第13讲 整式（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第13讲 整式（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、写出满足某些特征的单项式 四、单项式规律题 五、多项式的判断 六、多项式的项、项数或次数 七、多项式系数、指数中字母求值 八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 九、整式的判断 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.单项式 1.单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，−1，a 。 注意：单项式中不含加减运算，也不含对字母的开方运算，并且分母中不含字母，如 都不是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。如−3x的系数是−3，ab 的系数是1。 注意：（1）当一个单项式的系数是1或−1 时，1通常省略不写，如1a写成a，−1a写成−a 。 （2）当单项式的系数是假分数时，不要写成带分数，如不要将xy写成1xy 。 （3）单项式的系数包括前面的符号，如−5ab的系数是−5 。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如−3x的次数是1，ab的次数是1+1=2 。 注意：（1）常数项的次数规定为零，如1的次数为0； （2）单独一个字母的次数为1，如a 的次数是1。 知识点2.多项式 1.多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。例如，a²+3a−2的项有a²，3a，−2 ，常数项是−2 。 注意： 多项式中的每一项都是单项式，且每一项都包括它前面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉该项的符号。 3.多项式的次数：在多项式中，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。例如，a²+3a−2次数最高的项a² 的次数是2，所以多项式a²+3a−2的次数是2，a²+3a−2 称为二次三项式。 知识点3.整式 整式的概念：单项式和多项式统称整式。 整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列代数式中，单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，熟记“只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．”是解题的关键． 【详解】解：是单项式． 故选：A． 2．在中，是单项式的为 ． 【答案】 【知识点】单项式的判断 【分析】根据单项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在中， 单项式有：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式，注意：表示数或数与字母的积，叫单项式． 3．下列表述中，字母各表示什么？ （1）有一条边长为4的三角形的面积为2b； （2）高为40的圆柱的体积是20S； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元． 【答案】（1）b表示边长为4的边上的高；（2）S表示底面积的2倍；（3）a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价 【知识点】单项式的判断 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据圆柱的体积公式即可求解； （3）根据题意的代数式的即可求解． 【详解】（1）有一条边长为4的三角形的面积为2b，b表示边长为4的边上的高； （2）高为40的圆柱的体积是20S，S表示底面积的2倍； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元，a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价． 【点睛】此题主要考查代数式中字母的含义，解题的关键是熟知常见的几何公式． 题型二、单项式的系数、次数 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是，次数是2 D．单项式的系数是1，次数是1 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．据此即可求解； 【详解】解：A：单项式的系数是，次数是3，故错误，不符合题意； B：单项式a的系数是，次数也是，故错误，不符合题意； C：单项式的系数是，次数是2，故正确，符合题意； D：单项式的系数是，次数是1，故错误，不符合题意； 故选：C 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）单项式的系数为 ，次数为 ． 【答案】 5 2 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数、次数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，熟练掌握该定义是解题的关键．根据单项式的系数、次数的定义即可解答． 【详解】解：单项式的系数为，次数为2． 故答案为：，． 6．已知2xayb＋1＋(a－1)x2是关于x，y的四次单项式，求a，b的值． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】利用单项式的概念得出a的值，进而求出b的值． 【详解】解：∵2xayb＋1＋(a－1)x2是关于x，y的四次单项式， ∴ 解得： 【点睛】本题考查单项式的概念，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，属于基础题型． 题型三、写出满足某些特征的单项式 7．已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 8．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）请写出一个次数为2的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式定义．单项式的次数及未知数的指数，写出任何一个字母上边指数是2的即可，答案不唯一． 【详解】解：∵写出一个次数为2的单项式， ∴可以作为本题结果， 故答案为：（答案不唯一）． 9．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 题型四、单项式规律题 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的规律问题，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．易知每个代数式的系数比个数多1，x的指数与个数相同． 【详解】解：根据规律可得，每个代数式的系数比个数多1，x的指数与个数相同， 则第n个代数式是：． 故选：D． 11．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组单项式：，，，，…则第6个单项式是 ，第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律，准确找到规律是解题的关键．根据各单项式的系数，次数分析，找到规律，即可求得第个单项式，进而求得第6个单项式． 【详解】解：一组单项式：，，，，…， 则第6个单项式是，第个单项式是． 12．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，… （1）写出第10个和第2020个单项式． （2）写出第n个单项式． 【答案】（1）﹣19x10y，﹣4039x2020y；（2）(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 【知识点】单项式规律题 【分析】（1）通过观察题意可得：10为偶数，单项式的系数为负数，是﹣19，x的指数为10，y的指数不变，还是1，由此可得出第10个单项式，同理第2020个单项式也可由此得出； （2）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．系数的数字部分是连续的奇数，可用2n﹣1来表示，第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，由此可解出本题． 【详解】解：（1）∵当n＝1时，xy， 当n＝2时，﹣3x2y， 当n＝3时，5x3y， 当n＝4时，﹣7x4y， 当n＝5时，9x5y， ∴第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x10y，即﹣19x10y． 第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x2020y，即﹣4039x2020y． 故答案为：﹣19x10y，﹣4039x2020y． （2）∵n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数． ∴符合可用(﹣1)n+1表示， ∵系数的数字部分是连续的奇数， ∴可用2n﹣1来表示， 又∵第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1， ∴第n个单项式可表示为(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 故答案为：(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． 题型五、多项式的判断 13．（24-25七年级上·浙江·期中）代数式，，，，中，多项式的个数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合所给代数式进行判断即可． 【详解】解：和是单项式，不是单项式也不是多项式，多项式有：，，共2个． 故选：B． 14．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）代数式，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】2 【知识点】多项式的判断 【分析】根据单项式的定义，结合所给代数式进行判断即可． 【详解】解：多项式有：，，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了多项式的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握几个单项式的和叫做多项式． 15．（1）把下列各整式填入相应圈里 ab＋c，2m，ax2＋c，－ab2c，a, 0, －，y＋2．     （2）把能用一副三角尺直接画出（或利用其角的加减可画出）的角的度数从左边框内挑出写入右边框内． 【答案】（1）单项式：2m，－ab2c，a，0，－；多项式：ab＋c，ax2＋c，y＋2；（2）15°，75°，105°，120°，150° 【知识点】多项式的判断 【分析】（1）根据单项式和多项式的定义进行求解．单项式是数字与字母的积，多项式是几个单项式的和； （2）三角尺可以画出的角度有30°，45°，60°，90°，由这几个角进行加减能得到的角即为可以画出的角． 【详解】（1）在整式中不含有加减的为单向式，含有加减的为多项式．则 单项式：2m，﹣ab2c，a，0，﹣； 多项式：ab+c，ax2+c，y+2； （2）45﹣30=15；45+30=75；45+60=105；60+60=120；60+90=150；所以能画出的角有： 　15°，75°，105°，120°，150°． 【点睛】（1）重点在于对单项式和多项式定义的考查．（2）根据现实生活中的三角尺的角度进行加减运算得到的角度即为可画出的角度． 题型六、多项式的项、项数或次数 16．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）多项式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟练掌握多项式的次数的定义是解题关键．根据多项式的次数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的次数是2，的次数是1，的次数是0， ∴多项式的次数是2， 故选：B． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若代数式是关于的六次三项式，的值是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项数、次数，熟练掌握多项式的项数、次数的概念是解题的关键．根据多项式的项数、次数的概念计算即可． 【详解】解：多项式是关于的六次三项式， ，， 解得：． 故答案为：． 18．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 【答案】(1)多项式的第6项为，其系数为，次数为； (2)多项式是十次十一项式． 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】（1）由已知的各项可得每一项的次数都是10，且奇数次项的系数为1，偶数次项的系数为，其中x按降幂排列，y按照升幂排列，从而可得答案； （2）根据每一项的次数都是10，以及按照x的排列规律可得其项数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式的第6项为，其系数为，次数为； （2），∵的每一项的次数都是10， ∴多项式是十次十一项式． 【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，熟记多项式的项与次数的概念以及探究各项的排列规律是解本题的关键． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 19．如果是四次三项式，那么m+n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，得到，计算即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数问题，掌握多项式有关定义的应用是解题关键． 20．（2022七年级上·浙江·专题练习）多项式是一个四次三项式，那么 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 21．已知是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 【答案】（1）m＝1，n≠-2时，该多项式是关于x的二次多项式；（2）m＝-5，n＝-2时该多项式是关于x的三次二项式． 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】（1）根据多项式为二次多项式即可列出关于m，n的式子进行求解； （2）根据多项式为三次二项式即可列出关于m，n的式子进行求解． 【详解】（1）由题意得：m-1＝0，且n+2≠0， 解得：m＝1，n≠-2， 则m＝1，n≠-2时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）由题意得：m-1≠0，n+2＝0，且2m-5n＝0， 解得：m≠1，n＝-2， 把n＝-2代入2m-5n＝0得：m＝-5， 则m＝-5，n＝-2时该多项式是关于x的三次二项式． 【点睛】此题主要考查多项式的性质，解题的关键是根据多项式的特点列式求解． 题型八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 22．把多项式按y的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列． 【详解】解：多项式的各项为， 按y的降幂排列为． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列．解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 23．请写出一个二次多项式，含有两个字母，且常数项是-2. . 【答案】3xy-2等 ,不唯一 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【详解】如果一个二次多项式，含有两个字母，且常数项是-2，那么这个多项式可以是3xy-2等． 故答案是：3xy-2等 ,不唯一. 24．写出一个含有字母m、n的多项式，并满足下列条件： （1）该多项式共有4项； （2）它的最高次项的数为4，且系数为； （3）常数项为3，并求当时，这个多项式的值． 【答案】，6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】根据多项式的概念和已知条件写出多项式，把代入多项式，根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式可以是， 当代入， 原式==． 【点睛】本题考查的是多项式的概念和求代数式的值，掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键． 题型九、整式的判断 25．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，逐个进行判断即可求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是单项式，是整式； ②是多项式，是整式； ③是单项式，是整式； ④不是整式； ⑤不是整式； ⑥是多项式，是整式； 综上，整式是①②③⑥， 故选：． 26．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在代数式：，，，，，中，整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的概念，掌握整式是单项式与多项式的统称成为解题关键．根据整式的概念是单项式与多项式的统称逐个判断即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中的按整式有，，， ，共有5个． 故答案为：5． 27．把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，， ， ， 5，﹣xy，a2﹣2ab+1． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：3a，5，﹣xy；多项式：，a2﹣2ab+1；非整式：，． 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据整式，单项式，多项式的概念进行分类即可．单项式是字母和数的乘积，多项式是若干个单项式的和，单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：单项式：3a，5，﹣xy； 多项式：，a2﹣2ab+1； 非整式：，． 【点睛】主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 强化训练 一、单选题 1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．，4 C．，3 D．，4 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数与次数，单项式的系数是数字部分（包括符号），次数是所有变量的指数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵ 单项式的系数为，次数为的指数2与的指数1之和，即 ． ∴单项式的系数和次数分别是和3， 故选：C． 2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式为三次三项式，可知四次项系数为零，且最高次项为三次，从而求出m和n的值． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次三项式， ∴四次项系数为零，即 ， 解得 ． 又∵最高次数为3， ∴． ∴． 故选A． 3．在下列式子中：、、、、、，多项式有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义（几个单项式的和），判断每个式子是否为多项式即可 【详解】解：多项式是几个单项式的和， 是单项式，不是多项式；分母含变量，不是整式，不是多项式；是两个单项式的和，是多项式；2是单项式，不是多项式；是两个单项式的和（分母5是常数），是多项式； 是两个单项式的和（是常数），是多项式， 多项式有3个， 故选：B 4．观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 5．已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是，次数是5，故本选项不符合题意； B、系数是2，次数是5，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是5，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查单项式的次数与系数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义． 6．在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的概念，掌握单项式的判断方法是解题关键．单项式是指由数字或字母乘积的形式，单独的一个数字或字母也是单项式，由此即可获得答案． 【详解】解：在式子，，4， ，，，中，单项式有，4， ，，，共5个， 故选：C． 7．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，正确理解单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 根据整式的定义进行判断即可． 【详解】解：是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是多项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 综上所述：整式的个数共有6个； 故选：B ． 8．观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式概念，通过观察可知，此多项式中的各项除常数项外均为四次项，且按b升幂排列，由此可以确定括号的内容． 【详解】解：∵多项式中的各项除常数项外其余均为四次项，且按b升幂排列， ∴符合此条件的为． 故选：C． 9．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟悉掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式的定义求出这个多项式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式为二次三项式， ∴，， ∴，， 即多项式为， 当时，二次三项式． 故选：B． 10．如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（ ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的次数．熟练掌握单项式的次数是解题的关键． 由于和是关于的次数不同的单项式，且是八次单项式，设的次数为，的次数为，则且．和均因次数不同而无法合并，故均为二项式。通过具体例子验证各说法正误． 【详解】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式， ∴ 设的次数为，的次数为，则且． 对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误． 对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确． 对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。 对于说法④：的次数与的次数不一定相同． ∵和的次数均为，且， ∴ 次数一定相同。④错误． 综上，②和③正确， 故选C． 二、填空题 11．把整式按字母x的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，正确理解升幂排列的含义是解题的关键．按字母x的升幂排列，即根据 x的指数从小到大的顺序排列各项． 【详解】解：按x的指数从小到大排列为： ． 故答案为： ． 12．写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2．你写的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．本题直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2，符合条件的单项式不唯一， 例如：． 故答案为：（答案不唯一）． 13．多项式是一个四次二项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：∵多项式是一个四次二项式， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查多项式的相关概念；多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，通过计算多项式中各项的次数，确定最高次数作为多项式的次数，并统计项数即可． 【详解】解：∵多项式中，第一项的次数为3次，第二项的次数为2次，第三项为常数项，次数为0次， ∴最高次数为3次，项数为3项， ∴多项式为三次三项式． 故答案为：①三；②三． 15．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．由题意易得出第n项为，进而可求出第六个式子 【详解】解：由题意得则第n项为， 则第六个式子是， 故答案为： 16．下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 三、解答题 17．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬ 【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可． 【详解】解：单项式有：②，③，⑥，⑫，⑬； 多项式有：①，⑧，⑨，⑩； 整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩；⑫；⑬； 故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬． 【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 18．多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，多项式，绝对值，先根据多项式的项、次数的定义求出m的值，再根据单项式的次数与多项式的次数相等求出n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∵该多项式的次数与关于x，y的单项式的次数相等， ∴， 解得， ∴． 19．已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）利用多项式的定义即可求出n的值，然后根据升幂排列的定义求解； （2）计算各项系数之和即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； 按x的升幂排列为； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和． 20．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 21．已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． 根据单项式的次数和多项式的次数求出、的值即可； 将多项式按降幂排列即可． 【详解】（1）解：多项式是六次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， 解得：． （2）解：将多项式按降幂排列为． 22．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 23．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 24．如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数． (1)填空：_______，_______，________； (2)数轴上若点，表示的数分别是，，则，间的距离．点，，在数轴上同时开始运动，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，则秒后，点与点之间的距离_______．点与点之间的距离________． (3)当时，试比较与的大小． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据多项式的次数和系数，最大的负整数求解即可； （2）首先表示出运动后点A，B，C表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （3）将代入和求解比较即可． 【详解】（1）∵数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数 ∴，，； （2）根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点与点之间的距离； 根据题意得，运动后点C表示的数为， ∴点与点之间的距离； （3）当时，， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了多项式的系数和次数，数轴上点的表示，数轴上两点之间的距离和动点问题．解题的关键在于用t表示各点表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 整式（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、写出满足某些特征的单项式 四、单项式规律题 五、多项式的判断 六、多项式的项、项数或次数 七、多项式系数、指数中字母求值 八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 九、整式的判断 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.单项式 1.单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，−1，a 。 注意：单项式中不含加减运算，也不含对字母的开方运算，并且分母中不含字母，如 都不是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。如−3x的系数是−3，ab 的系数是1。 注意：（1）当一个单项式的系数是1或−1 时，1通常省略不写，如1a写成a，−1a写成−a 。 （2）当单项式的系数是假分数时，不要写成带分数，如不要将xy写成1xy 。 （3）单项式的系数包括前面的符号，如−5ab的系数是−5 。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如−3x的次数是1，ab的次数是1+1=2 。 注意：（1）常数项的次数规定为零，如1的次数为0； （2）单独一个字母的次数为1，如a 的次数是1。 知识点2.多项式 1.多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。例如，a²+3a−2的项有a²，3a，−2 ，常数项是−2 。 注意： 多项式中的每一项都是单项式，且每一项都包括它前面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉该项的符号。 3.多项式的次数：在多项式中，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。例如，a²+3a−2次数最高的项a² 的次数是2，所以多项式a²+3a−2的次数是2，a²+3a−2 称为二次三项式。 知识点3.整式 整式的概念：单项式和多项式统称整式。 整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列代数式中，单项式是（　　） A． B． C． D． 2．在中，是单项式的为 ． 3．下列表述中，字母各表示什么？ （1）有一条边长为4的三角形的面积为2b； （2）高为40的圆柱的体积是20S； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元． 题型二、单项式的系数、次数 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是，次数是2 D．单项式的系数是1，次数是1 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）单项式的系数为 ，次数为 ． 6．已知2xayb＋1＋(a－1)x2是关于x，y的四次单项式，求a，b的值． 题型三、写出满足某些特征的单项式 7．已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）请写出一个次数为2的单项式： ． 9．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 题型四、单项式规律题 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组单项式：，，，，…则第6个单项式是 ，第n个单项式是 ． 12．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，… （1）写出第10个和第2020个单项式． （2）写出第n个单项式． 题型五、多项式的判断 13．（24-25七年级上·浙江·期中）代数式，，，，中，多项式的个数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）代数式，，，，，，中，多项式有 个． 15．（1）把下列各整式填入相应圈里 ab＋c，2m，ax2＋c，－ab2c，a, 0, －，y＋2．     （2）把能用一副三角尺直接画出（或利用其角的加减可画出）的角的度数从左边框内挑出写入右边框内． 题型六、多项式的项、项数或次数 16．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）多项式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若代数式是关于的六次三项式，的值是 ． 18．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 19．如果是四次三项式，那么m+n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（2022七年级上·浙江·专题练习）多项式是一个四次三项式，那么 ． 21．已知是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 题型八、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 22．把多项式按y的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 23．请写出一个二次多项式，含有两个字母，且常数项是-2. . 24．写出一个含有字母m、n的多项式，并满足下列条件： （1）该多项式共有4项； （2）它的最高次项的数为4，且系数为； （3）常数项为3，并求当时，这个多项式的值． 题型九、整式的判断 25．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 26．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在代数式：，，，，，中，整式有 个． 27．把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，， ， ， 5，﹣xy，a2﹣2ab+1． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 强化训练 一、单选题 1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．，4 C．，3 D．，4 2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．在下列式子中：、、、、、，多项式有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 6．在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 7．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 8．观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 9．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 10．如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（ ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 11．把整式按字母x的升幂排列是 ． 12．写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2．你写的单项式是 ． 13．多项式是一个四次二项式，那么 ． 14．多项式是 次 项式． 15．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 16．下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 三、解答题 17．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 18．多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 19．已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 20．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 21．已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 22．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 23．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 24．如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数． (1)填空：_______，_______，________； (2)数轴上若点，表示的数分别是，，则，间的距离．点，，在数轴上同时开始运动，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，则秒后，点与点之间的距离_______．点与点之间的距离________． (3)当时，试比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $