数学（北师大版）-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估三（第二次月考）

2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若x∈1,2,3}、y∈{5,7,9}，则xy的不同值的个数是() A.2个 B.6个 C.9个 D.8个 2.从集合{3,5,7,9,11中任取两个数作为a,b,可以得到不同的焦点在x轴上的椭圆方 程+1的个数为() A.25 B.20 C.10 D.16 3.已知y、,分别为不重合的两直线l、12的方向向量，n、n2分别为不重合的两平面 α、B的法向量，则下列结论正确的个数为() ①yly,台llIl2；②y⊥y,台l⊥l2;③nn2台a∥B;④n⊥n,台a⊥B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知双曲线号茶-1@>060)，其中一条新近线与辅的夹角为，则双曲线的 渐近线方程是() A.y=±3x B.y=±t C.y=+/3x D.y=3 5.如图，已知PA1平面ABC,垂足为点A,∠ABC=2π， 3 PA=AB=BC=6,则PA+AB+BC=(） A.6√2 B.6 (北京师大)高二数学（三）第1页（共4页)》 C.12 D.144 6.已知空间的一组基底{a,b,c},若m=ā-万+c与元=xa+b+c共线，则x+y的值为 () A.2 B.-2 C.1 D.0 7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 A(-3,4)的直线1的一个法向量为(1，-2)，则直线1的点法式方程为：1×(x+3)+(-2)×(y-4)0, 化简得x-2y+11=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M(1,2,3)的平面的一个 法向量为m=(1,-4,2),则该平面的方程为（) A.x-4y+2z+1=0 B.x-4y-2z+1=0 C.x+4y-2z+1=0 D.x+4y-2z-1=0 8.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余 D 四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色， 相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为() A.84 B.72 C.64 D.56 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列结论正确的是() A.3×4×5×6=A。 B.C+C=C3 C.Cg+C8+C+C8=128 D.若C,=C,则正整数x的值是1 10.下列说法正确的是（) A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数的个数为12个 C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果 D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有 24种报名方法 11.若(2x-3)2=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+…+a1(x-1)”+a2(x-1)2,则() A.a=5120 B.a-4+a2-a+-a,+a0-a1+a2=32 C.a1+a2+…+a2=-2 (北京师大)高二数学（三）第2页（共4页） D.g+%++++是=-1 222 20 2 22 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.光线由点P(2,5)射到直线x+y=-1上，反射后过点Q(1,1),则反射光线所在直线的 一般式方程为 13.空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果a1b, 则26= 14.有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经 过C、D点到达B点的最短路径有」 种 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，AA=a,AB=b,AD=c,点M, D Ci N分别是AD,BD,的中点. B (1)试用a,b,c表示MN; (2)求证：MN∥平面ABBA. D 16.(15分)已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,点P(-1,0). (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求过P点的圆C的切线方程. (北京师大)高二数学（三）第3页（共4页） 17.(15分)已知(1-2x”=a+ax+ax2+…+anx"(n∈N）,其中a,a1,a2,,a,∈R, 若第二项与第三项的二项式系数之比是1：4. (1)求n的值； (2)求41+a2+…+an; (3)若x=-4,求该二项式的值被8除的余数. 8.(I7分)已知42.0)是箱圆M无+a>b>0的左顶点，且M经过点 2’4 (1)求M的方程； ②若直线：，-)与M交于4B)两点，且山，求的值 19.(17分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为BB的中点. A B (1)求直线BC,到平面ADE的距离； C (2)求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值， (北京师大)高二数学（三）第4页（共4页)2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三)参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.C2.C3.D4.C5.C6.D7.A8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.ABC 10.ACD 11.BD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.4x-7y+3=0 13.6 14.24 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) (1)解： 因为40=而-=c-a,所以4M-4D=-a), 同理，4N=6+列， 所以w=4-4=6+)e-列=6+a列a+; (6分) (2)证明：因为AB=AA+AB=a+b,所以MN=AB,即MNIIAB, 因为ABc平面ABB,A,MNE平面ABB,A,所以MNI∥平面ABB,4.(13分) 16.(15分) 解：(1)将圆的一般方程化为标准方程可得：C:(x-2)+(y-1=1, 所以圆心坐标为(2,1)，半径为1； (7分) (2)当切线斜率不存在时，切线方程为x=-1,此时2-(-1)≠1，不符合题意； 当切线斜率存在时，设过P点的切线方程为y=k(x+I),即x-y+k=0, 圆心到直线-y+k=0的距离d-2+-13二1，解得太=0或太= Vk2+1Vk2+1 4’ 当k=0时，切线方程为y=0, (北京师大)高二数学（三)参考答案第1页（共3页） 当长-时，切线方程为y-+),即3x-4y+3=0; 综上所述，过P点的圆C的切线方程为y=0或3x-4y+3=0. (15分) 17.(15分) C=} 解：(1)因为第二项与第三项的二项式系数之比是14，所以己=4’ 即4n=nn- 2,解得：n=9或n=0(舍)； (5分) (2)令x=0,得1°=1=a, 令x=1,得(1-2)°=-1=a+4,+a2+.+a,得a1+a+..+a=-2; (10分) (3)当x=-4, (1-2x)'=9°=(1+8)°=C9+Cg×8+C×82+..+C8×89 =C9+8(C)+C×8+..+Cg×8) 因为8是8的倍数，所以8(C)+Cg×8++C9×8)能被8整除， 所以9°=(（1+8)=Cg+C)×8+C×82+.+C×8被8除的余数为1. (15分) 18.(17分) -a=-2 解：(1)依题意可得 42+=1解得a=2,b=3,所以M的方程为+、=1由 7.27 (8分) 2=1 (2)联立 4+3,消去y得(3+4k2）x2-8k2x+4(k2-3)=0, y=k(x-1) 因为y=(x-1)经过定点(1,0)，且点(1,0)在M的内部，所以 △>0恒成立. 则x+3 8k2 4(k2-3) 3+4k2书3 3+4k2 1 +1=+五=8k 所以+ xx24(k2-3 =-1,解得k2=1,即k=1. (17分) 19.(17分) 解：(1)以A为原点，以AD,AB,A4所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 (北京师大)高二数学（三)参考答案第2页（共3页） 系，如图所示， 因为BC1∥AD1,BC4平面ADE,AD,C平面ADE, 所以BC∥平面ADE, 所以直线BC到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离， 设正方体的棱长为2，则A(0,0,0),B(0,2,0),E(0,2,1),D(2,0,2),C(2,2,2), 所以AE=(0,2,10,AD=(2,0,2),AB=(0,2,0), B 设平面ADE的法向量为m=(x,y,z),则 D m·AE=2y+z=0 m:AD=2+2z=0’令x=1,则m=0, 0, 所以直线BC,到平面ADE的距离为 B AB.m 2 d 3; (8分) 1+4+1 (2)设平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 由(1)可知平面ADE的法向量为m=(L,5,-), 设平面AD,E与平面ABCD夹角为O,则 m.n 2 1 3, /1++1×1 4 所以平面4DE与平面BCD夹角的余弦值为号 (17分) (北京师大)高二数学（三)参考答案第3页（共3页）