应边 / 角：由 “全等” 特征，对应边相等（BC=B'C'=5），对应角相等（∠A=∠A'=60°）； 9. 求对称轴：若已知对应点 A (1,2)、A'(3,2)，则对称轴为 A'A 的垂直平分线，横坐标 =(1+3)/2=2，纵坐标任意，即直线 x=2（因 A'A 平行于 x 轴，垂直平分线垂直于 x 轴）。 11. 验证求解结果：将结果代入成轴对称特征，验证是否符合（如 A'(-1,4) 与 A (3,4) 关于 x=1 对称，对应点连线中点为 (1,4) 在对称轴上，连线与对称轴垂直，符合特征）。 【易错提醒】 1. 坐标变换公式记错：如将 “关于 y 轴对称” 的坐标变换（x,y→-x,y）记反为（x,-y），导致对应点坐标求解错误； 1. 忽略 “对应边 / 角的唯一性”：未明确对应关系（如△ABC 与△A'B'C' 成轴对称，误将 AB 对应 A'C'），导致对应边长度、角度求解错误； 1. 对称轴为斜向直线时无从下手：遇到对称轴为斜向（如 y=x）的情况，未掌握斜向对称轴的坐标变换规律（如 A (x,y) 关于 y=x 对称→A'(y,x)），导致求解中断（需提前记忆常见斜向对称轴的变换规则）。 【例题1】已知点与点关于x轴对称，则x、y的值分别为（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【变式训练1】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【变式训练2】如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型精讲5台球桌面上的轴对称问题轴 一、题型特征 题目以台球运动为背景，描述台球从某点出发，撞击桌面边缘（如桌边、球袋附近的边线）后反弹，要求确定反弹后的运动路径、撞击点位置，或判断能否落入指定球袋，本质是 “光的反射定律” 在台球运动中的应用，核心是将 “反弹路径” 转化为 “轴对称路径”（即反弹后的路径是入射路径关于撞击边线的对称图形），常以解答题、作图题形式出现。 二、解题核心步骤 1. 建模型：转化为轴对称问题： 12. 明确 “入射点”“撞击边线”“反弹点”：如台球从点 A 出发，撞击桌边 l 上的点 P，反弹后向点 B 运动，桌边 l 为 “对称轴”，入射路径 AP 与反弹路径 PB 关于 l 成轴对称； 12. 作对称点：过入射点 A 作桌边 l 的对称点 A'，根据轴对称性质，AP=A'P，且∠APl=∠BPl（反射角 = 入射角），因此反弹路径 PB 的延长线必过 A'（即 A'、P、B 三点共线）。 13. 确定撞击点与路径： 12. 连接 A' 与目标点 B（如球袋位置），线段 A'B 与桌边 l 的交点即为撞击点 P； 12. 入射路径为 AP，反弹路径为 PB，此路径即为台球的运动轨迹（确保 A'、P、B 共线，满足反射定律）。 14. 验证能否入袋：若 A'B 与桌边 l 的交点 P 在合理范围内（如在桌边的有效长度内），且 PB 的延长线经过球袋，则台球能落入指定球袋；反之则不能。 【易错提醒】 1. 对称点作错对象：误将目标点 B 作对称点，而非入射点 A，导致撞击点 P 位置错误，路径偏离； 1. 忽略 “桌边的有效范围”：仅关注 A'、P、B 共线，未确认撞击点 P 是否在桌边的实际长度内（如桌边 l 为从 C 到 D 的线段，P 需在 CD 之间），导致路径不符合实际台球桌场景； 1. 未结合 “多库反弹”：遇到台球需撞击两次或多次桌边的情况（如先撞 l1，再撞 l2），未依次作对称点（第一次作 A 关于 l1 的对称点 A1，第二次作 A1 关于 l2 的对称点 A2，连接 A2 与 B 找两次撞击点），导致多库反弹路径求解错误。 【例题1】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式训练1】如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【变式训练2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ． 题型精讲6对称中的光线反射问题 一、题型特征 题目以光线反射为背景，如 “光线从点 A 出发，经过镜面（如平面镜子、墙面）反射后到达点 B”“光线经过多次反射后照亮目标”，要求确定反射光线的路径、镜面中的像的位置，或计算光线传播的最短距离，核心是利用 “光的反射定律”（反射角 = 入射角），且 “反射光线的路径与入射光线关于镜面成轴对称”，常以解答题、计算题形式出现，与台球桌面问题本质一致，但场景更侧重 “光线” 与 “镜面”。 二、解题核心步骤 1. 建模型：光线反射与轴对称的关系： 15. 明确 “入射光线”“镜面”“反射光线”：如光线从 A 到镜面 l 上的点 O（入射点），反射后到 B，镜面 l 为对称轴，入射光线 AO 与反射光线 OB 关于 l 对称，且∠AOl=∠BOl（反射角 = 入射角）； 15. 作 “像点”：过 A 作镜面 l 的对称点 A'（即 A 在镜中的像），根据轴对称性质，AO=A'O，反射光线 OB 的延长线必过 A'（A'、O、B 共线），即反射路径 OB 可由 A'B 与 l 的交点 O 确定。 16. 求路径长度或像的位置： 15. 求最短路径：光线从 A 到镜面再到 B 的最短路径长度 = A'B 的长度（因 AO+OB=A'O+OB=A'B，两点之间线段最短）； 15. 求像的位置：若已知 A (x1,y1)，镜面为 x 轴，则像点 A'(x1,-y1)；若镜面为直线 y=a，则 A'(x1,2a-y1)（与坐标系中对称点规律一致）。 17. 多次反射问题：如光线先经镜面 l1 反射，再经镜面 l2 反射，需依次作对称点（A 关于 l1 的对称点 A1，A1 关于 l2 的对称点 A2），连接 A2 与 B，与 l2、l1 的交点即为两次反射的入射点，确定两次反射的路径。 【易错提醒】 1. 混淆 “像点” 与 “实际点”：误将 A' 当作实际光线的路径点，导致描述路径时错写为 A'→O→B，忽略 A' 是辅助点，实际路径为 A→O→B； 1. 镜面为曲线时误用轴对称：光的反射问题中，仅 “平面镜面” 可用轴对称模型，若镜面为曲面（如球面镜），则不能直接作对称点，需用曲面反射规律，避免误用； 1. 多次反射时漏作对称点：如两次反射仅作一次对称点，导致第二次反射的入射点无法确定，路径求解不完整。 【例题1】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（    ）． A．a B．b C．c D．d 【变式训练2】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 题型精讲7折叠问题 一、题型特征 题目描述将平面图形（如矩形、三角形、正方形）沿某条直线折叠，使图形的一部分与另一部分重合，要求求折叠后未知的边长度、角的度数、顶点坐标，或判断折叠后图形的形状，核心是 “折叠即轴对称”—— 折叠前后的图形关于折痕（对称轴）成轴对称，对应边相等、对应角相等，常以解答题、计算题形式出现，是轴对称综合应用的典型题型。 二、解题核心步骤 1. 明确折叠中的 “对应关系”： 18. 找 “折痕”（对称轴）：如将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 B 与 D 重合，EF 即为折痕（对称轴）； 18. 确定 “对应点”“对应边”“对应角”：折叠后 B 与 D 重合（B 和 D 为对应点），则 AB 与 AD 的对应边需结合折叠方向判断（如 AB 对应 CD，BE 对应 DE，BF 对应 DF），∠B 对应∠D，∠BEF 对应∠DEF。 19. 利用轴对称性质列等式： 18. 对应边相等：如 BE=DE（B 与 D 对应，E 在折痕上），设 BE=DE=x，结合原图形边长（如矩形 AB=3，AD=4，AE=AD-DE=4-x），在 Rt△ABE 中用勾股定理：AB²+AE²=BE²→3²+(4-x)²=x²，解得 x=25/8； 18. 对应角相等：如折叠后∠AFE=∠CFE，若已知∠AFE=60°，则∠CFE=60°，∠EFC+∠AFE=120°，结合矩形内角为 90°，推导其他角的度数。 20. 求解目标量：根据所列等式（如勾股定理方程、角度和差关系），计算未知边长度、角度或坐标，最后验证结果是否符合图形实际（如边长为正，角度在合理范围内）。 【易错提醒】 · 对应关系判断错误：如折叠矩形时，误将 “AB 对应 AD”，导致对应边长度代入错误（如用 AB 的长度计算 AD 方向的线段），进而引发后续勾股定理方程列错；或折叠三角形时，混淆 “顶角对应底角”，导致对应角推导偏差（如将∠A 对应∠B，而非∠C）。 · 忽略 “折痕上的点到对应点距离相等”：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应点的距离相等（如折痕 EF 上的点 E 到 B、D 的距离相等，即 EB=ED），若未利用这一性质，会错过关键等量关系，导致无法列方程求解。 · 未结合图形隐藏条件：折叠问题常隐含 “直角三角形”（如矩形折叠后形成的 Rt△ABE）、“等腰三角形”（如折叠后 EB=ED，△EBD 为等腰三角形）等条件，若忽略这些隐藏图形的性质（如等腰三角形的 “等边对等角”），会增加解题难度，甚至无法得出结果。 【例题1】小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【变式训练2】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【拓展培优】 【典例1】如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 【变式训练1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 【变式训练2】如图，已知． (1)按图1的折叠方法，折叠后点落在上，则是的．若，则． (2)按图2中的折叠方法，折叠后点落在上，则是的． 若，则； 如图3，过点作于点．若，，，则； 如图4，的平分线交于点．若，则的度数为． (3)按图5中的折叠方法，折叠后点与点重合，则是的． 若，则； 如图6，是边的中点．若的周长等于11，则的周长等于． 【变式训练3】如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【典例2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练1】如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【变式训练2】 【变式训练3】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【变式训练1】如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒()． (1)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示) (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； (3)若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 【变式训练2】某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，下面四种仪器的示意图中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是 度；如图2，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，纸片中，，将折叠，使边与边叠在一起，点B落在的延长线上的点D处． (1)若，，求的长； (2)若，，求钝角的度数． 14．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 16．（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $