湖南省浏阳市校联考2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷

2025年下学期期中质量监测参考答案 （高二数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 2. 3.A 4. 5. 6. 7. 8.D 7、解：连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 8解：取AC中点O，连接OB，OD，可得，， 因为且OB、平面OBD， 所以平面OBD， 设，，，且，，； 因为正方形ABCD的边长为4，所以，且，， 又，，因为，所以 ， 解得，则所以， 所以三棱锥的体积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 10. B 11. D 10、解A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确.  故选：BCD 11、解：连接  ，  ，  ， BP ，  ，以 D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，可得 ， ， ， ， ，，则，设平面的法向量为，则，令，则 则 ，即 ， 对于A，若，，则，， 所以，所以平面，A正确； 对于B，若，，则，，则，所以平面，B正确； 对于C，若，则，则， 则P到平面的距离为，C错误； 对于D，若时，，， 则， 当时，； 由，，由则综上，，D正确.故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ； 13、 14. 14解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形，设，，由椭圆的定义可得，所以， 因为， 即，所以，所以四边形的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、 解：由，BH的方程为， 直线AC的斜率，………………………2分 ………………………4分 联立， 得，即；………………………6分 设，则有，………………………8分 解得，即，………………………10分 显然点在直线BC上，直线BC的斜率为，………11分 直线BC的方程为，即， …………13分 解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，，， 且E为PD的中点，则， ………………………2分 又， AC，平面PAC 平面PAC………………………4分 平面PAC， 在中，E为PD的中点，………………………6分 故………………………7分 由题意可知：平面ABCD，，以A为坐标原点，AB，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 因为，， 则，，，，……………8分 可得，，，，， 设平面ACE的法向量为，则， 令，则，，可得………………………10分 又平面ECD与平面PCD为同一个平面， 设平面PCD的法向量为，则， 令，则，可得，………………………12分 由题意可得：，， 即平面ACE与平面ECD所成的角的余弦值为 …………………………15分 17、（1）因为点是椭圆的右顶点，所以.…………………………2分 又，所以.…………………………4分 又，所以…………………………5分 所以椭圆的方程为.…………………………6分 （2）由题意得直线l的方程为：，…………………………8分 设， 联立，消y，得， ，…………………………10分 ，12分 到直线的距离，……………14分 .…………………………………………15分 18、证明：因为平面ABCD， 以点O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，可求得， 则，，，，，，，，…………………………………………2分 所以，，，………………3分 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以，………………5分 所以，又因为平面， 所以平面………………6分 解：由知，，， 所以点到平面的距离为……………10分 解：假设上存在点M满足条件，， 则，，……………………………………………………………………………12分 设直线与平面所成角为，由题意可得， ，，……………14分 化简得，则或，……………………………………………16分 即存在点M符合题意，此时或 .……………………………17分 19、解：设，由，得，……………………2分 化简得，即……………………4分 故曲线是以为圆心，半径为2的圆；……………………5分 证明：由题意知，PQ，PR与圆相切，Q，R为切点， 则，，则D、R、P、Q四点共圆……………………7分 R、Q在以DP为直径的圆上，，又， 则DP的中点为，， 以线段DP为直径的圆的方程为，……………………9分 整理得，①， 又Q、R在上，②， 由两圆方程作差即②-①得： 所以，切点弦QR所在直线的方程为 则QR恒过坐标点……………………11分 ，，，直线， 与，…………………13分 ，……………16分 当且仅当，即存在点，使得 …17分 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 A. B. C. D. 2.若直线与直线平行，则的值为 A. B. 2 C. D. 3.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，， 为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 4.已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 A. B. C. D. 5.如图所示，在平行六面体中，，，， ，，则的长为 A. B. C. D. 5 6.已知实数x，y满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 7.已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 8.如图，边长为4的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线和圆，则 A. 直线l恒过点 B. 直线l与圆M相交 C. 圆M与圆有四条公切线 D. 直线l被圆M截得的最短弦长为 10.已知椭圆是椭圆上的动点，则有 A．若椭圆的焦点在轴上，则 B．若椭圆的离心率，则或 C．当且时，的面积为 D．当时存在点使得 11.如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是 A. 若，，则平面 B. 若，，则平面 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线DP与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过，两点的直线的方向向量为，则k的值为          . 13.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为          . 14.已知，为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为           . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题13分已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为 求顶点的坐标; 求直线的方程. 16.本小题15分如图，在四棱锥中，平面，，，E为的中点. 若，证明： 若，， 求平面和平面的夹角的余弦值. 17.本小题15分已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于、两点，求的面积． 18.本小题17分如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E，F分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为 求证：平面 求点到平面的距离; 在线段上是否存在点M，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长;若不存在，请说明理由. 19.本小题17分已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线 求曲线的方程，并说明其形状; 已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，、为切点，连接交于点， ⅰ证明：直线过定点，并求该定点坐标; ⅱ是否存在点，使的面积最大?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年下学期期中质量监测答题卡 四、解答题 (高二数学) 16.(本小题15分) 考场/座位号： 15.(本小题13分) 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 名、级。 考场、准 考 消楚 必须使用2B铅笔填 必须在题号对应的容题区城内 答量出答地区或写无效。 正确填涂■触考标记 ▣ 一、单选题（每小题5分，共40分） 1[a][BJ[c][D] 5[A)IB][c】CJ 2[A][BJ[C][D] 6 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[A][B时[c】[D] 8[A】[B][C】[DJ 二、 多选题（每小题6分，共18分） g[AJ[BJ【cI[D IO [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 3 囚ㄖ■ 囚囚■ ■ ■ 17.(本小题15分) 18.(本小题17分) 口 0 B C 19,(本小题17分) i I ■ 囚■囚 囚■ㄖ ■