第3章 第8节 二次函数的应用(课件PPT)-【理想中考】2025年河南中考数学

第三章　函数 第8节　二次函数的应用 第一部分 考点探究 教材梳理 壹 贰 考点梳理·教材运用 重难击破·典例剖析 目 录 版本 导航 人教 北师 华师 九上第二十二章P49-P53 九下第二章P46-P57 九下第二十六章P26-P30 返回目录 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与　 　交点的横坐标.  （1）当Δ=b2-4ac>0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有　 　个交点，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；   二次函数与一元二次方程、不等式、一次函数的关系［6年5考，2023·T22（2）］ x轴 两 返回目录 考点梳理·教材运用 （2）当Δ=b2-4ac=0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有　 　个交点（抛物线的顶点在x轴上），方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；  （3）当Δ=b2-4ac<0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴　 　交点，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.  一 没有 返回目录 考点梳理·教材运用 2.二次函数与不等式的关系 不等式 二次函数y= ax2+bx+c（a<0） 解集 方法 ax2+bx+c>0 （a<0） ____________ 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的自变量的取值范围 ax2+bx+c<0 （a<0） ___________ ___________ 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的自变量的取值范围 xA<x<xB 　x<xA或  　x>xB　  返回目录 考点梳理·教材运用 3.二次函数与一次函数的关系 已知一次函数y=kx+d（k≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）. （1）方程组的解为一次函数y=kx+d（k≠0）图象和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的交点的横、纵坐标值； （2）kx+d=ax2+bx+c，整理得ax2+（b-k）x+c-d=0，当Δ=（b-k）2-4a（c-d）=0时，一次函数y=kx+d（k≠0）的图象和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象只有　 　个交点（即相切）.  一 返回目录 考点梳理·教材运用 （3）如图，不等式kx+d>ax2+bx+c的解集为xA<x<xB；不等式kx+d<ax2+bx+c的解集为　 或　 　.  x<xA　 x>xB 返回目录 考点梳理·教材运用 原创素材助理解 1.［2025·原创］已知，抛物线y1=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上. （1）抛物线的顶点坐标为　 　，抛物线的解析式为 　 ，此时抛物线与x轴的交点有　 　个，方程ax2+bx+c=0的解为　 　；  针对考点1 （2，0） y1=x2-x+1　 1 x=2 返回目录 考点梳理·教材运用 （2）把解析式化成顶点式为　 .若将其向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线y2的解析式为 　 ，此时抛物线与x轴的交点有　 　个.设平移后的抛物线解析式为y2=kx2+hx+m，则kx2+hx+m=0的解为____________ 　 　，当kx2+hx+m<0时，x的取值范围为_________ 　 ；  y1=（x-2）2　 y2=（x-1）2-3　 2 x1=1+2 1-2 　 返回目录 考点梳理·教材运用 （3）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与一次函数y3=-x+1的图象交于M，N两点，则当y1>y3时，x的取值范围为　 　.  x<0或x>2 返回目录 考点梳理·教材运用 1.二次函数的实际应用主要的三种问题形式 （1）销售问题； （2）几何图形的面积问题； （3）抛物线型问题. 二次函数的实际应用（6年4考，2024·T22） 返回目录 考点梳理·教材运用 2.利用二次函数的知识解决最值问题的一般步骤： （1）理解题意，分析问题中的变量与常量之间的关系； （2）根据实际问题或几何知识列出二次函数解析式； （3）结合二次函数的图象与性质在自变量的取值范围内求出函数的最值； （4）检验结果的合理性，得出结论. 返回目录 考点梳理·教材运用 中考模拟对点练 2.【阅读素材类】（2024·开封二模T22）根据以下素材，探索并完成任务. 针对考点2 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）. 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间. 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离. 返回目录 考点梳理·教材运用 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车 行驶时间t（s） 1 2 3 4 刹车后汽车 行驶距离y（m） 27 48 63 72 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系y=at2+bt（a≠0，a，b为常数）； ②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止. 返回目录 考点梳理·教材运用 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务. 任务一：求y关于t的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方90 m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由. 返回目录 考点梳理·教材运用 解：任务一：将（1，27），（2，48）分别代入y=at2+bt， 得解得 ∴y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t.　 返回目录 考点梳理·教材运用 任务二：不会.理由如下： ∵y=-3t2+30t=-3+75， ∴当t=5时，汽车停下，行驶的最大距离为75 m. ∵75<90，∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物. 返回目录 考点梳理·教材运用 【例1】（2021·河南T22）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b相交于点A（2，0）和点B. （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集； （3）M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的 横坐标xM的取值范围. 二次函数与一元二次方程、不等式、一次函数的关系 重难击破·典例剖析 返回目录 解：（1）将A（2，0）代入y=x2+mx， 得0=4+2m，解得m=-2. 将A（2，0）代入y=-x+b， 得0=-2+b，解得b=2.∴m=-2，b=2. （2）由（1）知抛物线y=x2-2x，直线y=-x+2， 联立 ∴B（-1，3）. 由图象可知，不等式x2+mx>-x+b的解集为x<-1或x>2. （3）-1≤xM<2 或xM=3. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 1.（2024·洛阳三模T22）如图，已知y1=x2+bx+c经过点A（-，0），B（0，-3）. （1）请直接写出y1的函数解析式. 解：（1）y1=x2-3. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m>0）仍在原抛物线上，新抛物线与y轴交于点Q，S△BPQ=4. ①求新抛物线的解析式y2，并直接写出当y1>y2时，x的取值范围； ②若点C在y2上，线段CD∥x轴，CD=2，线段CD与y2有两个交点，请直接写出点C的横坐标的取值范围. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）①∵P（m，n）（m>0）在抛物线y1=m2-3， ∴平移后的抛物线的解析式为y2=m2-3. 当x=0时，y2=m2-3， ∴Q（0，m2-3），∴QB=m2-3-（-3）=m2. ∵S△BPQ=4，∴m2·m=4， 解得m=2. ∴n=m2-3=-1，∴P（2，-1）， ∴y2=（x-2）2-1. 结合图象，得当y1>y2时，x>2； ②点C的横坐标的取值范围为2-，且xC≠2. 重难击破·典例剖析 返回目录 【例2】（2023·河南T22）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA=3 m，CA=2 m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y=a（x-1）2+3.2. 二次函数的实际应用 重难击破·典例剖析 返回目录 （1）求点P的坐标和a的值； （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 解：（1）在y=-0.4x+2.8中， 令x=0，得y=2.8，∴点P的坐标为（0，2.8）. 把P（0，2.8）代入y=a（x-1）2+3.2， 得a+3.2=2.8，解得a=-0.4. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）∵OA=3 m，CA=2 m，∴OC=5 m，∴C（5，0）. 在y=-0.4x+2.8中，令y=0，得x=7. 在y=-0.4（x-1）2+3.2中，令y=0， 得x1=-2+1. 选择吊球时，落地点到C点的距离为5-（2）m； 选择扣球时， 落地点到C点的距离为7-5=2（m）. ∵4-2<2， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 2.（2022·河南T21）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度. 重难击破·典例剖析 返回目录 （1）求抛物线的表达式； （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 重难击破·典例剖析 返回目录 解：（1）由题意知，点（5，3.2）是抛物线y=a（x-h）2+k的顶点， ∴y=a（x-5）2+3.2. 又∵抛物线经过点（0，0.7）， ∴0.7=25a+3.2，解得a=-0.1. ∴抛物线的表达式为y=-0.1（x-5）2+3.2（或y=-0.1x2+x+0.7）. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）当y=1.6时，1.6=-0.1（x-5）2+3.2， 解得x1=1，x2=9. ∴3-1=2（m）或9-3=6（m）. 答：小红与爸爸的水平距离为2 m或6 m. 重难击破·典例剖析 返回目录 请完成分层精练本P21-P22习题 重难击破·典例剖析 返回目录 结 束 $