精品解析：上海市长征中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

长征中学2025学年第一学期高二年级期中测试数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2025.11 考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器. 一.填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 用符号表示“平面与相交于直线”________． 2. 已知空间中的两个角和，若，则_____. 3. 一球体积为，它的表面积为______ . 4. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成角的度数为 ． 5. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 6. 在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则_____. 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 8. 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示________． 9. 如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为______. 10. 下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 11. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____. 二选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 12. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 14. 在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（ ） A. 三角形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 15. 如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个公共点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内､小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题共有5题，满分52分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的驟. 16. 如图所示，正方体的棱长为3，试计算以其所有面的中心为顶点的多面体的体积. 17. 叙述并证明三垂线定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）； 18. 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 19. 从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 20. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长征中学2025学年第一学期高二年级期中测试数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2025.11 考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器. 一.填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 用符号表示“平面与相交于直线”________． 【答案】 【解析】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 2. 已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补，所以，或. 故答案为：或 3. 一球体积为，它的表面积为______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式先计算出球的半径，然后再根据球的表面积公式计算出球的表面积即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为. 【点睛】本题考查球的表面积、体积计算公式的简单应用，难度较易.球的体积公式：，球的表面积公式：. 4. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成角的度数为 ． 【答案】90° 【解析】 【详解】解：如图 连接BD交AC与点O，∵D1D⊥面ABCD，AC⊂面ABCD ∴D1D⊥AC，而AC⊥BD，D1D∩BD=D ∴AC⊥面D1DB 又∵D1B⊂面D1DB ∴AC⊥D1B，即异面直线BD1与AC所成角为90°． 故答案为：90°． 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题． 5. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】 根据异面直线所成角的求法求解；或建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求解. 【详解】方法一：如图所示，连接，由，得四边形是平行四边形，所以. 所以即直线与所成的角. 在中，， ， ， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 方法二：长方体中，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 则，所以. 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 6. 在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中对称点的特征，求得两点坐标，进而求得的坐标. 【详解】由题可知， . 故答案是：. 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，从而求得底面半径，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h. 由题可知，该圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因为，所以，所以. . 故答案为：. 8. 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 9. 如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】要求点P到直线BD的距离，需要作出P到直线BD的高，然后计算即可. 【详解】 过作于，连接， 直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面 .为所求的距离， 在中， , 在中，, 故答案为： 10. 下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据长方体、正四面体、正方体、圆锥的性质逐一判断即可. 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 11. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造与题中水管等体积的圆柱，求得圆柱的体积，即可求得水管的体积. 【详解】平行于直线的任一直线与曲线的两个交点间的距离都为，构造一个底面直径为，高为8的圆柱，如图（3） 如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱. 所得截面圆、圆的面积都为. 根据祖暅原理，水管和圆柱的体积相等. 因为圆柱的体积为，所以水管的体积为. 故答案为：. 二选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 12. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断. 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点，则直线平面，故必要性成立. 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件. 故选：C. 13. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 14. 在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（ ） A. 三角形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，可证，且，可得过的截面的形状. 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 15. 如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个公共点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内､小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知小球半径是大球的一半，建立大球体积、小球体积和阴影部分的体积的关系，可推出的大小关系. 【详解】设大球的半径为，则小球的半径为， 可知，， 所以，因为，所以， 所以，又因为四个小球的体积和为， 所以，故B正确. 故选：B 三.解答题（本大题共有5题，满分52分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的驟. 16. 如图所示，正方体的棱长为3，试计算以其所有面的中心为顶点的多面体的体积. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形分析可得以正方体所有面的中心为顶点的多面体是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的八面体,根据棱锥的体积公式可求得其体积. 【详解】由题意知，所给的几何体是八面体，它由两个有公共底面的正四棱锥组合而成. 因为正方体的棱长为3，所以四棱锥的高为. 因为正方体任意两个相邻的侧面中心间的距离等于其面对角线的一半，即，所以该正四棱锥底面面积为. 所以这个八面体的体积为. 17. 叙述并证明三垂线定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可. 【详解】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直； 已知：如图分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，且； 求证：. 证明：,, 所以，又，，平面， 平面， 又平面 ． 18. 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）在平面内过作直线，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，得线面平行，然后可得面面平行； （2）在平面内过作直线，即为所求，由线面平行的判定定理与性质定理证明． 【小问1详解】 连接， 因为，且，是平行四边形， 所以且，所以是平行四边形，，同理， 平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 在平面内过作直线，即为平面和平面的交线； 证明如下： 设平面和平面的交线为 由（1），平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，所以． 19. 从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积； （2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可. 【小问1详解】 设圆锥筒的半径为，容积为， ∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为， ∴，解得， ∴， ∴. ∴圆锥筒的容积为. 【小问2详解】 设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图， 得， 所以内接圆柱侧面积 ， 所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系、体积以及内接圆柱侧面积最值的计算，考查计算求解能力，属于中档题. 20. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为，，，∴， 又∴，∴， ∵侧面，∴. 又∵，，平面 ∴直线平面. （2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 设平面的一个法向量为 ， ∵，∴，令，则，∴ 设平面的一个法向量为，，， ∵，∴，令，则，∴， ，，，∴. 设二面角为，则. ∴设二面角的余弦值为. （3）假设存在点，设，∵，， ∴，∴∴ 设平面的一个法向量为， ∴，得. 即，∴或，∴或. 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $