12.2因式分解的方法同步练习2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

12.2因式分解的方法 一．选择题（共8小题） 1．把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．ab B．2ab C．2ab2 D．4ab2 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．m2﹣1 D．x2﹣2x+1 3．下列因式分解结果正确的是（　　） A．﹣4m3+12m2＝﹣m2（4m﹣12） B．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1） C．x2+2x+4＝（x+2）2 D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2 4．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 6．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 7．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 8．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025 二．填空题（共6小题） 9．分解因式：8x2﹣2＝　 　 ． 10．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m的值为　 　 ． 11．若多项式2x2﹣3x﹣k有一个因式是（2x﹣1），则k的值为　 　 ． 12．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　 　 ． 13．若x2+（m﹣3）x+16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于　 　 ． 14．在对整式x2+ax+b进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为（x+2）（x+4）；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为（x﹣1）（x﹣9）．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为x2+ax+b＝ 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 16．下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤： ﹣16my2+4mx2 利用加法交换律变形：＝4mx2﹣16my2……第一步 提取公因式m：＝m（4x2﹣16y2）……第二步 逆用积的乘方公式＝m[（2x）2﹣（4y）2]……第三步 运用平方差公式因式分解＝m（2x+4y）（2x﹣4y）……第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　 　 ； （2）请给出这个问题的正确解法． 17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式）． ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： （1）x2﹣2xy+y2﹣9； （2）m3﹣2m2﹣4m+8． 18．某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式（a2+4a+2）（a2+4a+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设a2+4a＝b 原式＝（b+2）（b+6）+4…第一步 ＝b2+8b+16…第二步 ＝（b+4）2…第三步 ＝（a2+4a+4）2…第四步 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？　 　 （填选项）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为 　 　 ． （3）请你模仿以上方法对多项式（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81进行因式分解． 19．阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣16（x﹣y）+64． 20．提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2） 运用结论： （1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解． （2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考： 将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14． 12.2因式分解的方法 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B B D A D 一．选择题（共8小题） 1．把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．ab B．2ab C．2ab2 D．4ab2 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：2ab+4ab2＝2ab（1+2b）， 应提取的公因式是2ab， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．m2﹣1 D．x2﹣2x+1 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：a2+（﹣b）2＝a2+b2，它不能进行因式分解，则A不符合题意， ﹣x2﹣y2，它不能进行因式分解，则B不符合题意， m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），它能用平方差公式因式分解，则C符合题意， x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，它能用完全平方公式因式分解，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 3．下列因式分解结果正确的是（　　） A．﹣4m3+12m2＝﹣m2（4m﹣12） B．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1） C．x2+2x+4＝（x+2）2 D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：A、﹣4m3+12m2＝﹣4m2（m﹣3），原式错误，故此选项不符合题意； B、x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），原式错误，故此选项不符合题意； C、x2+2x+4不能进行因式分解，原式错误，故此选项不符合题意； D、（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：①x2+y2，不能用公式法分解因式； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式； ③x2+2xy﹣y2，不能用公式法分解因式； ④﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 5．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 【分析】根据长方形的周长、面积公式得出2（a+b）＝14，ab＝10，再利用提公因式法将a2b+ab2分解因式，即可代入求值． 【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10， ∴a+b＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，列代数式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 6．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【分析】根据添加项是中间项或第一项可作判断． 【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不符合题意； C、，不符合题意； D、x2+1加上，无法构成完全平方式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 7．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025 【分析】由提公因式法得22025（﹣1+2），即可求解． 【解答】解：原式＝﹣22025+22026 ＝22025×（﹣1+2） ＝22025； 故选：D． 【点评】本题考查了提公因式法，能熟练利用提公因式法进行计算是解题关键． 二．填空题（共6小题） 9．分解因式：8x2﹣2＝　2（2x+1）（2x﹣1）　 ． 【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：8x2﹣2 ＝2（4x2﹣1） ＝2[（2x）2﹣12] ＝2（2x+1）（2x﹣1）． 故答案为：2（2x+1）（2x﹣1）． 【点评】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 10．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m的值为　﹣3　 ． 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则把x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n）化简，然后根据对应项相等即可求解． 【解答】解：根据多项式与多项式的乘法法则可得： x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n， ∴m＝﹣3，n＝2， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了因式分解与乘法运算的关系，掌握因式分解与乘法运算是两个互逆的过程是解答本题的关键． 11．若多项式2x2﹣3x﹣k有一个因式是（2x﹣1），则k的值为　﹣1　 ． 【分析】设另一个因式为（x+a），根据因式分解的意义计算（2x﹣1）（x+a），然后列得关于a，k的方程，解方程即可． 【解答】解：设另一个因式为（x+a）， 则（2x﹣1）（x+a） ＝2x2﹣（1﹣2a）x﹣a ＝2x2﹣3x﹣k， 那么1﹣2a＝3，a＝k， 解得：a＝﹣1，k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查因式分解及其意义，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 12．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　10　 ． 【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解． 【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝1×10 ＝10． 【点评】此题考查了代数式求值，因式分解﹣提公因式法．注意整体思想在解题中的应用． 13．若x2+（m﹣3）x+16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于　﹣5或11　 ． 【分析】直接利用完全平方公式的基本形式分解因式，进而得出答案． 【解答】解：∵x2+（m﹣3）x+16可直接用完全平方公式分解因式， ∴m﹣3＝±2×4， 解得：m＝﹣5或11． 故答案为：﹣5或11． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 14．在对整式x2+ax+b进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为（x+2）（x+4）；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为（x﹣1）（x﹣9）．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为x2+ax+b＝ 　（x+3）2 ． 【分析】根据乘法和因式分解的关系，排除甲乙看错的项，得到原二次三项式，再因式分解即可． 【解答】解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9， ∵甲同学因为看错了常数项， ∴多项式的二次项和一次项分别是x2、+6x， ∵乙同学因为看错了一次项系数， ∴多项式的二次项和常数项分别是x2、9， 所以该二次三项式为：x2+6x+9． x2+6x+9＝（x+3）2． 故答案为：（x+3）2． 【点评】本题考查了因式分解和多项式乘法的关系及多项式的因式分解．根据题意，确定原来的二次三项式是解决本题的关键． 三．解答题（共6小题） 15．因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3 ＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3 ＝5（x﹣2y）3（x+4y）． 【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 16．下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤： ﹣16my2+4mx2 利用加法交换律变形：＝4mx2﹣16my2……第一步 提取公因式m：＝m（4x2﹣16y2）……第二步 逆用积的乘方公式＝m[（2x）2﹣（4y）2]……第三步 运用平方差公式因式分解＝m（2x+4y）（2x﹣4y）……第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　公因式没有提取完　 ； （2）请给出这个问题的正确解法． 【分析】（1）观察嘉淇的解法，找出错误的原因即可； （2）写出正确的解法即可． 【解答】解：（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完； 故答案为：公因式没有提取完； （2）原式＝4m（x2﹣4y2） ＝4m（x+2y）（x﹣2y）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式）． ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： （1）x2﹣2xy+y2﹣9； （2）m3﹣2m2﹣4m+8． 【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣9 ＝（x2﹣2xy+y2）﹣9 ＝（x﹣y）2﹣32 ＝（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）； （2）m3﹣2m2﹣4m+8 ＝（m3﹣2m2）﹣（4m﹣8） ＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2） ＝（m2﹣4）（m﹣2） ＝（m﹣2）2（m+2）． 【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 18．某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式（a2+4a+2）（a2+4a+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设a2+4a＝b 原式＝（b+2）（b+6）+4…第一步 ＝b2+8b+16…第二步 ＝（b+4）2…第三步 ＝（a2+4a+4）2…第四步 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？C （填选项）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为 　（a+2）4 ． （3）请你模仿以上方法对多项式（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81进行因式分解． 【分析】（1）由完全平方公式即可选出正确答案． （2）将括号里的多项式继续套用完全平方公式即可进行分解． （3）y＝x2﹣6x，原式可分解得（y+9）2，再将所设代入，从而将原多项式进行因式分解． 【解答】解：（1）因为b2+8b+16＝b2+2b•4+42＝（b+4）2， 故选：C． （2）（a2+4a+4）2＝[（a+2）2]2＝（a+2）4， 故答案为：（a+2）4． （3）设y＝x2﹣6x， 原式＝y（y+18）+81 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4． 【点评】本题主要考查了因式分解．本题的关键是结合一个整体的思想，将一个整式看作一个整体进行因式分解．注意分解结果应彻底． 19．阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣16（x﹣y）+64． 【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣9+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）设A＝x﹣y， 原式＝A2﹣16A+64 ＝（A﹣8）2， ∴（x﹣y）2﹣16（x﹣y）+64＝（x﹣y﹣8）2． 【点评】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 20．提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2） 运用结论： （1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解． （2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考： 将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14． 【分析】（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解． （2）用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14． 【解答】解：（1）多项式x2﹣5x﹣24因式分解为： x2﹣5x﹣24＝x2+（3﹣8）x+3×（﹣8）＝（x+3）（x﹣8）； （2）用十字相乘法进行因式分解： 3x2﹣19x﹣14＝（x﹣7）（3x+2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，解决本题的关键是掌握十字相乘法因式分解． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/13 13:24:38；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $