2025年九年级中考数学专题02 整式与因式分解中考数学专题复习讲义

专题02 整式与因式分解的核心知识点精讲 考点1、代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 考点2、整式的相关概念 1.单项式：①定义：数字与字母的乘积（单独的一个数或字母也是单项式）； ②系数：单项式中的数字因数； ③次数：单项式中所有字母的指数的和。 2.多项式：①几个单项式的和； ②次数：多项式里次数最高项的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 4.同类项：所含字母相同，且相同字母指数也相同的单项式。 考点3、整式加减运算 1.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.去括号法则：括号前面是正号，去括号后不用变号；括号前面是负号，去括号后全部要变号。 考点4、幂运算 （1）同底数幂的乘法：底不变，指数相加。即(a≠0,m,n均为正整数)。 （2）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即(m,n都为正整数) （3）积的乘方运算：将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即（m,n为正整数）。 （4）幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即(a≠0,m,n均为正整数)。 考点5、整式乘法运算 （1）单项式乘单项式：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。 （3）多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 （4）乘法公式：①平方差公式：； ②完全平方和公式：； 完全平方差公式：； ③三数完全平方公式：； ④完全立方和：； 完全立方差：； ⑤立方和：； 立方差：。 拓展：①； ②； ③； ④。 （5）除法运算：①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 考点6.因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，分解到每个多项式都不能分解为止。因式分解和整式的乘法运算是互逆的运算。 2.因式分解的基本方法： （1）提公因式法：①把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即，这种因式分解的方法叫提公因式法。 ②公因式的确定：系数去各项系数的最大公因数；字母取各项相同的字母或因式；指数取各项相同字母的最低次数。 （2）公式法：平方差公式：； 完全平方和公式：； 完全平方差公式：。 （3）十字相乘法： ①对于二次项系数为1的二次三项式。 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。 ②对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间”，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 题型1：代数式及其求值 例1.若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3 解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．故选：A． 跟踪训练： 1.若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12， ∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故选：D． 2.若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 解：∵a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a﹣3＝2（a2+3a）﹣3＝2×4﹣3 ＝5，故选：A． 3.若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（　　） A．5 B．7 C．10 D．﹣13 解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B． 题型2：整式的相关概念及加减 例1.下列整式与ab2为同类项的是（　　） A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c 解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2．故选：B． 跟踪训练： 1.下列各式中，与2a2b为同类项的是（　　） A．2ab2 B．﹣2ab C．﹣2a2b D．2a2 解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类项的是﹣2a2b．故选：C． 2.下列计算正确的是（　　） A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 解：A、原式＝5ab，符合题意； B、原式＝3y2，不符合题意； C、原式＝8a，不符合题意； D、原式不能合并，不符合题意．故选：A． 3.若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为　 　． 解：由题意得，这个多项式为：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8 ＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3． 题型3：幂运算 例1.下列运算正确的是（　　） A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3 解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意； C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意． 故选：A． 跟踪训练： 1.计算：（3a）2＝（　　） A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2 解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2，故选：D． 2.计算：（　　） A． B． C． D． 解：原式＝，故选：A． 3.化简a4•（﹣a）3的结果是（　　） A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7 解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D． 题型4：整式的乘除及化简求值 例1.先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0． 解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9 ＝2x2﹣6x﹣7， ∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2， ∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9． 跟踪训练： 1.先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝． 解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2 ＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2 ＝4﹣6a， 当a＝时，原式＝4﹣6×（）＝4+2＝6． 2.先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝． 解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2 ＝x2﹣1， 当x＝时，原式＝2﹣1＝1． 3.先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1． 解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b） ＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2 ＝2a2+6ab． 当a＝2，b＝﹣1时， 原式＝2×22+6×2×（﹣1） ＝8﹣12 ＝﹣4． 题型5：因式分解 例1.分解因式：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　． 例2.分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　． 例3.分解因式：x2+5x+6= (x+2)(x+3) . 例4.分解因式：3x2﹣11x+10= (x-2)(3x-5) . 跟踪训练： 1.分解因式：x2﹣xy＝　x（x﹣y）　． 2.分解因式：3x2﹣12＝　3（x﹣2）（x+2）　． 3.分解因式：2x2+16x+32＝　2（x+4）2　． 4.分解因式：x2+x-2= （x﹣1）（x+2） . 5.分解因式：3x2﹣7x+2= （3x﹣1）（x-2） . 6.分解因式：x2﹣3xy+2y2=（x﹣2y）（x﹣y） . 专题练习-基础过关 1.单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．5 解：∵单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，∴单项式mxy3与xn+2y3是同类项， ∴n+2＝1，m+1＝5，解得n＝﹣1，m＝4，∴m﹣n＝4﹣（﹣1）＝5，故选：D． 2.若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 解：∵2x2+3x的值为5，∴2x2+3x＝5， ∴原式＝2（2x2+3x）﹣9＝2×5﹣9＝10﹣9＝1．故选：A． 3.下列计算正确的是（　　） A．（a3）2＝a8 B．a2•a3＝a6 C．（2ab2）3＝8a3b6 D． 解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；a2•a3＝a5，则B不符合题意； （2ab2）3＝8a3b6，则C符合题意；3a2÷4a2＝，则D不符合题意；故选：C． 4.单项式的系数和次数分别是（　　） A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 解：单项式的系数是，次数是4，故选：C． 5.下列计算正确的是（　　） A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12 C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2 解：A、2a2b﹣3a2b＝﹣a2b，故此选项符合题意； B、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此选项不符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；故选：A． 6.下列各整式中是三次单项式的是（　　） A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3 解：5a3b的次数是3+1＝4，则A不符合题意； 32a2b的次数是2+1＝3，则B符合题意； ﹣a2b3的次数是2+3＝5，则C不符合题意； 9a2+b3不是多项式，则D不符合题意；故选：B． 7.如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴x2+ax﹣2＝x2+（b﹣2）x﹣2b， ∴a＝b﹣2，﹣2＝﹣2b，∴a＝﹣1，b＝1，∴a+b＝0， 故选：D． 8.若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝　6　． 解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项，∴m＝6．故答案为：6． 9.若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　8　． 解：∵7axb2与﹣a3by的和为单项式，∴7axb2与﹣a3by是同类项， ∴x＝3，y＝2，∴yx＝23＝8．故答案为：8． 10.分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　． 11.分解因式：2a2﹣8b2＝　2（a﹣2b）（a+2b）　． 12要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是 -6 . 解：2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2＝（6+m）x2﹣6x﹣14． ∵化简后不含x的二次项．∴6+m＝0．∴m＝﹣6． 13.分解因式：x2﹣6x-16= (x-8)(x+2) . 14.先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023． 解：原式＝a2﹣4+a﹣a2＝a﹣4， 当a＝2023时， 原式＝2023﹣4＝2019． 15.先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1． 解：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1） ＝4a2﹣1﹣4a2+4a ＝4a﹣1， 当a＝﹣1时，原式＝﹣4﹣1＝﹣5． 16.已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值． 解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7， ∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22， 由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0， 解得：m＝2，n＝﹣1，则原式＝1﹣2＝﹣1． 17.先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中． 解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1＝3a+1． 当a＝时，3a+1＝3×+1＝+1． 18.先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝． 解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2 ＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2） ＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2 ＝2a2﹣6ab，当a＝﹣3，b＝时，原式＝． 19.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2． 表2 表3 （1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由． 解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1， 当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23； （2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2， 又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式与因式分解的核心知识点精讲 考点1、代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 考点2、整式的相关概念 1.单项式：①定义：数字与字母的乘积（单独的一个数或字母也是单项式）； ②系数：单项式中的数字因数； ③次数：单项式中所有字母的指数的和。 2.多项式：①几个单项式的和； ②次数：多项式里次数最高项的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 4.同类项：所含字母相同，且相同字母指数也相同的单项式。 考点3、整式加减运算 1.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.去括号法则：括号前面是正号，去括号后不用变号；括号前面是负号，去括号后全部要变号。 考点4、幂运算 （1）同底数幂的乘法：底不变，指数相加。即(a≠0,m,n均为正整数)。 （2）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即(m,n都为正整数) （3）积的乘方运算：将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即（m,n为正整数）。 （4）幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即(a≠0,m,n均为正整数)。 考点5、整式乘法运算 （1）单项式乘单项式：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。 （3）多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 （4）乘法公式：①平方差公式：； ②完全平方和公式：； 完全平方差公式：； ③三数完全平方公式：； ④完全立方和：； 完全立方差：； ⑤立方和：； 立方差：。 拓展：①； ②； ③； ④。 （5）除法运算：①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 考点6.因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，分解到每个多项式都不能分解为止。因式分解和整式的乘法运算是互逆的运算。 2.因式分解的基本方法： （1）提公因式法：①把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即，这种因式分解的方法叫提公因式法。 ②公因式的确定：系数去各项系数的最大公因数；字母取各项相同的字母或因式；指数取各项相同字母的最低次数。 （2）公式法：平方差公式：； 完全平方和公式：； 完全平方差公式：。 （3）十字相乘法： ①对于二次项系数为1的二次三项式。 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。 ②对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间”，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 题型1：代数式及其求值 例1.若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3 跟踪训练： 1.若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 2.若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 3.若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（　　） A．5 B．7 C．10 D．﹣13 题型2：整式的相关概念及加减 例1.下列整式与ab2为同类项的是（　　） A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c 跟踪训练： 1.下列各式中，与2a2b为同类项的是（　　） A．2ab2 B．﹣2ab C．﹣2a2b D．2a2 2.下列计算正确的是（　　） A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 3.若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为　 　． 题型3：幂运算 例1.下列运算正确的是（　　） A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3 跟踪训练： 1.计算：（3a）2＝（　　） A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2 2.计算：（　　） A． B． C． D． 3.化简a4•（﹣a）3的结果是（　　） A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7 题型4：整式的乘除及化简求值 例1.先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0． 跟踪训练： 1.先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝． 2.先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝． 3.先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1． 题型5：因式分解 例1.分解因式：x2y﹣y3＝　 　． 例2.分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　． 例3.分解因式：x2+5x+6=　 　． 例4.分解因式：3x2﹣11x+10=　 　． 跟踪训练： 1.分解因式：x2﹣xy＝　 　． 2.分解因式：3x2﹣12＝　 　． 3.分解因式：2x2+16x+32＝　 　． 4.分解因式：x2+x-2=　 　． 5.分解因式：3x2﹣7x+2=　 　． 6.分解因式：x2﹣3xy+2y2=　 　． 专题练习-基础过关 1.单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．5 2.若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 3.下列计算正确的是（　　） A．（a3）2＝a8 B．a2•a3＝a6 C．（2ab2）3＝8a3b6 D． 4.单项式的系数和次数分别是（　　） A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 5.下列计算正确的是（　　） A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12 C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2 6.下列各整式中是三次单项式的是（　　） A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3 7.如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 8.若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝　 　． 9.若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　　． 10.分解因式：x2﹣9＝　 　． 11.分解因式：2a2﹣8b2＝　 　． 12要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是　 　． 13.分解因式：x2﹣6x-16=　 　． 14.先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023． 15.先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1． 16.已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值． 17.先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中． 18.先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝． 19.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2． 表2 表3 （1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $