第4章 第4节 等腰三角形和直角三角形(课件PPT)-【理想中考】2025年河南中考数学

第四章　三角形与尺规作图 第4节　等腰三角形和直角三角形 第一部分 考点探究 教材梳理 壹 贰 考点梳理·教材运用 重难击破·典例剖析 目 录 版本 导航 人教 北师 华师 八上第十三章P75-P84 八下第十七章P22-P35 八上第一章P1-P19 八下第一章P2-P21 八上第十三章P78-P84 八上第十四章P107-P128 九上第二十四章P102-P104 返回目录 1.等腰三角形 等腰三角形和等边三角形（6年5考，2024·T9） 定义 有两边　 　的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，第三边叫做底  性质 （1）是轴对称图形，有　 　条对称轴；  （2）两腰相等，两个底角　 　（简称“等边对　 　”）；  （3）三线合一（等腰三角形顶角的　 　、底边上的　 　、底边上的　 　互相重合）  判定 （1）有　 　条边相等的三角形是等腰三角形；  （2）有　 　个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对　 　”）  面积 S=ah（a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高） 相等 一 相等 等角 角平分线 中线 高 两 两 等边 返回目录 考点梳理·教材运用 注意：（1）若题目中已知三角形为等腰三角形，但没明确边是底还是腰，角没明确是顶角还是底角，就需要进行分类讨论； （2）在进行边的讨论时要注意三角形三边关系这个隐含条件. 返回目录 考点梳理·教材运用 2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 （1）具有等腰三角形的一切性质； （2）是轴对称图形，有　 　条对称轴；  （3）三个角都相等，并且每个角都等于　 　  判定 （1）三条边都　 　的三角形是等边三角形；  （2）三个角都　 　的三角形是等边三角形；  （3）有一个角是　 　的等腰三角形是等边三角形  面积 S=ah=a2（a为等边三角形的边长，h为高） 三 60° 相等 相等 60° 返回目录 考点梳理·教材运用 原创素材助理解 1.［2025·原创］如图1，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，D为AC边上一点（不与端点重合）. （1）若BD平分∠ABC，∠C=70°，则∠BDC=　 　°.  （2）若△ABC的一边长为3，周长为12，则另外两边长为　 　.  （3）若AD=BD=BC，则∠A=　 　°.  针对考点1 75 4.5，4.5 36 返回目录 考点梳理·教材运用 （4）如图2，若∠A=60°，a=4. ①S△ABC=　 　；  ②若D为AC的中点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F， 则CF的长为  　.  4 返回目录 考点梳理·教材运用 直角三角形（6年5考，2024·T15） 定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 性质 （1）两锐角　 　；  （2）30°的角所对的直角边等于　 ；  （3）斜边上的中线等于　 ；  （4）勾股定理：两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即　 ；  （5）设a，b为直角边，c为斜边，r为内切圆半径，R为外接圆半径，那么r=，R= 判定 （1）有一个角是　 　的三角形是直角三角形；  （2）两锐角的和等于　 　的三角形是直角三角形；  （3）勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的　 　等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形  面积 S=ch=ab（a，b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高） 互余 斜边的一半　 斜边的一半　 a2+b2=c2　 直角 90° 平方和 返回目录 考点梳理·教材运用 经典习题对点练 2.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°. （1）如图1，CD⊥AB于点D，E是AB边的中点. ①若∠A=70°，则∠BCD=　 　；  ②若AC=6，BC=8，则CD=  　；  ③若∠B=30°，AC=2 ，则AB=　 　；  ④若CD=DE=2，则AB=　 　.  针对考点2 70° 4 8 返回目录 考点梳理·教材运用 （2）如图2，点D，E分别在BC，AB边上，且DE垂直平分线段AB.若BC=2AC，CD=3，则AC=　 　.  4 返回目录 考点梳理·教材运用 ▶类型一　与等边三角形相关的计算 【例1】（2020·河南T10）如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°①.分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D②，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为 （ ） A.6 B.9 C.6 D.3 等腰三角形 D 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 由题中条件得基本结论 ↓ 求解四 边形面 积 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 1.（2023·江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为　 　cm.  2 重难击破·典例剖析 返回目录 2.（2023·河南三模）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F.若AD=5，则DF的长为 （ ） A.3 B.3+ C.4+ D.3+3 C 重难击破·典例剖析 返回目录 ▶类型二　与等腰三角形相关的计算 【例2】（2024·赣州一模）如图，在△ABC中，∠A=76°，D为AC边上一点.若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为 ___________　 .   38°或26° 或14°　 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 等腰三角形的腰未确定，需分类讨论 重难击破·典例剖析 返回目录 方法归纳 等腰三角形中的分类讨论 在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时，如果不确定已知的边是腰还是底边，或不确定已知的角是顶角还是底角，就需要分类讨论. 1.已知等腰三角形的两边长分别为a，b，求周长c时，分两种情况： （1）当腰长为a，底边长为b时，周长c=2a+b； （2）当腰长为b，底边长为a时，周长c=2b+a. 重难击破·典例剖析 返回目录 2.已知等腰三角形的周长为c，一边长为a，求另外两边长时，分两种情况： （1）若长度为a的边是腰，则另外两边的长分别为a，c-2a； （2）若长度为a的边是底边，则另外两边的长均为（c-a）. 3.已知等腰三角形的一个角为α，求顶角或底角的度数时，分三种情况： （1）若α为钝角，则α为顶角，每个底角的度数为（180°-α）； （2）若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，每个底角为45°； （3）若α为锐角，则α可能是顶角，也可能是底角. 重难击破·典例剖析 返回目录 注意：无论哪种情况，都需注意等腰三角形的三边必须满足“两边之和大于第三边”，三个角必须满足“三角形三个内角的和等于180°”. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 3.（2024·临沂二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是　 　.  80° 重难击破·典例剖析 返回目录 4.【新定义】（2024·苏州一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”.若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为　 　.   21 重难击破·典例剖析 返回目录 【例3】（2024·东莞模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°①，∠A=15°②，线段AB的垂直平分线ED分别交AC，AB于点D，E③，连接BD.若CD=④，则AD的长为　 　.   与直角三角形相关的计算 2 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 由题中条件得基本结论 ↓ 利用勾股定理求解 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 5.（2024·洛阳一模）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8，CD=5，则DE=　 　.  3 重难击破·典例剖析 返回目录 6.（2024·信阳二模）如图，Rt△ABC的直角边AC的中点为D，∠A=30°，点E在斜边上，且AE=1.若△ADE为直角三角形，则BC的值为　 　.   1或 重难击破·典例剖析 返回目录 本节易错题回看 1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BD=BC，AD=DE=EB，则∠DBC的度数是___________.  易错分析：未能正确理解等腰三角形的定义致错. 　45°　 重难击破·典例剖析 返回目录 2.如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=45°，M，N分别是AC，BD的中点.若AC=10，则MN=  　.  易错分析：未能根据中线的性质构造直角三角形，易理解为MN=MC而致错. 重难击破·典例剖析 返回目录 请完成分层精练本P27-P28习题 重难击破·典例剖析 返回目录 结 束 $