数学（人教版）-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估三（第二次月考）

2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1.经过点M(2,V6)的圆x2+y2=10的切线方程是 A.x+V6y-10=0 B.V6x-2y+10=0 C.x-V6y+10=0 D.2x+√6y-10=0 2.在长方体ABCD-ABCD中，AB+AD+BB等于 A.AC B.AC C.BC D.BD 3.函数∫=2x+三图象上的动点P到直线y=2x的距离为d,点P到y轴的距离为山， 则d,d2= A.5 B.5 C. 5 D.不确定的正数 本.已如双曲线二片=a>0b>0)的一个焦点到箭近线的距背为2，且与陆园 ￡+上=1有公共焦点，则双曲线的渐近线为 167 3 A.y=±。x 2V5 2 B.y= C.=+5 6.y=t 5.关于x的方程x+x 1 tan sin 2=0有两个不等实根a和b,那么过点A(a,a2),B(b,b） 的直线与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.随0值的变化而变化 6.瑞士数学家欧拉所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依 次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三 角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),C(0,-3),则△ABC欧拉线的方程为 (人民教育)高二数学（三）第1页（共4页) A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0 7.已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线I过抛物线C的焦点F,且 与抛物线的对称轴垂直，1与C交于A,B两点，且AB=8,M为抛物线C准线上一点，则 △ABM的面积为 A.16 B.18 C.24 D.32 8.下列命题中正确的是 A.a-=a+是a,五共线的充要条件 B.已知向创量a=L,万=(3x,若x<高，则6为钝角 C.若{a,b,}为空间的一个基底，则{a+b,2ā-b,c+}构成空间的另一个基底 D.已知空间直角坐标系O-z中的点A的坐标为(1,1,1)，平面α过点A且与直线OA垂 直，动点P(x,y,)是平面内的任一点，则点P的坐标满足x+y+z=0 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.把圆x2+y2+2x-4y-a2-2=0的半径缩小一个单位长度正好与直线3x-4y-4=0 相切，则实数a的值为 A.-3 B.3 C.0 D.1 10.已知集合M={(x,川2+y≤4，N={(x,y)1(x-a+≤}.若NcM,则实数a 可以为 A.0 B.2 C.1 D.2 11.直线y=-k过抛物线E:y=2px(p>0)的焦点且与该抛物线交于M,N两点，设 O为坐标原点，则下列说法中正确的是 A.p=1 B.抛物线E的准线方程是x=-1 C.以MN为直径的圆与定直线相切 D.∠MON的大小为定值 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12。若方程千可+亡=1表示焦点在x销上的椭周，则实数m的取值范周是 13.直线1经过点P(-2,-1)且一个方向向量为万=(6,8)，则直线1的一般式方程为 14.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x-y+1=0所得弦长为√15，则抛物 线方程为 (人民教育)高二数学（三）第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15。（13分)已知椭圆C号若16>办>0)上的点到两焦点的距离之和为万，离心 常为 2 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y=x+2与C相交于P,Q两点，O为坐标原点，求PQ的长. 16.(15分)如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABGF是矩形，BC∥DG,FE∥DG, ∠FGD=∠BGD=90,BC=EF=DG. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AB=BC=BG=2,求二面角A-DE-G的余弦值. 17.(15分)如图，在四面体ABCD中，∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，AB=AC=AD= 6,设AB=a,AC=b,AD=c, (1)求BC.BD的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足CE=EB,求线段EF的长. (人民教育)高二数学（三）第3页（共4页) 18.(17分)已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线1过定点； (2)若直线I不经过第二象限，求实数a的取值范围； (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 亿分)已知双曲线C千Q>0,b>0的实轴长为4，左有两个顶点分多 A,A,,经过点B(4,0)的直线1交双曲线的右支于M,N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时， MW=26. (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线MA,NA2的斜率之比为定值 (人民教育)高二数学（三）第4页（共4页)2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.D2.B3.B4.B5.B6.D7.A8.C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AB 10.ABC 11.BC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.(-2,5) 13.4x-3y+5=0 14.y2=12x或y2=-4x 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4√2，即2a=4√2，a=22, 椭圆C离心率为)，即C=V3 ,c=N6,b2=a2-c2,b=2, a 2 2y2 椭圆C的标准方程为+少=1； 82 (5分) x2y2 =1 (2)联立直线PQ的方程与椭圆C的方程可得 82, 、y=x+2 化简可得5x2+16x+8=0, △=162-4×5×8>0， 设P,,0,则5+=-5，西 5,k=1, 16 lPg=V1+k2.Vx,+x2)2-4xx2=2, 3285 (13分) 16.(15分) (1)证明：如图所示，取DG的中点H,连接CH,FH, 由EFIDG,EF=DG,可得EFMDH,EF=DH, 所以四边形EFHD是平行四边形，所以DE∥FH,DE=FH, (人民教育)高二数学（三）参考答案第1页（共4页）》 因为BCII DG,BC=DG,H为DG的中点，所以四边形BCHG是平行四边形， 所以BG∥CH,BG=CH, 因为四边形ABGF是矩形，所以AF∥BG,AF=BG,所以 AF∥CH,AF=CH, 所以四边形ACHF是平行四边形，所以AC∥FH,AC=FH, 所以AC∥DE,AC=DE,所以四边形ACDE是平行四边形； (6分) (2)解：由题易知直线GF,GD,GB两两垂直， 以G为坐标原点，GF,GD,GB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A(2,0,2),E(2,2,0),D(0,4,0), 则AE=(0,2,-2),DE=（2,-2,0) 设平面CAED的法向量为n=(x,y,z),则 n·AE=2y-2z=0 4-DE=2x-2y=0 取x=1,则y=1,2=1,所以n=(1,1,1), 平面DEFG的一个法向量n2=(0,0,1), h·几2 D 则cos(n,n)= P+1P+1Px√厘 3 E 由二面角4-DE-G为锐二面角，所以二面角A-DB-G的余弦值为固 .(15分) 17.(15分) 解：(I)由∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，AB=AC=AD=6可得 AB.AD=ACAD=6x6x。=18,ABAC=0,AB2=6×6×1=36, 所以 BC.BD=(AC-AB(AD-AB)=AC.AD-AC.AB-AB.AD+AB' =18-0-18+36=36 (6分) (2)由于F是线段CD中点，点E满足CE=1EB, 所以AF=)(AD+AC, 正=aC+兮西=c+丽-4G+号d (人民救育)高二数学（三）参考答案第2页（共4页) 故F=F-花=0+4c得+C） 所以 时-传而-{j 6 -1AD+48+AC-AD.4B-AD.4C+AC.4B 4 36 3 1 ×36+ 1 +x36-×18-x18+x0=9+4+1-6-3+0=5, 36+36 3 6 所以EF=V5. (15分) 18.(17分) (1)证明：由1：(a-1)y=(2a-3)x+1,即a(2x-y)-3x+y+1=0, 则{3x1-0解得 2x-y=0 y=2’ 所以直线1过定点(1,2)； (4分) (2)解： a-l 如图所示，结合图象可知， 当a=1时，直线斜率不存在，方程为x=1,不经过第二象限，成立； 2a-3.1 当a≠1时，直线斜率存在，方程为y= -X+ a-1a-1’ 2a-3≥0 又直线不经过第二象限，则 a-1 ,解得a<l; 1∠0 a-1 综上所述，a≤1； (10分) (3)解：已知直线：(a-1)y=(2a-3)x+1,且由题意知a≠1， (人民教育)高二数学（三）参考答案第3页（共4页) 令=0，得y=1>0,得a>1, a-1 令y=0,得x= 之0，得a<) -2a S=1x-11 1 则2a-13-2a-4a2+10a-6 5 ,1 4 a- 4 +4 当a时，S取最小值， 此时直线1的方程为[日少-2×3小+1，即2x+-4=0 (17分) 19.(17分) (1)解：由题意可得2a=4→a=2, 当1⊥x轴时，直线：x=4, 则号若-1口y6, 又MN=26=236÷b=2,所以--1； (7分) 42 (2)证明：由题意可知A(-2,0)、A2(2,0), 不妨设1：x=少+4，M(x,出入N(22),易知y≠02≠0， 2-2y=4→(-2严+80+12=0， x=y+4 联立双曲线方程得 8t [t2-2≠0 片+y2= t2-2 则 4=64-48r-2>03且 。12，不难发现 八%=2-2 y2= 20+5), 由斜率公式可知十2红之 龙2-2’ 3 ,=(x一2)=必+2ys2出+h)y 2出、 、1 (+2)4+6奶6y,-20+） 3 3 9 2 3 2 放流写是定位 (17分) (人民教育)高二数学（三)参考答案第4页（共4页）