精品解析：上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

同济大学第二附属中学2025学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一、填空题。（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为. 故答案为：. 2. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据面面平行的性质进行判断即可. 【详解】∵平面∥平面， ∴平面与平面没有公共点 ∵， ∴直线没有公共点 ∴直线的位置关系是平行或异面 故答案为：平行或异面． 3. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 4. 边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得所得几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】由题意得几何体为圆柱，圆柱的底面半径为2，高为2， 则圆柱的体积为. 故答案为：. 5. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据斜二测画法原则可还原，利用面积公式计算即可． 【详解】 由直观图可还原，如图：其中 ，又， 因此，所以． 故答案为：． 6. 正方体中，直线与平面所成角大小为______ 【答案】## 【解析】 【分析】连结，，连接，可证平面，则是直线与平面所成角，求出即可 【详解】连结，，连接， ∵平面，平面， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴平面， ∴是在 平面内的射影， ∴是直线与平面所成角， 设正方形的边长为，则，， 在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 7. 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长. 【详解】由题意可得如下示意图： 即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4， ∴， 故答案为：. 8. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 9. 如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点，连接，则或，分别分析这两种情况下的大小即为与所成角. 【详解】解：如图所示：取的中点，连接，则， ， 所以为异面直线与所成角或其补角.因为，所以， 当时，为等边三角形，， 即与所成角的大小为； 当时，，为等腰三角形，， 即与所成角的大小为. 故答案为：或. 10. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件有，，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得外接球的半径，再根据球的体积求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 则， 又因为四边形为矩形，则， 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又， 则外接球的直径为长方体的体对角线， 故外接球半径为：， 则外接球的体积为：. 故答案为：. 11. 点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面，故点的轨道为线段，的取值范围是 【详解】连结，，， 易知平面，故点的轨道为线段， 当在中点时：最小为 当与或重合时：最大值为2 则取值范围是. 故答案为 【点睛】本题考查了线段长度的范围，确定点的轨道为线段是解题的关键. 12. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用正四面体性质求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用重心性质以及异面直线夹角的向量求法即可求出结果. 【详解】根据题意，记在底面内的摄影为，则平面， 又平面，故，； 利用正四棱锥性质可得，所以， 又因为，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设， 易知， 又点为的重心，可得， 因此， 设直线与直线所成的角为， 则可得 当时，取得最大值. 因此直线与直线所成角余弦值的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解异面直线夹角方法： 平移法：作出异面直线夹角的平面角求解； 向量法：利用空间向量以及夹角公式计算. 二、选择题（本题满分18分，共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理、性质，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，若，，，可得，， 若、，，，不一定能得到， 比如时，就不一定能得到， 所以“”是“、”的充分非必要条件. 故选：A 14. 设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则m与n相交，平行或异面，故A错误； 对于B中，若，则m与n平行或异面，故B错误； 对于C中，若，则m有可能在平面内，故C错误； 对于D中，若，由直线与平面平行的判定定理，可得， 所以D是正确的． 故选：D 15. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为（ ）时，所遮阴影面面积达到最大. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【详解】如图，过点作交于，连接，由题知， 因此就是遮阳篷与地面所成的角， 因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大， 又，， 设，由正弦定理得， 由得， 当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大， 所以． 故选：B 16. 如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ） A. 存在点D和，使得 B. 存在点D和，使得 C. 存在点D和，使得 D. 存在点D和，使得 【答案】B 【解析】 【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项. 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 三、解答题。（本题满分78分，共5小题） 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证； （2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【小问1详解】 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系． 由正方体的棱长为2知， 则，， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为，因为，，所以， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为d，， 则. 18. 在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理得出进而知，再次根据勾股定理可得，结合即可得结果； （2）过点作交于点，连，先证是所求的角，解三角形即可得结果. 【详解】（1）由，，有，从而有， 且 又是边长等于的等边三角形， ，. 又，从而有， ，. 又，平面. （2）过点作交于点，连. 由（1）知平面，得，又，平面，是直线与平面所成的角. 由（1）证，从而为线段的中点， ，， ，. 所以直线与平面所成的角的大小等于. 19. 如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，，.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为. （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面ABCE得到就是四棱锥的高，可以求出四棱锥的体积； （2）取的中点，连结､，得到（或其补角）就是与所成角，利用余弦定理求出求异面直线与所成角的大小. 【详解】解：（1）由已知，有所以 连结，由，，有① 由有所以，② 由①②知，又，所以 所以就是四棱锥的高， 在Rt中， 故 （2）取中点，连结､， 则，故（或其补角）就是与所成角. 在中，，， 则 故异面直线与所成角的大小为. 【点睛】（1）基本位置关系的证明用判定定理； （2）求异面直线所成的角 思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 20. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解； （2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可； （3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可. 【小问1详解】 根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为. 【小问2详解】 由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， 所以，，， 所以在中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 21. 如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； （3）记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 【答案】（1）证明见解析 （2）为棱的中点 （3）为靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据，即可证明； （2）首先求出，即可得到，从而求出点到平面的距离，即可确定对的位置； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，设，表示出，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又，，， 所以， 所以，所以， 连接，所以，又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为， 所以， 设三棱锥的高为，则，解得， 所以到平面的距离为，又点是棱上的动点，所以为棱的中点， 即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； 【小问3详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，设平面法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 显然二面角为锐二面角，所以， 设，则， 又， 设平面的法向量为，则，取， 又二面角为锐二面角，所以， 又，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以当，即为靠近点的三等分点时，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学第二附属中学2025学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一、填空题。（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 2. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 3. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 4. 边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 5. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 6. 正方体中，直线与平面所成角大小为______ 7. 三个平面两两垂直，它们交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______ 8. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为______________． 9. 如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________. 10. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 11. 点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的取值范围是__________． 12. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 二、选择题（本题满分18分，共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 设m，n是两条不同直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为（ ）时，所遮阴影面面积达到最大. A. B. C. D. 16. 如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ） A. 存在点D和，使得 B. 存在点D和，使得 C. 存点D和，使得 D. 存在点D和，使得 三、解答题。（本题满分78分，共5小题） 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 18. 在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 19. 如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，，.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为. （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小. 20. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 21. 如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； （3）记二面角大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $