精品解析：黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年11月高二期中联考数学试卷（二）

高二数学试卷（二） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.21 C. 0.39 D. 0.40 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 4. 某工厂生产的10件产品中，有n件次品，现从中任取2件产品，若取出的2件产品中至少有1件次品的概率为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 6. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（ ） A. 800 B. 600 C. 400 D. 200 8. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.3 则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的系数为5292 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________. 13. 已知，则_____ 14. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求： （1）这名学生只在第一个交通岗遇到红灯的概率； （2）这名学生首次停车出现在第4个路口的概率； （3）这名学生至少遇到1次红灯的概率. 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 17. 已知． （1）求的值 （2） ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 18. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 19. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷（二） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 2. 在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.21 C. 0.39 D. 0.40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 4. 某工厂生产的10件产品中，有n件次品，现从中任取2件产品，若取出的2件产品中至少有1件次品的概率为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得出的2件产品中1件次品都没有的概率为，再利用古典概型即可求出答案. 【详解】若取出的2件产品中至少有1件次品的概率为，则取出的2件产品中1件次品都没有的概率为. 则. 故选：C. 5. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 6. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并事件的概率计算公式求出，在由条件概率公式计算即可. 【详解】因为， 即， 解得， 所以． 故选：B. 7. 某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（ ） A. 800 B. 600 C. 400 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出指定区间内的概率，进而估计人数. 【详解】由成绩，得， 由成绩分的人数有100人，得， 因此，则， 所以成绩在的人数大约有（人）． 故选：A 8. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若甲要以结束比赛，则第四局必胜，前三局赢两局即可. 【详解】由题可知，若甲要以结束比赛，则甲在前三局中有2局赢，1局输，在第四局必须赢. 而甲在前三局有三种情况：1.赢赢输；2.赢输赢；3.输赢赢. 因此. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.3 则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机变量分布列的性质可求解的值，然后再根据分布列计算数学期望即可. 【详解】由，得，则. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的系数为5292 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用“赋值法”判断B的真假；利用二项式定理判断C的真假；求的系数，判断D的真假. 【详解】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则； 若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误； 对B：令可得；令可得， 所以，故B正确； 对C：因为， 所以被8除的余数为7，故C错误； 对D：因为 . 所以的系数为，故D正确. 故选：BD 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，相邻捆绑再全排即可计算判断；对于B，分最左端排甲和最左端排乙两种情况分析即可求解；对于C，采用插空法计算即可求解；对于D，采用倍缩法计算求解即可计算求解. 【详解】对于A，若甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲和乙捆绑看成一个元素， 则不同的排法有（种），故A正确； 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法， 最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（种），故B正确； 对于C，因为甲，乙不相邻，先排甲，乙以外的三人，再让甲，乙插空，则有（种），故C正确； 对于D，甲，乙，丙按从左到右的顺序排列的排法有（种），故D不正确． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据排列数的定义得到且，再根据排列数的性质得到不等式求出解集，得到答案. 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 13. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【详解】， 故， . 故答案为： 14. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解. 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号； 所以， 所以当，时中位数可以达最大， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求： （1）这名学生只在第一个交通岗遇到红灯的概率； （2）这名学生首次停车出现在第4个路口的概率； （3）这名学生至少遇到1次红灯的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据第一次遇到红灯，后四次遇到绿灯，即可得解； （2）根据前三次都是绿灯，第四次是红灯，即可得解； （3）考虑其对立事件的概率，即可得解. 【小问1详解】 由题该学生碰见绿灯的概率为，该学生第一次遇到红灯，后四次遇到绿灯. 设“这名学生只在第一个交通岗遇到红灯”为事件， 则. 【小问2详解】 由题该学生前三次均遇到绿灯，第四次红灯，第五次对概率无影响. 设“这名学生首次停车出现在第4个路口”为事件. 则. 【小问3详解】 设“这名学生至少遇到1次红灯”为事件. 其对立事件为该学生五次都遇到了绿灯. 则. 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】（1） （2） （3）该生态园选择方案获利更多． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【小问1详解】 设样本的中位数为， 则， 即，解得； 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； 【小问3详解】 方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 17. 已知． （1）求的值 （2） ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【答案】（1） （2）①证明：， ， ② 【解析】 【分析】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 令，得， 令，得， 【小问2详解】 ①略 ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 18. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3个（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出的值，从而求出红球的个数． （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可； 【详解】（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则． 所以，． （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则， 整理得，解得（舍或． 所以红球的个数为个． （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6， 且，， ，，． 所以的分布列为 2 3 4 5 6 所以，． 19. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 【答案】（1） （2） -3 1 5 9 （3）甲应选，理由： 当时，为甲答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率，所以 ， 因为，所以，即， 所以甲应选. 【解析】 【分析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）由时，由甲答对题目的数量，确定甲获奖励的概率，再从①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，讨论当时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥. 根据题意得，， 则， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $