第4章 第2节 尺规作图(课件PPT)-【理想中考】2025年河南中考数学

第四章　三角形与尺规作图 第2节　尺规作图 第一部分 考点探究 教材梳理 壹 贰 考点梳理·教材运用 重难击破·典例剖析 目 录 版本 导航 人教 北师 华师 七上第四章P126-P128 八上第十二章P36-P42，P48-P50 八上第十三章P62-P63 七下第二章P57-P59，第三章P88-P90 八下第一章P18-P19，P25 八上第十三章P85-P92 返回目录 1.定义：用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图.（尺规作图必须保留作图痕迹） 尺规作图（6年6考，2024·T19） 考点 返回目录 考点梳理·教材运用 2.六种基本的尺规作图 基本作图 作图步骤 作图痕迹 作图依据 作一条线段等于已知线段a 1.作射线OP； 2.以点O为圆心，a的长为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段a 等圆的半径长相等 作一个角等于已知∠α 1.在∠α上，以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交∠α的两边于点P，Q； 2.作射线O'A； 3.以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M； 4.以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，交第3步所作弧于点N； 5.过点N作射线O'B，则∠AO'B即为所求作的角 ①SSS； ②全等三角形对应角相等 返回目录 考点梳理·教材运用 基本作图 作图步骤 作图痕迹 作图依据 作已知∠AOB的平分线 1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； 2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3.作射线OP，射线OP即为所求作的∠AOB的平分线 ①SSS； ②全等三角形对应角相等 作已知线段AB的垂直平分线 1.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧作弧，两弧相交于M，N两点； 2.过点M，N作直线，直线MN即为所求作的线段AB的垂直平分线 ①SSS； ②垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 返回目录 考点梳理·教材运用 基本作图 作图步骤 作图痕迹 作图依据 过一点P作已知直线l的平行线 1.在直线l上取一点Q，连接PQ； 2.以点Q为圆心，适当长为半径作弧，交PQ于点E，交直线l于点F； 3.以点P为圆心，QF的长为半径作弧，交PQ于点M； 4.以点M为圆心，EF的长为半径作弧，交第3步所作的弧于点N； 5.作直线PN，则直线PN即为所求作的直线l的平行线 内错角相等，两直线平行 返回目录 考点梳理·教材运用 基本作图 作图步骤 作图痕迹 作图依据 过一点P 作已知直 线l的垂 线 点 P 在 直 线 l 上 1.以点P为圆心，适当的长为半径作弧，交直线l于A，B两点； 2.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在直线l的两侧作弧，两弧相交于M，N两点； 3.过点M，N作直线，直线MN即为所求作的直线l的垂线 ①SSS； ②垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 点 P 在 直 线 l 外 1.在直线l的另一侧任取一点M； 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧，交直线l于A，B两点； 3.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点N； 4.过点P，N作直线，直线PN即为所求作的直线l的垂线 ①SSS； ②垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 返回目录 考点梳理·教材运用 中考模拟对点练 1.（2024·郑州二模T18）如图，点A，B为☉O上的两点，连接AO，BO，AB（∠AOB<90°）. （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，直线BC即为所求. 返回目录 考点梳理·教材运用 （2）若（1）中所作的平行线与☉O交于点C，连接AC，则∠CAO与∠O有怎样的数量关系，请说明理由. （2）∠O=2∠CAO. 理由如下：∵BC∥OA， ∴∠CAO=∠BCA. ∵∠O=2∠BCA， ∴∠O=2∠CAO. 返回目录 考点梳理·教材运用 注：2024年河南中考19题尺规作图解答题因涉及暂未复习到的知识点“菱形的判定”，故放在本书的第三部分“专题五　尺规作图” 【例1】如图1，在锐角三角形ABC中，AB>BC>AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图2中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是 （ ） A.甲、乙、丙都正确 B.甲、丙正确，乙错误 C.甲、乙正确，丙错误 D.只有甲正确 基本作图 A 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 由作图痕迹得结论 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 1.［过直线外一点作该直线的垂线］（2024·许昌二模T17）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l及直线l外一点P. 重难击破·典例剖析 返回目录 求作：直线PQ，使得PQ⊥l. 作法：如图， ①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B； ②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q； ③作直线PQ. 所以直线PQ即为所求作的直线. 重难击破·典例剖析 返回目录 根据小明设计的尺规作图过程： （1）使用无刻度直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） 解：（1）补全作图如下. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）完成下面的证明. 证明：连接PA，PB，QA，QB. ∵PA=PB=QA=QB， ∴四边形APBQ是菱形（　 　）（填推理的依据），  ∴PQ⊥AB（　 　）（填推理的依据），  即PQ⊥l. 四条边相等的四边形是菱形 菱形的对角线互相垂直 重难击破·典例剖析 返回目录 2.［作已知角的平分线］（2023·河南T18）如图，在△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB. （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，AE即为所求的∠BAC的平分线. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE. （2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE. 又∵AB=AD，AE=AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE=BE. 重难击破·典例剖析 返回目录 3.［过一点作已知直线的平行线］（2024·南阳二模T18）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是BC边上一点，连接DE. （1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AE，BF，若D是AB的中点，求证：AE∥BF. 解：（1）作图如图所示，AF即为所求. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）证明：∵AF∥BE， ∴∠DAF=∠DBE. ∵D是AB的中点，∴AD=BD. 又∵∠ADF=∠BDE， ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴AF=BE，∴四边形AFBE是平行四边形， ∴AE∥BF. 重难击破·典例剖析 返回目录 【例2】（2024·河南省实验三模T18）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上，请在网格图形中画图. （1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外； 应用与设计作图 解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求； 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）在（1）中所画图形的基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，且其他顶点也在格点上. （2）如图，正方形BKFG即为所求. 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 3 垂直平分线 9 1 10 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 4.（2024·新乡二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点. （1）图1中点M，N都是格点，请仅用无刻度的直尺作出MN的中点P； （2）图2中△ABC的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出△ABC的角平分线AD.（要求：保留作图痕迹，不写作法；△ABC的角平分数AD用实线表示，其他线用虚线表示） 重难击破·典例剖析 返回目录 解：（1）如图1，点P即为所求. （2）如图2，AD即为所求. 重难击破·典例剖析 返回目录 5.（2021·河南T23）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务. 小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）； （2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H； 重难击破·典例剖析 返回目录 （3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线. 简述理由如下： 由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线. 重难击破·典例剖析 返回目录 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， （1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）； （2）连接DE，CF，交点为P； （3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线. …… 重难击破·典例剖析 返回目录 任务： 重难击破·典例剖析 返回目录 （1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是　 　（填序号）；  ①SSS　 ②SAS　 ③AAS　 ④ASA　 ⑤HL ⑤ 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由； 解：（2）射线OP是∠AOB的平分线. 理由：在△DOE和△COF中， ∵OD=OC，∠DOE=∠COF，OE=OF， ∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠DEO=∠CFO. 又∵∠CPE=∠DPF，CE=DF， ∴△CPE≌△DPF（AAS），∴PE=PF. 在△OPE和△OPF中， ∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF， ∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB， ∴OP是∠AOB的平分线. 重难击破·典例剖析 返回目录 （3）如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P.当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长. （3）OC的长为2或2+. 重难击破·典例剖析 返回目录 本节易错题回看 1.观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是 （ ） 易错分析：①未能正确理解等腰三角形的定义；②未能根据作图痕迹正确判断出所作图形，未熟练掌握尺规作图. D 重难击破·典例剖析 返回目录 2.如图，在▱ABCD中，AH⊥BC于点H.请用尺规作图法在AH上求作一点P，使S△PBC=S▱ABCD.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点P即为所求. 重难击破·典例剖析 返回目录 易错分析：①未能根据题意正确理解需作的图形；②尺规作图动手操作能力弱. 重难击破·典例剖析 返回目录 请完成分层精练本P24-P25习题 重难击破·典例剖析 返回目录 结 束 $