精品解析：浙江省绍兴市新昌县新昌县七星中学2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期八年级数学期中质量检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，5cm，5cm B. 3cm，4cm，5cm C. 2cm，4cm，6cm D. 1cm， cm， cm 3. 已知，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（　　） A. ∠A＝∠D B. AB＝DC C. AC＝DB D. OB＝OC 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分（）的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 某商品进价加价后出售，最后降价处理库存．要使降价销售的价格不低于进价，售价降价不能高于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和分别是等边三角形，，①；②；③；④平分；⑤平分，下列结论中正确有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④ D. ①③⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其他两边分别长为______ 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 13. 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是__________． 14. 若不等式组的解为，则的取值范围是______． 15. 如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则______，的面积______． 16. 在中，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧相交于点、，作直线与所在的直线相交所得的锐角为，则______． 三、解答题（本大题有8小题，8+8+8+8+8+10+10+12=72，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解不等式（组） （1）并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为 ； （2）在图中作出关于直线的对称图形． （3）利用网格图，在上找一点，使得的值最小（保留痕迹），并求出这个最小值 19. 如图所示，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． （1）如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． （2）如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 21. 已知：如图，平分，． （1）若的面积为3，，求的长． （2）若，求证：． 22. 某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． （1）提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 23. （1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 24. 如图，，，且，，点以每秒的速度从点开始沿射线运动，同时点在线段上由点向终点运动．设运动时间为秒． （1）当时，________，__________． （2）如图①，当点与点经过几秒时，使得与全等？此时，点的速度是多少？（写出求解过程） （3）如图②，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学期中质量检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 2. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，5cm，5cm B. 3cm，4cm，5cm C. 2cm，4cm，6cm D. 1cm， cm， cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边判断即可. 【详解】A有2＋5＝7＞5，5－2＝3＜5，所以能组成三角形，故A选项不是正确选项；B有3＋4＝7＞5，4－3＝1＜5，所以能组成三角形，故B选项不是正确选项；C有2＋4＝6＝6，6－4＝2＝2，所以不能组成三角形，故C选项是正确选项；D有1＋＞，＜1，所以能组成三角形，故D选项不是正确选项，故本题正确答案为C. 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，掌握三边关系定理是解决本题的关键. 3. 已知，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐一判断各选项是否在的条件下成立即可． 【详解】解：A、不等式两边同时，则，原不等式成立，不符合题意； B、不等式两边同时，则，原不等式成立，不符合题意； C、不等式两边同时，则，原不等式成立，不符合题意； D、不等式两边同时，则，再同时，则，原不等式不成立，符合题意； 故选：D． 4. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（　　） A. ∠A＝∠D B. AB＝DC C. AC＝DB D. OB＝OC 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确； D、∵OB=OC， ∴∠DBC=∠ACB， ∵∠ABC=∠DCB， ∴∠ABO=∠DCO， ∵∠AOB=∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB=180°，∠D+∠DCO+∠DOC=180°， ∴∠A=∠D， ∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理， ∴能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，分两种情况：①若等腰三角形顶角的外角等于110°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，分别求出答案即可． 【详解】①若等腰三角形顶角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-110°=70°， ②若等腰三角形底角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-2×(180°-110°)=40°， ∴它的顶角是：或． 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键． 8. 如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分（）的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把面积分成相等的两部分是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别为、、的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 9. 某商品进价加价后出售，最后降价处理库存．要使降价销售的价格不低于进价，售价降价不能高于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解进价、售价和降价率的关系．设进价为，则初始售价为，设降价率为，根据条件列不等式求解． 【详解】解：设进价为，则初始售价为 ， 设降价率为，则降价后售价为， 由题意得： ， 两边除以： ， ， ， ， ， 即售价降价不能高于， 故选：A． 10. 如图，和分别是等边三角形，，①；②；③；④平分；⑤平分，下列结论中正确有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④ D. ①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质，证明，可判断①结论，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断②结论；结合等边对等角推出，可判断③结论；过点作、的垂线，垂足分别为、，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断④结论正确；根据已知条件无法推出⑤结论． 【详解】解：和分别是等边三角形， ，，， ，即， ， ，①结论正确； ， ， ， ，②结论正确； ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，③结论错误； 如图，过点作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 又，， 平分，④结论正确； 根据已知条件无法推出平分，⑤结论错误， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其他两边分别长为______ 【答案】7cm,7cm 【解析】 【详解】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论： 当腰为4时，另一腰也为4，则底为18-2×4=10， ∵4+4=8＜10， ∴这样的三边不能构成三角形． 当底为4时，腰为（18-4）÷2=7， ∵0＜7＜7+4=11， ∴以4，7，7为边能构成三角形． 故答案为7cm，7cm. 点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【解析】 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 13. 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是__________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角尺角度的特殊性可知，， ∴， 故答案为：． 14. 若不等式组的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集为 ，利用“同小取小”的原则确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则______，的面积______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．设，利用折叠的性质和勾股定理列方程求解，求出，再证明，得到，求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ，即， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：，． 16. 在中，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧相交于点、，作直线与所在的直线相交所得的锐角为，则______． 【答案】或 【解析】 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，分为图1，图2和图3三种情况，求出的度数，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由作图方法可得，直线垂直平分， 设直线交于D，交直线于E， 如图1所示，当点E在线段上时，则， ∴， ∵， ∴； 如图2所示，当点E在线段的延长线上时，则， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3所示，当点E在线段的延长线上时，则， ∴ ∵， ∴； ∵直线垂直平分， ∴， ∴，这与矛盾， ∴此种情况不成立； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有8小题，8+8+8+8+8+10+10+12=72，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解不等式（组） （1）并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）． 【答案】（1），数轴见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式与一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解． 【小问1详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴如图所示： ； 【小问2详解】 解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 解得：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为 ； （2）在图中作出关于直线的对称图形． （3）利用网格图，在上找一点，使得的值最小（保留痕迹），并求出这个最小值 【答案】（1）5； （2）图见解析； （3）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了割补法求面积，画轴对称图形，轴对称求最短线段，勾股定理． （1）利用割补法求面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接与交于点，由轴对称的性质可知，，则，即的最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：的面积为 【小问2详解】 解：如图，即为所求作； 【小问3详解】 解：如图，连接与交于点，此时的值最小，为的长， ，即的值最小为． 19. 如图所示，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由三角形内角和可得，然后根据（1）可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可知：． 20. 按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． （1）如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． （2）如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了流程图与不等式，理解流程图的计算规定是解题关键． （1）由操作流程可得，如果程序操作恰好执行一次就停止了，则，再求出的取值范围即可． （2）由题意可知，第一次程序操作可得，进而第二次程序操作可得，解不等式即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：输入，由操作流程可得， 如果程序操作恰好执行一次就停止了，则， 解得：； 【小问2详解】 解：输入， 则第一次程序操作可得，解得， 进而第二次程序操作可得，解得：， 输入的的取值范围是． 21. 已知：如图，平分，． （1）若的面积为3，，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）过点作于点，证明，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， ， 的面积为3， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，， ， ，， ， ，， ， ， ． 22. 某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． （1）提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 【答案】（1）提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元 （2）购买方案有：提示牌50个、垃圾箱50个；提示牌51个、垃圾箱49个；提示牌52个、垃圾箱48个；提示牌53个、垃圾箱47个；其中提示牌53个、垃圾箱47个所需资金最少，最少是9700元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）与一元一次不等式组的实际应用，灵活根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，垃圾箱单价是提示牌的3倍”这两个条件，建立二元一次方程组，考查了二元一次方程组的列法与解法． （2）通过设购买垃圾箱的数量，结合“至少需要安放47个垃圾箱”“购买提示牌和垃圾箱共100个”“费用不超过10000元”这些条件，建立一元一次不等式组，求出取值范围后列举购买方案，并通过计算费用比较得出最省钱的方案，考查了一元一次不等式组的列法、解法以及方案选择与费用优化问题． 【小问1详解】 解：提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为y元，根据题意得， 解得 检验，方程组的解符合题意． ∴提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元． 【小问2详解】 解：设购买垃圾箱x个，则购买提示牌个． 根据题意得： 解得：． ∵x整数， ∴． 方案1：购买垃圾箱47个，提示牌个 方案2：购买垃圾箱48个，提示牌个； 方案3：购买垃圾箱49个，提示牌个； 方案4：购买垃圾箱50个，提示牌个． 设总费用为y元，则费用公式为： 方案1：，元； 方案2：，元； 方案3：，元； 方案4：，元． 综上所述，所有购买方案为上述4种，购买47个垃圾箱和53个提示牌时所需资金最少，最少是9700元． 23. （1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论； （2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论. 【详解】解：（1）. 理由如下：如图①，∵是的平分线，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵点是的中点，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案为. （2）. 理由如下：如图②，延长交的延长线于点. ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 24. 如图，，，且，，点以每秒的速度从点开始沿射线运动，同时点在线段上由点向终点运动．设运动时间为秒． （1）当时，________，__________． （2）如图①，当点与点经过几秒时，使得与全等？此时，点的速度是多少？（写出求解过程） （3）如图②，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，3；（2）若使得与全等，点和点经过6秒，此时点的速度为；或点和点经过4秒，此时点的速度为；（3）存在，2或14或或 【解析】 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）分两种情形：①△ABP≌AQCP；②△ABP≌△PCQ，分别构建方程解决问题即可； （3）分三种情形：①AD=DP；②AD=AP；③PA=PD，分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：t=2时，， ∵BC=4cm，∴ 故答案为：1；3． （2）若使与全等，需分两种情况： ①当且时，如解图1，则△ABP≌△PCQ(SAS)， ∴ 解得，此时 ∴点的速度为 ②当且时，△ABP≌QCP 即 解得，此时 ∴点的速度为 综上所述，若使得与全等，点和点经过6秒，此时点的速度为；或点和点经过4秒，此时点的速度为； （3）2或14或或，理由是： 如图②中，作AH⊥CD于H， 在Rt△ADH中, AH=BC=4， DH=CD-CH=CD-AB=3， ∴AD=， ∵PA= DP= ①当AD= PD时， 即=5 解得：t=2或者14 ②当AD=AP时， =5 解得t=或 (不符合题意舍弃) ∴t= ③当PA=PD时， = 解得t= 综上所述，满足条件的t的值为2或14或或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和等腰三角形的判定．根据三角形全等的条件列出方程求解是解决本题的关键，求边相等时一定注意对应边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $