第3章 第7节 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【理想中考】2025年河南中考数学

第三章　函数 第7节　二次函数的图象与性质 第一部分 考点探究 教材梳理 壹 贰 考点梳理·教材运用 重难击破·典例剖析 目 录 版本 导航 人教 北师 华师 九上第二十二章P27-P48 九下第二章P29-P45 九下第二十六章P1-P25 返回目录 1.定义：一般地，形如y=　 （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.  二次函数的图象与性质（6年3考） ax2+bx+c　 返回目录 考点梳理·教材运用 2.二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） a的符号 a>0 a<0 图象 开口 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=- 直线x=- 返回目录 考点梳理·教材运用 顶点 坐标 增减 性 当x<-时，y随x的增大而 　 　；  当x>-时，y随x的增大而 　 　  当x<-时，y随x的增大而　 　； 当x>-时，y随x的增大而　 　  最值 当x=-时，y有最　 　值为  　  当x=-时，y有最　 　值为   　  减小 增大 增大 减小 小 大 返回目录 考点梳理·教材运用 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）. （2）顶点式：　 （a，h，k为常数，a≠0）.  （3）交点式：　 （a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.  注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的确定（6年6考） y=a（x-h）2+k　 y=a（x-x1）（x-x2）　 返回目录 考点梳理·教材运用 2.三种解析式之间的关系 返回目录 考点梳理·教材运用 1.平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标为 　 　；然后保持a值不变，根据平移方向变化顶点坐标即可.  二次函数图象的平移 （h，k） 返回目录 考点梳理·教材运用 2.平移规律 平移前的抛物线解析式 平移m个单位 （m>0） 平移后的抛 物线解析式 口诀 平移后的 顶点坐标 y=a（x-h）2+k（a≠0） 向左平移 y=a（x-h+m）2+k 左加 右减 （h-m，k） 向右平移 y=a（x-h-m）2+k （h+m，k） y=a（x-h）2+k（a≠0） 向上平移 y=a（x-h）2+k+m 上加 下减 （h，k+m） 向下平移 y=a（x-h）2+k-m （h，k-m） 返回目录 考点梳理·教材运用 原创素材助理解 1.［2025·原创］在探究二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象与性质的过程中，x与y的几组对应值列表如下： 针对考点1-3 x … -2 -1 0 1 2 … y … 6 0 -2 0 6 … 返回目录 考点梳理·教材运用 根据表格所提供的数据，完成下列习题： （1）该二次函数图象的对称轴为直线　 　，顶点坐标为　 　，函数有最　 　值，其最值为　 　；  （2）该二次函数图象与x轴有　 　个交点，交点坐标为_____________ 　 ，与y轴的交点坐标为　 　；  x=0 （0，-2） 小 -2 2 （-1，0）， （1，0）　 （0，-2） 返回目录 考点梳理·教材运用 （3）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； 返回目录 考点梳理·教材运用 （4）该二次函数的解析式为　 ，化成交点式为 ________　 　；  （5）若二次函数图象上的点A关于对称轴对称的点为B，则点B的坐标为  　；  （6）若点A（-3，y1），B，C（5，y3）在该函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 ；  y=2x2-2　 y=2 （x-1）（x+1） y3>y1>y2　 返回目录 考点梳理·教材运用 （7）将函数图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的函数解析式为　 ，平移后函数图象的对称轴为直线　 　，顶点坐标为　 　，函数图象与x轴有　 　个交点.  y=2（x-2）2+1　 x=2 （2，1） 0 返回目录 考点梳理·教材运用 【例1】（2023·河南T9）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 （ ） A.第一象限　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二次函数的图象与性质1 D 重难击破·典例剖析 返回目录 可视化思维 由图象得b 的符号 ↓ 确定一次函数图象所在象限 重难击破·典例剖析 返回目录 方法归纳 1.求抛物线的对称轴的方法 （1）公式法：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-； （2）配方法：将一般式y=ax2+bx+c配方成顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为直线x=h； （3）根据对称性求解：若抛物线上任意两点的纵坐标相等，则说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的，根据中点坐标公式，可得对称轴，即若抛物线过点（x1，n），（x2，n），则对称轴为直线x=. 重难击破·典例剖析 返回目录 2.利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 （1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标代入解析式，求出各点的纵坐标，进而比较大小. （2）增减性比较法：若所给点在对称轴同侧，直接利用二次函数的增减性比较大小即可；若所给点不在对称轴同侧，先利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小. 重难击破·典例剖析 返回目录 （3）距离比较法：根据点到对称轴的距离远近比较大小，具体如下： 对于二次函数y=ax2+bx+c， ①若a>0，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越小，如图1；②若a<0，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，如图2. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 1.（2024·南阳二模T9）若二次函数y=（x+h）2+k的图象如图所示，则点P（h，k）所在的象限是 （ ） A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 重难击破·典例剖析 返回目录 2.（2024·平顶山三模T10）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，对称轴为直线x=-2，若点A的坐标为（-5，0），则下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②4a+2b+c<0；③a=4b；④点（x1，y1）， （x2，y2）在抛物线上，当x1<x2<-2时，则y1>y2.其中正确结论的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 重难击破·典例剖析 返回目录 3.（2020·河南T21）如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式及点G的坐标； （2）M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 重难击破·典例剖析 返回目录 解：（1）∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B， ∴B（0，c），∴OA=OB=c，∴A（c，0）. 将（c，0）代入y=-x2+2x+c， 得0=-c2+2c+c， 解得c=3或c=0（舍去）. ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点G的坐标为（1，4）. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）∵y=-（x-1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1. ∵点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，且点M在点N的左侧， ∴点M的坐标为（-2，-5）或（4，-5）， 点N的坐标为（6，-21）. 当点M的坐标为（-2，-5），点N的坐标为（6，-21）时，-21≤yQ≤4. 当点M的坐标为（4，-5），点N的坐标为（6，-21）时，-21≤yQ≤-5. 综上所述，点Q的纵坐标yQ的取值范围为-21≤yQ≤-5或-21≤yQ≤4. 重难击破·典例剖析 返回目录 【例2】在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 （ ）　　　　　　　　　　　　　　 A.y=（x-2）2+1 B.y=（x+2）2+1 C.y=（x+2）2-1 D.y=（x-2）2-1 二次函数图象的平移 B 重难击破·典例剖析 返回目录 方法归纳 确定平移后抛物线的解析式的方法 1.直接利用平移规律法 针对顶点式：直接利用“左加右减，上加下减”的平移规律解答.如抛物线y=ax2（a>0）先向左平移h（h>0）个单位长度，得到y=a（x+h）2，再向上平移k（k>0）个单位长度，得到y=a（x+h）2+k. 针对一般式：①可先将一般式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的平移规律解答； 重难击破·典例剖析 返回目录 ②可直接进行“上加下减常数项，左加右减自变量”.如y=ax2+bx+c，若向下平移k（k>0）个单位长度，则得到y=ax2+bx+c-k；若向右平移h（h>0）个单位长度，则得到y=a（x-h）2+b（x-h）+c. 2.平移顶点法 （1）将抛物线的解析式化成顶点式y=a（x-h）2+k，得到顶点坐标（h，k）； （2）将点（h，k）平移，得到平移后抛物线的顶点； （3）利用顶点式确定平移后抛物线的解析式. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 4.将抛物线y=（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移　 　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.  2或4 重难击破·典例剖析 返回目录 5.（2024·许昌二模T10）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点.若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.10 B 重难击破·典例剖析 返回目录 本节易错题回看 1.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是 （ ） 易错分析：未能熟练掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系致错，忽略二次函数图象过原点致错. C 重难击破·典例剖析 返回目录 2.已知二次函数y=-x2+6x-5，当1≤x≤4时，函数的最大值是________，最小值是 .  易错分析：在给出的自变量的取值区间内，未能正确判断顶点坐标是否包含其中致错. 　4　 　0　 重难击破·典例剖析 返回目录 请完成分层精练本P20习题 重难击破·典例剖析 返回目录 结 束 $