精品解析：河北省邯郸市九校联考2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025~2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据交集和并集的定义求，由此确定结论. 【详解】不等式的解集为， 不等式，所以不等式的解集为， 所以，， 所以，， 故选：C. 2. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，根据复数的乘法运算结合复数的分类运算求解. 【详解】因为， 若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则， 可得，解得. 故选：B. 3. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 4. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据椭圆的离心率和的面积求出的取值，再结合几何关系，求得的周长即可. 【详解】根据题意，椭圆的离心率为，即①， 又椭圆的右顶点为，上顶点为，左焦点为，如图所示， 所以②， 又椭圆中，③， 联立①②③，解得，，， 所以，， ， 所以的周长为. 故选：D 5. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 6. 已知圆的圆心为，直线与圆交于，两点，记，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准式，利用余弦定理求、，再通过二倍角公式和两角和的正弦公式求解目标式. 【详解】将圆的方程化为标准式，则圆心，半径. 在中，， 由余弦定理得， 代入，， 得：， 化简得，则，进而， ， . 故选：C 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 8. 水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把正四棱台补成一个正四棱锥，根据正四棱锥的性质，求得，且，再由题意，求得，得到，证得二面角为平面与平面所成的角，再由，可得，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，把正四棱台补成一个正四棱锥， 设正四棱台的上底面与下底面的中心分别为，连接，与平面交于点， 则平面，平面，平面， 设四棱锥的体积为，正四棱台的体积为， 正四棱台的体积为，则， 因为正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为， 可得， 过作，则平面，因为平面，所以， 在直角中，可得，即， 设，可得，所以， 由棱锥的体积公式，可得，即， 当容器中装入体积为的水时，可得， 设，则，解得， 又由，所以， 所以， 因为平面平面，所以平面与平面所成的角， 即为平面与平面所成的角， 在正方形中，可得，在等腰中，可得， 所以二面角为平面与平面所成的角， 又因为，可得， 在直角中，， 则，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（ ） A. ，，，的平均数等于，，，的平均数 B. ，，，的中位数等于，，，的中位数 C. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为，由题意知平均数也为，故，，，的总和为.选项A，求出，，，的平均数为，若，则需，但是题目中未给出这个条件，选项A错误；选项B，去掉，后，剩余数据为，，，，共个数，中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为，再求新数据的方差，比较大小，即可判断选项D错误. 【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为， 由题意知平均数也为，故，，，的总和为. 选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和， 即，其中，，，的平均数为， 若，则需，但是题目中未给出这个条件， 反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为， 故选项A错误； 选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数， 中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为， ， 设，，，，，，，的方差为， ， 又， 所以， ， 即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，通过正切型函数的周期公式直接求解即可； 对于B选项，计算出函数的周期，然后直接代入求解即可； 对于C选项，通过整体代入法求解函数的对称中心即可； 对于D选项，利用正切的和差角及二倍角公式进行求解即可. 【详解】对于A选项，由，得：，故A选项正确； 对于B选项，已知函数周期，则，故B选项正确； 对于C选项，由（），得：（），即：（）， 当时，取得最小值，的最小值为，故C选项错误； 对于D选项，已知，则， .故D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 在内有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】求导得，分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性及极值的情况，得出且，，即可判断A；由函数的极小值小于0，可得，从而，即可判断B；求出，结合及对数函数的单调性可判断C；时，单调递减，可得出时，单调递减，则在内至多有一个零点，即可判断D. 【详解】的定义域为，， 当且时，，函数不存在极值； 当且时，，函数在上单调递增，不存在极值； 当且时，，函数在上单调递减，不存在极值； 所以， 由，得， 函数有极小值，所以在上有实数解， 所以，从而， 当且时， 时，，单调递增；时，，单调递减， 故在上有极大值，没有极小值，不符合题意； 当且时， 时，，单调递减；时，，单调递增， 故当时，在上有极小值，极小值， 综上，且，，故A正确； 函数的极小值小于0，即， 所以，可得，从而， ，故B错误； ，故C正确； ∵时，单调递减，而，∴时，单调递减， 从而时，单调递减，则在内至多有一个零点，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合二倍角公式可得，解方程可求，再结合的范围排除增解可得结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，，结合双曲线的定义，推出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以，， 因，由双曲线的定义，可得，即， 即，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设，利用三点共线，分别表示出和，根据建立关于的方程组，求出的值，即得，结合，运用数量积的运算律化简得，记，，将其化成，求解即得答案. 【详解】 如图，设，记， ，则，， 是上靠近的三等分点，则， 由图知，三点共线，故存在，使得， 又是的中点，则， 由图知，三点共线，故存在，使得， 因为，所以得，解得， 故，又， 由可得， 展开得，即， 也即，设，则，解得或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由变形得三边关系,利用余弦定理即可求角； （2）利用差角正弦公式，结合正弦函数的性质求出的范围. 【小问1详解】 由，得， 根据余弦定理有， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，又， ， ， ， ， ， 因此的取值范围为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以，易知平面ABCD的一个法向量为：， 又，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，易知平面ABCD的一个法向量为：，由证明； （2）求得平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，得，则， 设直线与平面所成的角为， 所以. 17. 已知数列的前项和为，，，时，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是等差数列，，，数列的前项和为，求取得最大值时正整数的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件计算出，总结规律猜想的通项公式并验证； （2）先求出数列的通项公式，再分析通项公式求出取得最大值时正整数的值． 【小问1详解】 ，， ， ，， ， 猜想，即是首项是1，公比是3的等比数列， 验证：若，则，左边为：， 右边为：，左右相等且满足时，，故通项公式成立． 数列的通项公式为：． 【小问2详解】 数列是等差数列，，，，，设公差为， ，解得， ， ， ，， 又，当时，，当时，， ，，， ，，， 为的最大值，即取得最大值时正整数为7． 18. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心为，直线与圆交于，两点，记，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 8. 水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（ ） A. ，，，的平均数等于，，，的平均数 B. ，，，的中位数等于，，，的中位数 C. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 10. 已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 当时， 11. 已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 在内有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则___________. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 14. 在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）求的取值范围. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，，，时，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是等差数列，，，数列的前项和为，求取得最大值时正整数的值． 18. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $