第11讲 解一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第11讲 解一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.解一元一次方程——合并同类项 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 5.解一元一次方程的一般步骤 6.列方程解应用题 题型巩固 一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 二、解一元一次方程（二）—去括号 三、解一元一次方程（三）—去分母 四、已知一元一次方程的解，求参数 五、一元一次方程解的关系 六、绝对值方程 七、总量和分量关系问题 八、盈与不足问题 九、行程问题 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.解一元一次方程——合并同类项 1. 合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项. 2. 用合并同类项解一元一次方程的步骤 知识点2.解一元一次方程——移项 1. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. •••••••• 2. 移项的依据：移项的依据是等式的性质1，即在方程的两边加(或减)同一个适当的数或式子，结果仍相等.•••••• 3. 移项的目的：将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，使方程更接近于x=a(a 为常数)的形式.通常是左边. 4. 移项解一元一次方程的步骤 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 去括号的方法 把括号外的数或式子(带着符号)与括号内的每一项(带着符号)相乘，再把所得的积相加. 2. 去括号的一般顺序 一般是由内向外去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，此时，要注意把里面的括号看作一个整体. 3. 去括号的依据 分配律：a(b+c)=ab+ac(其中，a，b，c 可以是一个数，也可以是单项式或多项式). 4. 去括号的目的 与移项、合并同类项、系数化为1 等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(a 为常数)的形式. 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 去分母的依据 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数.••••• ••••• 2. 去分母的一般步骤 (1)确定各分母的最小公倍数；••••• (2)方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母. 知识点5.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的步骤：包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等. 通过这些步骤，可以使以x 为未知数的一元一次方程逐步转化为x=a(a为常数) 的形式. 2. 解一元一次方程的具体方法、变形依据、注意事项列表如下 变形名称 具体方法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)如果分子是多项式，去分母时应将分子作为一个整体加上括号 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、 去括号 法则 (1)不要漏乘括号里的任何一项； (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 (1)移项要变号； (2)不要丢项 合并同类项 未知数及其指数不变，系数相加，把方程化为ax=b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)不要丢项； (2)未知数的系数不要弄错 系数化 为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)不要将分子、分母的位置颠倒； (2)如果未知数的系数是含有字母的式子，要保证式子的值不为0 知识点6.列方程解应用题 1. 总量和分量关系问题 相等关系：总量= 各部分量的和.•• •••••• 2. 盈与不足问题 相等关系：表示同一个量的两个不同的式子相等.••••••••••••••••• 3. 行程问题 相等关系：路程= 时间×速度. (1)相遇问题 甲的行程+ 乙的行程= 甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间= 乙用的时间. (2)追及问题 快者走的路程- 慢者走的路程= 追及路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间= 慢者用的时间. (3)航行问题 顺流速度= 静水速度+ 水流速度；逆流速度= 静水速度-水流速度. 顺风速度= 无风速度+ 风速；逆风速度= 无风速度- 风速. 往返于A，B 两地时，顺流(风)航程= 逆流(风)航程. 4. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤 (1)审：认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么. (2)找：找出各数量之间的相等关系. (3)设：设出未知数，一般设题目里所求的未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x.间接设未知数. 直接设未知数. (4)列：根据所设的未知数x 和题目中的已知条件，利用相等关系列出方程. (5)解 ：解方程，求出未知数x 的值. (6)验：检验所得的解是否正确，是否符合题意. (7)答：写出答案. 题型巩固 题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．-2 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查基本的一元一次方程解法，熟练掌握移项和系数化为的步骤是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤，先移项，再系数化为即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如果规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有，请你根据新运算，计算，则 ． 【答案】//2.5 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据新运算的法则，列出算式是解题的关键． 根据新运算的定义，先计算括号内的运算，得到结果后代入方程，再根据运算定义列方程求解． 【详解】解：由新运算定义 ， 先计算 ： ， 则原式化为 ， 即， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． 根据解一元一次方程的步骤，合并同类项、系数化为即可求出方程的解； 根据解一元一次方程的步骤，移项、合并同类项、系数化为即可求出方程的解． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型二、解一元一次方程（二）——去括号 4．（25-26七年级上·云南曲靖·阶段练习）解方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：去括号可得， 故选：B． 5．（25-26七年级上·吉林·期中）定义：，若，则 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了新定义问题、多项式的乘法、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新定义列出方程，进而求解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ∴． 故答案为： ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 题型三、解一元一次方程（三）——去分母 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河南商丘·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）， ， ， ， ， 解得． 题型四、已知一元一次方程的解，求参数 10．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 11．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案 【详解】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解的倒数代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解互为倒数， 则是方程的解， ， 解得：． 题型五、一元一次方程解的关系 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为 【答案】5 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解． 【详解】解：因为方程的解为， 所以方程满足，解得， 故答案为：5． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 题型六、绝对值方程 16．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值方程． 先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或或或， 即或或或． ∵， ∴． 即 ∵关于x的方程恰有三个解， ∴， ∴． 故选：B． 17．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查绝对值方程，若，则是解题的关键． 根据题意得，，再求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1 (2)或4 (3)，8 (4)， 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到3的距离之和，分当x在的左边和当x在3的右边两种情况求解即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上，数轴上x到的距离最小时，x在处，所以当时，x到、x到与x到2的距离之和最小； （4）式子表示x到的距离之和，当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点， 又∵，， ∴x的值为或1． 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1； （2）∵即表示数轴上x到与x到3的距离之和， 由于， ∴x在的左边或x在3的右边． 当x在的左边时，， 解得； 当x在3的右边时，， 解得， ∴x的值是或4； 故答案为：或4； （3）∵表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上， 数轴上x到的距离最小时，x在处， ∴当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， ∴的最小值为8； 故答案为：，8； （4）∵式子表示x到的距离之和， ∴当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小， ∴该式子取得最小值时，应满足的条件是， ∴当时，取得最小值，最小值为： ． 题型七、总量和分量关系问题 19．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 【答案】甲班植树棵数为，乙班植树棵数为 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为，由甲班和乙班共植树31棵，列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 则乙班植树棵数为， 答：甲班植树棵数为，乙班植树棵数为． 20．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本元） (2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是岁） (3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款元） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据圆珠笔的总价与笔记本总价等于18元，即可列出方程； （2）根据3倍的小华今年的年龄等于2倍的小明今年的年龄加10岁，即可列出方程； （3）根据甲、乙两人的捐款总和500元，即可列出方程． 【详解】（1）解：设笔记本每本元， 由题意得，； （2）解：设小华今年的年龄是岁， 由题意得，； （3）解：设乙捐款元， 由题意得，． 题型八、盈与不足问题 22．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设租用45座客车x辆，则参加春游的人数可表示为人，或人，据此即可列出方程，求解得到x的值，进而可得参加春游的人数． 【详解】解：设租用45座客车x辆，根据题意，得 ， 解得， ∴参加春游的有（人）． 故选：D． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校买一批桌子和椅子，共花4020元．已知桌子每张80元，椅子每把30元，并且桌子的数量比椅子少24，问桌子和椅子各买了多少？ 【答案】桌子30张，椅子54把 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；桌子买了x张，根据桌子和椅子共花4020元列方程即可． 【详解】解：设桌子买了x张，椅子买了把， 由题意，得， 解得， 桌子30张，椅子把． 24．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 【答案】(1)学生人数人 (2)租45座更合算 【分析】本题考查一元一次方程实际应用，有理数乘法计算，有理数比较大小等． （1）根据题意设租45座车辆，则学生人数为，租60座车辆，人数为，继而列方程计算即可得到本题答案； （2）通过题意分别计算花费，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租45座车辆，则学生人数为， 租60座车辆，人数为， 列方程： ， 解得： ， ， ， 学生人数： （人）； （2）解：租45座：5辆，费用元， 租60座：4辆，费用元， ∵：1500 < 1600， ∴租45座更合算． 题型九、行程问题 25．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设机场到灾区的距离为s千米，根据速度变化导致的时间差建立方程求解． 【详解】解：设机场到灾区的距离为s千米， 根据题意，得， 解得， 故机场到灾区距离为1800千米， 故选：B． 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发 小时后甲乙相距10千米． 【答案】1.5或1.7 【分析】本题考查一元一次方程的应用-行程问题．设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况根据“甲行驶路程+乙行驶的路程=总距离”分别列方程即可求解． 【详解】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ①当两车相遇前，列方程得， 解得 ②当两车相遇后，列方程得 解得 答：乙出发1.5或1.7小时后甲乙两车相距10千米． 故答案为：1.5或1.7 27．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 【答案】6个 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用． 解题的关键是设定合适的变量，根据原有学生数+新增学生数=打餐窗口处理的学生数这一相等关系建立方程，进而求解需要开放的售饭窗口数量． 【详解】设每个售饭窗口每分钟可打餐人，则学生每分钟增加人，依题意可列方程： 可得： 又设20分钟打完餐需开放个售饭窗口，可列方程为： 可得： 答：需要同时开放6个售饭窗口． 强化训练 一、单选题 1．方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的求解，将方程移项、求解未知数即可. 【详解】解：移项得，， 解得， 故选：B． 2．若为有理数且，则的取值是（    ） A．5 B． C．或3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的意义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即：或． 故选C． 3．解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握利用等式的基本性质去分母． 解方程时，去分母需要两边同时乘以分母3，从而消除分母，得到简化方程． 【详解】解：∵ 原方程 ， 两边同时乘以3， ∴ 故选：A． 4．甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是，根据“从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人”，可列出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是， 根据题意得，， 解得， 即甲队原有工人数是22， 故选：B． 5．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程、一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 先解，再根据方程的解及相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴方程的解为． ∴． ∴． 故选：A． 6．已知多项式是关于的二次多项式，则等于（    ） A．2029 B．2037 C．2049 D．2053 【答案】B 【分析】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，合并同类项，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握多项式的相关概念，得到关于a、b的方程是解题的关键． 先把多项式合并同类项，由于多项式是关于x的二次多项式，因此和项的系数必须为零，然后通过解方程求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ 该多项式是关于x的二次多项式， ∴ 且， 由，得， 把，代入，得， 即，得 ， ∴ ． 故选：B． 7．小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑，则可早到；若每小时骑，则将迟到．小明家到学校的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据小明到校的规定时间不变建立方程是关键． 设小明家到学校的路程是千米，根据小明到校的固定时间不变建立方程求出其解即可． 【详解】解：设小明家到学校的路程是千米， 由题意得：， 解得：． 答：小明家到学校的路程是千米． 故选：C． 8．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 9．若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由，得到原方程的解为，且，则，即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵， ∴原方程的解为，且， ∴． 故选A． 二、填空题 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程．根据绝对值的性质作答即可． 【详解】解：若，则． 故答案为：． 11．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 12．方程的解为 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：5． 13．若方程的解是（b为常数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参的一元一次方程的解，把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程 得： 解得： 故答案为：． 14．周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设乙同学用x小时追上甲同学，利用路程速度时间，结合乙同学追上甲同学时两人的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙同学用x小时追上甲同学， 根据题意得：， 解得：． 答：乙同学用小时追上甲同学． 故答案为：． 15．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 16．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为一，准确计算是解题的关键． 根据方程利用去括号、移项、合并同类项、化系数为一计算即可． 【详解】解：方程去括号得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1∶． 18．熊妈妈买回一篮桃子，灵灵和花花按计划吃，如果它俩每天吃4个，则多出26个；如果它俩每天吃6个，则少8个，请你算算熊妈妈一共买回了多少个桃子？计划吃几天？ 【答案】一共买回了94个桃子，计划吃17天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设计划吃x天，根据“如果它俩每天吃4个，则多出26个；如果它俩每天吃6个，则少8个，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设计划吃x天，根据题意得： ， 解得：， 此时一共买回了个桃子． 答：一共买回了94个桃子，计划吃17天． 19．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】A、B两站相距558千米 【分析】本题考查的是方程的应用，设快车速度为， 则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时，根据相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米列方程求出，再列算式求出结论． 【详解】解：设快车速度为，则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时， 相遇时快车走的总路程为；相遇时慢车走的总路程为， 由题意得： 解得：， ∴总路程为相遇时快车与B站的距离加上慢车与A站的距离， 即 ， 答：A、B两站相距558千米． 20．某市出租车的收费标准是：起步价元（即行驶距离不超过千米都需付元车费），超过千米后，每增加千米加收元（不足千米按千米计）． (1)某人乘坐出租车行驶千米（ ，为整数），试用含的代数式表示他应付的车费； (2)如果某人付了元车费，那么他乘坐出租车行驶了多少千米？ 【答案】(1)元 (2)乘坐出租车行驶的里程大于6千米，不超过7千米 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题意，超过千米后，每增加千米加收元，列出代数式，即可求解； （2）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：车费（元） （2）解：依题意，， ， 解得：， ∵不足千米按千米计， ∴， 答：乘坐出租车行驶的里程大于6千米，不超过7千米． 21．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 22．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 23．如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后取其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再取其中的一个小正方形再剪成四个小正方形，如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 … n 得到正方形的个数 ______ ______ ______ ______ … ______ (2)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成个小正方形？为什么？ (3)若原正方形的面积为，设表示第次所剪出的小正方形的面积． ①______；______； ②根据以上信息，则______． 【答案】(1)4，7，10，13， (2)不能，理由见解析 (3)①；；② 【分析】本题考查剪纸问题，规律型：图形变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）探究规律求解即可； （2）把问题转化为方程有没有整数解可得结论； （3）观察图形可知；；②观察图形可知． 【详解】（1）解：时，正方形个数是， 时，正方形个数是， 时，正方形个数是． 时，正方形个数是， …… 时，正方形个数是． 故答案为：4，7，10，13，； （2）解：不可能． 理由：∵， ∴， 没有整数解，不符合题意； （3）①；； 故答案为：； ②观察图形可知． 故答案为： 24．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____． (4)，则的值为_____． (5)的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)4或 (3)2026 (4)或 (5)7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离． 运用了数形结合和分类讨论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题中结论解答即可； （2）的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在和2025之间和x不在和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，写出的含义，再根据2在和之间， 且和的距离等于，得出当时，的值最小，最小值等于7． 【详解】（1）解：由题得，， 数轴上表示1和的两点之间的距离是6． 故答案为：6． （2）解：由得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． 或． 故答案为：4或． （3）解：表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在和2025之间时，； 当x不在和2025之间，的值大于与2025两点的距离，又， 当x不在和2025之间，的值大于2026； 综上可知，当x在和2025之间时，的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026． （4）解：由（3）知，若， 则数x在的左侧或在2025的右侧，即或， 当时，， 由，解得； 当时，， 由，解得； 综上可知，的值为或． （5）解：表示x与两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在和之间，且和的距离等于， 所以当时，的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 解一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.解一元一次方程——合并同类项 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 5.解一元一次方程的一般步骤 6.列方程解应用题 题型巩固 一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 二、解一元一次方程（二）—去括号 三、解一元一次方程（三）—去分母 四、已知一元一次方程的解，求参数 五、一元一次方程解的关系 六、绝对值方程 七、总量和分量关系问题 八、盈与不足问题 九、行程问题 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.解一元一次方程——合并同类项 1. 合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项. 2. 用合并同类项解一元一次方程的步骤 知识点2.解一元一次方程——移项 1. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. •••••••• 2. 移项的依据：移项的依据是等式的性质1，即在方程的两边加(或减)同一个适当的数或式子，结果仍相等.•••••• 3. 移项的目的：将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，使方程更接近于x=a(a 为常数)的形式.通常是左边. 4. 移项解一元一次方程的步骤 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 去括号的方法 把括号外的数或式子(带着符号)与括号内的每一项(带着符号)相乘，再把所得的积相加. 2. 去括号的一般顺序 一般是由内向外去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，此时，要注意把里面的括号看作一个整体. 3. 去括号的依据 分配律：a(b+c)=ab+ac(其中，a，b，c 可以是一个数，也可以是单项式或多项式). 4. 去括号的目的 与移项、合并同类项、系数化为1 等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(a 为常数)的形式. 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 去分母的依据 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数.••••• ••••• 2. 去分母的一般步骤 (1)确定各分母的最小公倍数；••••• (2)方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母. 知识点5.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的步骤：包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等. 通过这些步骤，可以使以x 为未知数的一元一次方程逐步转化为x=a(a为常数) 的形式. 2. 解一元一次方程的具体方法、变形依据、注意事项列表如下 变形名称 具体方法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)如果分子是多项式，去分母时应将分子作为一个整体加上括号 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、 去括号 法则 (1)不要漏乘括号里的任何一项； (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 (1)移项要变号； (2)不要丢项 合并同类项 未知数及其指数不变，系数相加，把方程化为ax=b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)不要丢项； (2)未知数的系数不要弄错 系数化 为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)不要将分子、分母的位置颠倒； (2)如果未知数的系数是含有字母的式子，要保证式子的值不为0 知识点6.列方程解应用题 1. 总量和分量关系问题 相等关系：总量= 各部分量的和.•• •••••• 2. 盈与不足问题 相等关系：表示同一个量的两个不同的式子相等.••••••••••••••••• 3. 行程问题 相等关系：路程= 时间×速度. (1)相遇问题 甲的行程+ 乙的行程= 甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间= 乙用的时间. (2)追及问题 快者走的路程- 慢者走的路程= 追及路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间= 慢者用的时间. (3)航行问题 顺流速度= 静水速度+ 水流速度；逆流速度= 静水速度-水流速度. 顺风速度= 无风速度+ 风速；逆风速度= 无风速度- 风速. 往返于A，B 两地时，顺流(风)航程= 逆流(风)航程. 4. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤 (1)审：认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么. (2)找：找出各数量之间的相等关系. (3)设：设出未知数，一般设题目里所求的未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x.间接设未知数. 直接设未知数. (4)列：根据所设的未知数x 和题目中的已知条件，利用相等关系列出方程. (5)解 ：解方程，求出未知数x 的值. (6)验：检验所得的解是否正确，是否符合题意. (7)答：写出答案. 题型巩固 题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．-2 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如果规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有，请你根据新运算，计算，则 ． 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）解下列方程： (1) (2) 题型二、解一元一次方程（二）——去括号 4．（25-26七年级上·云南曲靖·阶段练习）解方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·吉林·期中）定义：，若，则 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型三、解一元一次方程（三）——去分母 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 9．（24-25七年级上·河南商丘·期中）解方程： (1)； (2)． 题型四、已知一元一次方程的解，求参数 10．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 11．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 题型五、一元一次方程解的关系 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 题型六、绝对值方程 16．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 17．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段练习）若，则 ． 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 题型七、总量和分量关系问题 19．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 20．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本元） (2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是岁） (3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款元） 题型八、盈与不足问题 22．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校买一批桌子和椅子，共花4020元．已知桌子每张80元，椅子每把30元，并且桌子的数量比椅子少24，问桌子和椅子各买了多少？ 24．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 题型九、行程问题 25．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发 小时后甲乙相距10千米． 27．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 强化训练 一、单选题 1．方程的解是(   ) A． B． C． D． 2．若为有理数且，则的取值是（    ） A．5 B． C．或3 D． 3．解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 4．甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 5．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 6．已知多项式是关于的二次多项式，则等于（    ） A．2029 B．2037 C．2049 D．2053 7．小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑，则可早到；若每小时骑，则将迟到．小明家到学校的路程是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 9．若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 二、填空题 10．若，则 ． 11．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 12．方程的解为 13．若方程的解是（b为常数），则 ． 14．周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 15．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 16．解方程： 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．熊妈妈买回一篮桃子，灵灵和花花按计划吃，如果它俩每天吃4个，则多出26个；如果它俩每天吃6个，则少8个，请你算算熊妈妈一共买回了多少个桃子？计划吃几天？ 19．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 20．某市出租车的收费标准是：起步价元（即行驶距离不超过千米都需付元车费），超过千米后，每增加千米加收元（不足千米按千米计）． (1)某人乘坐出租车行驶千米（ ，为整数），试用含的代数式表示他应付的车费； (2)如果某人付了元车费，那么他乘坐出租车行驶了多少千米？ 21．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 22．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 23．如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后取其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再取其中的一个小正方形再剪成四个小正方形，如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 … n 得到正方形的个数 ______ ______ ______ ______ … ______ (2)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成个小正方形？为什么？ (3)若原正方形的面积为，设表示第次所剪出的小正方形的面积． ①______；______； ②根据以上信息，则______． 24．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____． (4)，则的值为_____． (5)的最小值为____． 学科网（北京）股份有限公司 $