专题6.3 相似图形（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题6.3 相似图形 教学目标 1．理解相似图形的概念，知晓全等是相似的特殊情况。 2．掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边比相等）及相似比的含义。 3．能准确识别相似图形和相似多边形，初步运用定义判断多边形是否相似。 教学重难点 重点：相似图形与相似多边形的概念；相似多边形的判定条件（对应角相等、对应边比相等）。 难点：区分相似与全等的关系；准确找准相似多边形的对应角和对应边。 知识点01 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 注意：①相似图形就是指形状，但不一定相同的图形； ②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是； 【即学即练】 1．下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（   ） A．平行四边形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 知识点02 相似多边形的概念 如果两个多边形的对应角，对应边的比，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为． 【即学即练】 1．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 2．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D．nn 题型01 相似图形 【例1】下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，与图相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 【变式1-4】如图，图形①②③分别和图形 是相似图形（填序号）． 题型02 相似多边形 【例2】如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【变式2-1】如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【变式2-2】如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【变式2-3】给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是 （填序号）． 【变式2-4】如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 题型03 相似多边形的性质 【例3】九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 【变式3-1】一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积之比为 ． 【变式3-3】如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【变式3-4】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 一、单选题 1．已知四边形与四边形相似，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的最短边为4，则四边形的最短边为（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 2．下列两个图形一定相似的是（    ）． A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个等腰三角形 D．两个矩形 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6，另一个与它相似的六边形的周长为92，那么，这个六边形的最长边的边长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 5．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 6．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 7．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 二、填空题 8．如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形对应边的比是 ． 9．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 10．如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 11．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 12．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 13．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 14．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 三、解答题 15．如图，四边形四边形，求的度数． 16．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 17．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 18．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 19．在研究相似问题时，毛哥和虎哥将三角形、矩形、菱形分别按①②③图示扩张，讨论扩张后图形与原图形是否相似． (1)把三张卡片放在一个箱子中，随机抽取一张，抽中扩张后与原图形相似的卡片概率是________； (2)毛哥从箱子中随机抽取一张，不放回，接着虎哥也随机抽取一张，用列表法或画树状图法求毛哥和虎哥抽取的两张卡片扩张后与原图形均相似的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 相似图形 教学目标 1．理解相似图形的概念，知晓全等是相似的特殊情况。 2．掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边比相等）及相似比的含义。 3．能准确识别相似图形和相似多边形，初步运用定义判断多边形是否相似。 教学重难点 重点：相似图形与相似多边形的概念；相似多边形的判定条件（对应角相等、对应边比相等）。 难点：区分相似与全等的关系；准确找准相似多边形的对应角和对应边。 知识点01 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； ②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 【即学即练】 1．下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意； C、两个三角形不相似，故符合题意； D、两个图形相似，故不符合题意， 故选：C． 2．下列命题正确的是（   ） A．平行四边形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】D 【详解】解：∵ 相似多边形需满足对应角相等且对应边成比例． A：平行四边形，对应角不一定相等，故A错误． B：边长相等的六边形，如正六边形与不规则六边形，对应角不一定相等，故B错误． C：有一个角相等的两个等腰梯形，其他对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故C错误． D：等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故D正确． 故选：D． 知识点02 相似多边形的概念 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【即学即练】 1．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【详解】解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 2．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D．nn 【答案】B 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 题型01 相似图形 【例1】下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 【变式1-1】下列图形中，与图相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，选项C中图形和给出的图形，形状相同，是相似形，其余图形的形状与给的图形的形状均不相同，不是相似形； 故选C． 【变式1-2】中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：依题意，与题干的图形相似， 故选：C 【变式1-3】（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 【变式1-4】如图，图形①②③分别和图形 是相似图形（填序号）． 【答案】⑥④⑤ 【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形． 故答案依次为：⑥、④、⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形． 题型02 相似多边形 【例2】如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【详解】解：四边形与四边形相似，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【变式2-1】如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 【变式2-2】如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【答案】 【详解】解：如图，根据题意，设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴新正方形与原正方形的相似比， 故答案为：． 【变式2-3】给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥ 【分析】 【详解】解：①两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ②两个直角三角形除直角外其他角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ③两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似； ④有一个内角是的两个等腰三角形，角可能是顶角或底角，因此角不一定对应相等，故不一定相似； ⑤两个正五边形所有内角相等且所有边成比例，故一定相似； ⑥有一个内角是的两个等腰三角形，角只能是顶角，因此两个三角形的角都相等，且对应边成比例，故一定相似． 故答案为：⑤⑥． 【变式2-4】如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 题型03 相似多边形的性质 【例3】九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 【答案】4厘米或9厘米 【详解】解：∵四边形是矩形，厘米，厘米， ∴厘米，厘米， ∴，                ∵矩形矩形相似， ∴（相似图形的对应边成比例）， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4厘米或9厘米． 【变式3-1】一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设原矩形的长为，宽为，剪去以宽为边长的正方形后，剩下矩形的长为，宽为， ∵原矩形与剩下矩形相似， ∴， 令，则， ∴，即， 解得：， ∵长宽比大于 1， ∴， 故选：D． 【变式3-2】已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积之比为 ． 【答案】 【详解】解：∵五边形五边形，且， 所以相似比为． 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，即 故答案为． 【变式3-3】如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵四边形内角和为，，， ∴ 故答案为：. （2）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵，，，，，， ∴，， 解得，. 故答案为：，. 【变式3-4】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 【答案】或，见解析 【分析】 【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得或． 当时，， ∵， ∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 一、单选题 1．已知四边形与四边形相似，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的最短边为4，则四边形的最短边为（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：已知四边形与四边形的相似比为，即四边形的边长是四边形对应边长的，四边形的最短边为4，则四边形的最短边为． 故选：D． 2．下列两个图形一定相似的是（    ）． A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个等腰三角形 D．两个矩形 【答案】B 【分析】 【详解】A． 两个菱形的各边对应成比例，但各角不一定相等，故不一定相似； B． 两个正方形的所有角均为，且各边对应成比例，因此一定相似； C． 两个等腰三角形的顶角可能不等，对应边比例不一定一致，故不一定相似； D． 两个矩形的角均为，但长宽比例可能不同，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故选B． 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 4．已知一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6，另一个与它相似的六边形的周长为92，那么，这个六边形的最长边的边长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】解：一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6， ∴ ∵另一个与它相似的六边形的周长为92， ∴相似比为 即， ∴这个六边形的最长边的边长为， 故选：D 5．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：设，，则 ∵折叠， ∴， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 7．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 二、填空题 8．如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形对应边的比是 ． 【答案】 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴这两个相似多边形对应边的比是． 故答案为：． 9．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 10．如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 【答案】 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 12．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 13．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 14．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 【答案】3 【详解】解：如图，连接，由题意，得：， ∵正六边形的外角和为， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 两个正六边形相似， 所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正多边形的外角，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及相似多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键． 三、解答题 15．如图，四边形四边形，求的度数． 【答案】 【分析】 【详解】解：四边形四边形， ． ， ， ． 16．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张， ∴根据以上材料，， 则， ∴猜测A号纸的长宽之比可能是， 故选：A； （2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， ∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是． 17．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【答案】，， 【分析】 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴，， 又∵， ∴． 18．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【答案】 【分析】 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 19．在研究相似问题时，毛哥和虎哥将三角形、矩形、菱形分别按①②③图示扩张，讨论扩张后图形与原图形是否相似． (1)把三张卡片放在一个箱子中，随机抽取一张，抽中扩张后与原图形相似的卡片概率是________； (2)毛哥从箱子中随机抽取一张，不放回，接着虎哥也随机抽取一张，用列表法或画树状图法求毛哥和虎哥抽取的两张卡片扩张后与原图形均相似的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，可知，扩张后，两个三角形相似，两个菱形相似，两个矩形不相似， 故随机抽取一张，共3种等可能的结果，其中抽中扩张后与原图形相似的情况有2种， ∴； （2）由题意，画出树状图如图： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片扩张后与原图形均相似的情况有2种， 故． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $