学易金卷：八年级数学上学期第三次月考01（新教材北师大版八上1～5章：勾股定理+实数+位置与坐标+一次函数+二元一次方程组）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D A A D A C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（答案不唯一） 12．3 13．． 14．． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解： ；……………………………… 4分 （2）解： ．………………………………8 分 18．（8分）（1）解：∵， ∴把代入，得， ∴， 解得； 则， ∴方程组的解为；………………………………4 分 （2）解：∵， ∴，得， 解得， 则， ∴， ∴方程组的解为．……………………………… 8分 19．（8分）（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0．……………………………… 4分 （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为．………………………………8 分 20．（8分）（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人；……………………………… 4分 （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车．……………………………… 8分 21．（8分）（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度．……………………………… 4分 （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退．……………………………… 8分 22．（10分）（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故；……………………………… 2分 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：．……………………………… 6分 （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠．……………………………… 10分 23．（10分）（1）解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5；……………………………… 2分 （2）由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式………………………………5 分 （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米．……………………………… 10分 24．（12分）（1）点；……………………………… 2分 （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴；……………………………… 5分 ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得，……………………………… 8分 ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，．……………………………… 12分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期第三次月考卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共 7 2分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（ 8 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 8 分） 21.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~5章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，两直角边分别是，，则第三边等于（　　） A． B． C．或 D． 4．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 5．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 6．若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A．B． C． D． 7．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 8．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 9．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 10．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．写出一个有理数，使，你写的为 ． 12．已知点与点关于轴对称，则的结果为 ． 13．已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系为 ．（填“>”，“<”或“=”） 14．一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 15．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 16．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）解二元一次方程组： (1) (2) 19．（8分）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．（8分）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 21．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 22．（10分）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)求方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 23．（10分）已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~5章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。选项A是分数，B和D是整数，均为有理数；选项C是5的平方根，5不是完全平方数，故为无理数。 【详解】∵ A. 是分数，属于有理数； B. ，是整数，属于有理数； C. ，5不是完全平方数，故为无理数； D. ，是整数，属于有理数。 ∴ 无理数是C。 2．平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点所在的象限，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，其中第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵第四象限的点需满足，， ∴A、，，在第四象限，符合题意； B、，，不在第四象限，不符合题意； C、，，不在第四象限，不符合题意； D、，，不在第四象限，不符合题意． 故选：A． 3．在中，两直角边分别是，，则第三边等于（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，两直角边分别是，， 第三边等于， 故选：D． 4．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 5．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进行消元求解是解题的关键． 根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确． 【详解】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意； B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意； C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意； D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意． 故选：A． 6．若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 7．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为：即 故选：A． 8．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键． 把代入程序计算即可得到输出结果． 【详解】解：若输入的值为， ， 故选：C． 9．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 10．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 【详解】解：令，可得，即，令时，，即， ∴， 由折叠的性质，得：， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．写出一个有理数，使，你写的为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，计算，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知点与点关于轴对称，则的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3 13．已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系为 ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，当一次函数解析式中时，函数值随自变量的增大而增大进行判断． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 14．一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：对于一次函数， 令，得，解得，即与轴交点为； 令，得，即与轴交点为． 所以，与坐标轴围成的三角形的底边长为，高为， 所以，一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 故答案为：． 15．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 16．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系，易错点是面积公式或代数推导的逻辑失误；解题思路是通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即，整理得， 解得， 阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， 所以阴影面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查求算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先求出算术平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴把代入，得， ∴， 解得； 则， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴，得， 解得， 则， ∴， ∴方程组的解为． 19．（8分）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，或0 (2)当时，平方根为；当时，平方根为． 【分析】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义列出关于a、b的二元一次方程组即可求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0． （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 20．（8分）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】(1)种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 21．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 22．（10分）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)求方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 23．（10分）已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2，5 (2) (3)甲车距A地的路程为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． （1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值； （2）由（1）得和，再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5； （2）由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式 （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) E 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) y/km 440 200F--> m n xh 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 珠 A B Q C 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~5章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，两直角边分别是，，则第三边等于（　　） A． B． C．或 D． 4．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 5．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 6．若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A．B． C． D． 7．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 8．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 9．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 10．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．写出一个有理数，使，你写的为 ． 12．已知点与点关于轴对称，则的结果为 ． 13．已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系为 ．（填“>”，“<”或“=”） 14．一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 15．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 16．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）解二元一次方程组： (1) (2) 19．（8分）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．（8分）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 21．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 22．（10分）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)求方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 23．（10分）已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 1 / 5 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