第2章 第3节 一元二次方程(课件PPT)-【理想中考】2025年河南中考数学

该初中数学课件聚焦一元二次方程，系统梳理概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过教材考点探究搭建学习支架，从整式方程过渡到一元二次方程，解法由直接开平方法到公式法逐步深入。 其亮点是整合多版本教材素材与中考真题，设教材对点练和变式训练，以增长率、面积问题培养数学眼光（抽象能力），典例剖析强化数学思维（推理能力），实际应用建模发展数学语言（模型意识），助力学生提升解题能力，方便教师高效教学。

第二章　方程与不等式 第3节　一元二次方程 第一部分 考点探究 教材梳理 壹 贰 考点梳理·教材运用 重难击破·典例剖析 目 录 版本 导航 人教 北师 华师 九上第二十一章P1-P26 九上第二章P30-P58 九上第二十二章P17-P46 返回目录 1.一元二次方程的概念 只含有　 　个未知数，并且未知数的最高次数是　 　，这样的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）.  一元二次方程及其解法 一 2 返回目录 考点梳理·教材运用 特别提醒 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1.一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是整式； 2.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数； 3.一元二次方程是二次方程，即方程中未知数的最高次数是2. 返回目录 考点梳理·教材运用 2.一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是　 　，主要方法如下：   （1）直接开平方法：对于形如x2=m或（ax+n）2=m（a≠0，m≥0）的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的整式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解. （2）因式分解法：将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有未知数的公因式，形如x（ax+b）=0或（ax+b）（cx+d）=0，并令两个因式的值分别为0求解. 降次 返回目录 考点梳理·教材运用 （3）配方法：通过配方把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）变形为=的形式，再利用直接开平方法求解. （4）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时， x=  　.  返回目录 考点梳理·教材运用 教材素材对点练 1.（人教九上P9习题2改编）观察下列方程：①x2+10x+9=0；②x-2y+1=0；③2x+3=0；④x（x-2）=x-2；⑤x2+2y-10=0；⑥mx2-3x=x2-mx+2，回答下列问题： （1）一定是一元二次方程的有　 　（填写序号）；  （2）可能是一元二次方程的是　 　（填写序号），若使其一定是一元二次方程，则需满足的条件是　 　；  针对考点1 ①④ ⑥ m≠1 返回目录 考点梳理·教材运用 （3）用合适的方法解（1）中所得一元二次方程. 解：（3）①x2+10x+9=0， 　　x2+10x+52=-9+52， 　　（x+5）2=16， 　　　　 x+5=±4， 　　x1=-1，x2=-9.（配方法） ④x（x-2）=x-2， 　x（x-2）-（x-2）=0， 　（x-1）（x-2）=0， 　x1=1，x2=2.（因式分解法） 返回目录 考点梳理·教材运用 易错提醒 当一元二次方程等号的两边有相同的含有未知数的因式时，常用因式分解法解方程，此时不能将等号两边同时除以这个因式，这样会出现漏解的情况.如题1中的方程④，等号两边若同时除以（x-2），则x=2这个解就会遗漏致错. 返回目录 考点梳理·教材运用 根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为Δ=　 　， 则： （1）Δ>0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）有　 的实数根为x=；  （2）Δ=0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）有　 的实数根为x1=x2=-；  （3）Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）　 　实数根.  一元二次方程根的判别式（6年6考，2024·T13） b2-4ac 两个不相等　 两个相等　 没有 返回目录 考点梳理·教材运用 中考题目实战练 2.（2021·河南T7）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是 （ ） A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D. 针对考点2 D 返回目录 考点梳理·教材运用 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=　 ， x1x2=  　.  一元二次方程根与系数的关系 -　 返回目录 考点梳理·教材运用 中考模拟对点练 3.（2024·周口一模）若x1，x2是方程x2-2x-8=0的两个根，则 （ ） A.x1+x2=2　　　　　B.x1+x2=-2 C.x1x2=4 D.x1x2=8 针对考点3 A 返回目录 考点梳理·教材运用 1.实际问题常见类型 一元二次方程的实际应用（6年1考，2020·T8） 增长率 问题 增长率=×100% 基础量×（1+增长率）n=增长后量； 基础量×（1-降低率）n=降低后量 ［其中，n为增长（降低）的次数］ 销售 问题 利润=售价-成本（进价） 利润率=×100% 返回目录 考点梳理·教材运用 面积 问题 折纸盒 问题 S阴影=（a-2x）· （b-2x） 修通道 问题 S阴影=（a-x）· （b-x） 建窗户 问题 S阴影=（a-3x）· （b-2x） 返回目录 考点梳理·教材运用 2.一般步骤：审、设、列、解、验、答. 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否符合实际意义. 返回目录 考点梳理·教材运用 经典习题对点练 4.根据题意列出方程： （1）（2024·解析与检测上）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片的单价由188元降为108元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程为_______________________；  针对考点4 　188（1-x）2=108　 返回目录 考点梳理·教材运用 （2）如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540 m2，设道路的宽为x m，则可列方程为___________________________.  　（32-x）（20-x）=540　 返回目录 考点梳理·教材运用 【例1】（2024·河南T13）若关于x的方程x2-x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为  　.  一元二次方程根的判别式 重难击破·典例剖析 返回目录 特别提醒 根据方程根的情况求字母参数取值范围时的注意事项 1.已知一元二次方程根的情况，求字母参数的取值范围时，应注意： （1）若二次项系数含有字母，则不要忽视二次项系数不为0的隐含条件； （2）若一元二次方程有实数根（或有两个实数根），则有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根两种情况，此时Δ≥0，注意不要漏写等号. 2.已知形如ax2+bx+c=0的方程有实数根，求字母参数的取值范围时，由于这样的方程不一定是一元二次方程，故要分a=0和a≠0两种情况讨论. 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 1.（2023·河南T7）关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 （ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 A 重难击破·典例剖析 返回目录 2.（2020·河南T7）定义运算：m☆n=mn2-mn-1.例如：4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为 （ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 A 重难击破·典例剖析 返回目录 3.若关于x的方程kx2-x+3=0有实数根，则k的取值范围是 （ ） A.k≤12　　　　　　 B.k≤ C.k≤12且k≠0 D.k≤且k≠0 B 重难击破·典例剖析 返回目录 【例2】（2024·平顶山三模）关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的一个根是1，则该方程的另一个根为 （ ） A.x=3 B.x=1 C.x=4 D.x=1或x=3 一元二次方程根与系数的关系 A 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 4.（2024·周口一模）已知x1，x2是一元二次方程x2-x-2=0的两个根，则+的值是 （ ） A.1 B. C.-1 D.- D 重难击破·典例剖析 返回目录 5.（2024·三门峡二模）已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+3x1+3x2=1，则实数k的值为 （ ） A. B.-8 C.-10 D.10 6.（2024·项城三模）若a，b为方程x2-3x+2=0的两个实数根，则a2-3a+2ab的值为　 　.  B 2 重难击破·典例剖析 返回目录 【例3】（2020·河南T8）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为 （ ） A.5 000（1+2x）=7 500 B.5 000×2（1+x）=7 500 C.5 000（1+x）2=7 500 D.5 000+5 000（1+x）+5 000（1+x）2=7 500 一元二次方程的实际应用 C 重难击破·典例剖析 返回目录 【变式训练】 7.（2024·南阳二模）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A.82+x2=（x-3）2　 B.82+（x+3）2=x2 C.82+（x-3）2=x2 D.x2+（x-3）2=82 C 重难击破·典例剖析 返回目录 8.（2024·洛阳模拟）如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为 （ ） A.10×6-4×6x=32 B.10×6-4x2=32 C.（10-x）（6-x）=32 D.（10-2x）（6-2x）=32 D 重难击破·典例剖析 返回目录 9.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. （1）当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 重难击破·典例剖析 返回目录 解：（1）设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70-2x+2=（72-2x）m. 根据题意，得x（72-2x）=640， 化简，得 x2-36x+320=0， 解得 x1=16，x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40； 当x=20时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈. 重难击破·典例剖析 返回目录 （2）不能.理由如下： 由题意，得x（72-2x）=650， 化简，得x2-36x+325=0， Δ=（-36）2-4×325=-4<0， ∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到 650 m2. 重难击破·典例剖析 返回目录 本节易错题回看 1.若关于x的方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是 ______________.  易错分析：未正确审题，分辨一元二次方程与方程的区别. 2.方程x2-4x-3=0的解为____________________________.  易错分析：错误使用了十字相乘法解方程. 　k≤1　 　x1=2-，x2=2+　 重难击破·典例剖析 返回目录 请完成分层精练本P8-P9习题 重难击破·典例剖析 返回目录 结 束 $