数学（北师大版）-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估一（第一次月考）

2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.D2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.BC 10.ABD 11.AC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.x-5y+8=0 13.（outo) 14.7 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) (1)证明：直线1的方程可化为y=-m(x-4)+1, 所以1过定点A(4,1), 由圆C:(x-1)+(y-2)2=25,可知圆心C(1,2),半径为r=5, 4C=V(4-1)}+(1-2}=M0<5=r, 点A在圆内， ∴.不论m取何值，直线I与圆C恒相交； (6分) (2)解：1被圆截得的弦长为8， ∴.圆心C到直线1的距离d=V52-4=3, :如2=3，解得m=手 1+m 代入1方程中化简得4x-3y-13=0, 故所求直线1的方程为4x-3y-13=0。 (13分) 16.(15分) 解：(1)根据题意可设直线1的方程为x-2y+C=0, 将点P(-1,2)代入计算可得C=5, 可得直线1的方程为x-2y+5=0; (7分) (2)若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线1的方程为y=-2x,即2x+y=0; 若在两坐标轴上的截距不为0，设为a, 则直线1的方程为+Y=1,代入点P(-1,2)可得a=1, aa (北京师大)高二数学（一）参考答案第1页（共3页) 可得直线I的方程为x+y-1=0. 综上可知，直线1的方程为2x+y=0或x+y-1=0. (15分) 17.(15分) 解：(1).A在O的北偏东45°方向20W2km,B在O的正东方向10km, ∴.A(20,20),B(10,0), 由两点间的距离公式知AB=V(20-10)2+202=10W5(km); (7分) (2)设过O,A,B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将O(0,0)八A(20,20)B(10,0)代入上式，得 F=0 [D=-10 202+20+20D+20E+F=0,解得{E=-30. 102+10D+F=0 F=0 ∴.圆的方程为x2+y2-10x-30y=0, 则该圆的圆心为(5,15)，半径r=5√10. 设船起初所在的点为M,则M(-10,-10W3), 又.该船航线所在直线的斜率为1， 该船航线所在的直线方程为x-y+10-10√5=0. 圆心到此直线的距离d-5-15+10-10W3=56<5√0. √2 ∴若不改变方向，该船有触礁的危险. (15分) 18.(17分) 解：(1)由题意，圆C:(x-2)+(y+1)=4,可得圆心C(2,-1),半径r=2, 因为直线1被圆C截得的弦长为23，则圆心到直线1的距离为d 23 2 1 当直线l的斜率不存在时，此时直线I的方程为x=1，,满足题意； 当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0, 则2k+1+3-k1,解得k三二3，即15x+8y-39=0, Vk2+1 综上可得，所求直线1的方程为x=1或15x+8y-39=0; (8分) (2)设点P(x,y),N(x,y), +1 =x 2 x=2x-1 因为点M(1,3),线段MN的中点为P,可得 ,解得 ,=y (y=2y-3’ 、2 3)2 又因为点v在圈C上，可得2x1-2+(2y-3+1=4,即x2+(0-=1, 所以点P的轨迹即曲线W的方程为圆T: x+0-=1, (北京师大)高二数学（一）参考答案第2页（共3页） 由∠AQB=60°，可得∠AQT=∠BQT=30°， 在直角△40T中，QT= 30=2,所以7到直线9的距离1 +1+m 2 ≤2， √2 解得-25-≤m≤25，即实数m的取值范围为-2万-25-引(17分) 19.(17分) 解：(1)由题意得，A(-2,0)、B(2,0)、F(0,1),k存在且k≠0， .M为CD中点，.∠FMO=90°， y◆ ∴.点M的轨迹是以FO为直径的圆（除去原点）， 圆心为02半径为2 则点M的轨迹方程为r+0v-=4C≠0)； (7分) [y=kx+1 2)）由+产=4得(k+1r+2x-3=0, △=4k2+12(K2+1=16k2+12>0, -2k -3 设C(,)小D(3少小则x+=1+R,3=1+’ 产24产2瓷 x1-2k2(x2+2) 2 又：y=4-x,片=4-x, -&-2-4-xx=2=2-x2-)4, k [Dy(x2+2)]2(4-x2)G2+2)2(2+x)2+x2) 即3x+10+)+12=0,则9+-20 +k2+1+k2 +12=0, 即12必-20k+3-0,解得长-或=名 2 又520,0号，将<0 5=+c,+)=R,+hG,+,+1-32+上14秋2 1+k21+k2 则>故太名舍去，符合题意， (北京师大)高二数学（一）参考答案第3页（共3页） k2 综上，存在实数&使得 (17分) (北京师大)高二数学（一）参考答案第4页（共3页）2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（一） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若直线l经过A(2,m)、B(-m,2m一1)两点且1的倾斜角为45°，则m的值为 A B.2 C.1 D._1 2 2.圆0：(x-2)2+y2=4与圆0，：(x-4)2+y2=16的位置关系为 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.“a=2”是“直线4：2ax+4y+3=0与直线12：x-(a-1)y-5=0垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.过直线=x上的一点P作圆(x-5)}2+(y-1)2=2的两条切线1,2，切点分别为A,B, 当直线1,2关于y=x对称时，线段PA的长为 A.4 B.2N2 C.6 D.2 5.在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点，其中A(-2,0),B(0,-3), 点C布X轴正半轴上，点D在y轴半轴上，圆E的内接四边形4BCD的面积为，则圆E 的方程为 A.X+y+x+3=2 B.x2+y2-x+y=6 C.x2+y2-4x-y=12 D.+广+2x+2w=3 6.平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的个数为 ①直线1：x+y-3=0过点P(1,2) ②直线y=c-2在y轴的截距是2 ③直线x-y+4=0的图象不经过第四象限 (北京师大)高二数学（一）第1页（共4页)》 ④直线x-√3y+1=0的倾斜角为30° A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB 上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程 |PM+IMN|+|NPI等于 A.3v5 B.2V10 C.6 D.25+10 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且OAOB=0,M为线 段AB中点，其坐标为(ab),若V5OM=|2a+b-4,则OM的最小值为 A.5 B.25 C.3 5 D.5 3 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列说法中正确的是 A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B.若AL,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90 C.若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4) D.直线y=-2的截距为-2 10.如果AC<0且B.C<0,那么直线Ax+By+C=0通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.已知圆C:(x+1)2+(y+1)2=10与圆C2:(x-1)2+(y+5)2=50,则 A.两圆的圆心距为25 B.两圆的公切线有3条 C.两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0 D.两圆相交，且公共弦的长度为45 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知△ABC的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),CL,7),则BC边上的高所在直线方程 为 13.若二元二次方程2+y2-ax+(3a-y+}=0表示因，则实数a的取值范用是 (北京师大)高二数学（一）第2页（共4页) 14.已知点A,B分别为圆M:(x+4)2+(y-1)2=1与圆N:(x-2)2+(y-7)2=4上的动点， 点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知直线1：mx+y-1-4m=0(m∈R),圆C:（x-1)+(y-2)-25. (1)求证：不论m取何值，直线1与圆C恒相交； (2)若直线1被圆C截得的弦长为8，求I的方程. 16.(15分)已知直线1经过点P(-1,2), (1)若直线1与直线x-2y-3=0平行，求直线1的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程. 17.(15分)某海面上有O,A,B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东 45°方向20W2km处，B岛在O岛的正东方向10km处.以O为坐标原点，O的正东方向为x 轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示 (1)试写出A,B两岛的坐标，并求A,B两岛之间的距离； (2)已知在经过O,A,B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船M在O岛的南 偏西30°方向距O岛20k处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的 危险？ 北 东 (北京师大)高二数学（一）第3页（共4页)》 18.(17分)已知点M1,3),0为坐标原点，圆C:(x-2)2+(y+1)2=4。 (1)若直线I过点M,且被圆C截得的弦长为2√3，求直线I的方程； (2)已知点N在圆C上运动，线段MW的中点为P,设动点P的轨迹为曲线W;若直 线qx+y+m=0上存在点Q,过点Q作曲线W的两条切线2A,QB,切点为A,B,且∠AQB=60°， 求实数m的取值范围. 19.(17分)如图，圆x2+y2=4与x轴交于A、B两点，动直线1：y=c+1与x轴、y 轴分别交于点E、F,与圆交于C、D两点， (1)求CD中点M的轨迹方程； 2)设直线D、CB的斜率分别为太、，是否存在实数k使得会=2？若存在，求 出k的值；若不存在，说明理由. D /E O B (北京师大)高二数学（一）第4页（共4页)