数学（湘教版）-2024-2025学年高一上学期阶段性学习效果评估三（第二次月考）

2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高一数学（三） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，A为钝角，则点P(tanB,cosA)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设a=log32,b=ln2,c=23,则 A.a>c>b B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a 3.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了扇形弧长的近似计算公式： =弦+2× 径，公式中“弦是指扇形中圆弧所对弦的长，“失”是 指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆 4元 的直径.如图，已知扇形的面积为)，扇形所在圆0的半径为2， 利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为 A.V3+2 B. 3V5+2 C.43+1 D.23+1 2 2 sin(a+π)+cos(π-a) 4.已知tana 2则。 A月 B. C.-3 D.3 5.函数f(y)=2-x2的零点所在区间为 A.（-2,-1 B.(0,1 C.(1,2) D.(2,3) 6.已知a>1,-2<b<-1,则函数y=log（x-b)的图象不经过 (湖南教育)高一数学（三）第1页（共4页） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 -m2+2mn-1,m≤n 7.对于实数m,n定义运算“⊕”：m⊕n= ,设f(x)=(2x-1)⊕(x-1), n2-mn,m>n 且关于x的方程f(x)=a恰有三个互不相等的实数根x,x2,x3,则x,+x2+x3的取值范围是 A.Cg.D B.(g0 c.6,) 0.哈 8.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过 程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为：M=Me(其 中M,,k是常数).已知经过1h,设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要 的时间最接近（参考数据：1g2=0.3010) A.3h B.4h C.5h D.6h 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列计算结果为有理数的是 A.tan B.21g2+1g25 3 C.3in3-e D.log43-log36·log68 10.下列结论中不正确的是 A.角口的终边在第一象限，那么角号的终边在第一、二象限 B.2024°是第四象限的角 C.角a与B终边关于y轴对称的充要条件是a+B=兀+2km,k∈乙 D.若点P(tana,sina)在第四象限，则角ax是第三象限的角 Il.已知a∈(0，)，且sina+cosw=5,则 12 B.sinacosa=- 4 25 C.cosa-sina= D.cosa-sina=- 5 5 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)=log.（x-2)+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,若点A在角a的 终边OP上（O是坐标原点)，则tana=」 (湖南教育)高一数学（三）第2页（共4页） 13.已知abeR,且b0.如果由a>b可推得。，那么ob满足的关系是 一.（填 序号 ①a>0>b ②a>b>0 ③ab>0 14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪 念数学家高斯，人们把函数y=x,x∈R称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数. 例如[-2.1]=-3，[3.1=3.设f(x)=x-[,则函数f)的值域为」 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)设集合A={xx≥3}，B={x1≤log2(x-a)≤2 (1)当a=0时，求AUB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16.(15分)(1)求函数f(x)=sinx+cosx的最小值； (2)若sin8,cos9是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根，求co0 3π 2 sin 17.(15分)已知函数f(x)=log.(x+1),8(x)=log(1-x),其中a>0,a≠1. (I)求函数F(x)=f(x)-g(c)的定义域； (2)判断F(x)=f(x-g()的奇偶性，并说明理由； (3)当a>1时，求使F(x)>0成立的x的集合. (湖南教育)高一数学（三）第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且fx)≤0的解集为[-1,2]. (1)求函数fx)的解析式； (2)解关于x的不等式mf(x)>2(x-m-1)m≥0). 19.（17分)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N+)天)的函数关系 用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N+)(天)之间的关系如表 所示： PA 75 70 天 10 20 30 45 209 Q/件 35 30 20 10 25 30t (1)根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)根据表中提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式； (3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天（日 销售金额=每件的销售价格×日销售量)， (湖南救育)高一数学（三)第4页（共4页）】2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高一数学（三)参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.D2.C3.C4.D5.C6.D7.C8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.BCD 10.ABC 11.ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.} 13.① 14.[0,1) 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)a=0时，1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故B={x2≤x≤4， A={x≥3}，故AUB={x≥3}U{x2≤x≤4}={xx≥2}； (6分) (2)log22≤log2(x-a)≤log24,2≤x-a≤4，解得a+2≤x≤a+4, 故B={xa+2≤x≤a+4}, 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以BA, 故a+2>3,解得a≥1， 故实数a的取值范围是1，+oo). (13分) 16.(15分) 解：（0由函数f)=sn3x+osr=-co+os+l=-cas+, 因为cosx∈[-l,1],所以当cosx=-1时，函数f(x)取最小值-1； (7分) (2)因为sin0,cos0是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根， 由△=(-a}-4a≥0，即a2-4a≥0，解得a≤0或a≥4， H.sin0+cos0=a,sin0cos0=a, 因为(sin0+cos0)2-1+2sin0cos0,即a2=1+2a, 解得a=1-√2或a=1+√2（舍去），所以sin0+cos0=1-√2， (湖南教育)高一数学（三）参考答案第1页（共3页） -os0+f}-snm[经0-0-eg=-(in6+cs0)-1. (15分) 17.(15分) 解：(1)F(x)=f(x)g(x)=log(x+1)-logn(1-x), x+1>0 若要函数有意义，则 -x>0?即-1<x<1, 所以函数F(x)的定义域为{x-1<x<; (5分) (2)F(x)=f(x)-g(x)=log.(x+I)-log(1-x),其定义域为(-1,1)， F(-x)=logn(-x+1)-log.(1+x)=-[log(x+1)-log.(1-x)]=-F(x), 所以F(x)是奇函数； (10分) (3)F(x)>0,即log(x+1)-log(1-x)>0,即log(x+1)>log(1-x), x+1>0 当a>1时， 1-x>0,解得0<x<1, x+1>1-x 故使F(x)>0成立的x的集合是{x0<x<I}. (15分) 18.(17分) 解：(1).x)≤0的解集为[-1,2]， .∫f(-1)=1-b+c=0.∫b=-1 “f(2=4+2b+e=0'c=-2' ∴f(x)=x2-x-2; (8分) (2):mf(x)>2(x-m-1), .m(x2-x-2)>2(x-m-1), ∴.(x-2)(x-1）>0. 当m=0时，不等式的解集为(-o0,l); 2 当0<m<2时，不等式的解集为(-0，)U(仁，+0)； 当m=2时，不等式的解集为(-0,1)U(L,+o); 当m>2时，不等式的解集为（←0，召）U(L,+). (17分) m 19.(17分) 解：(1)根据图象，设P=kt+b(化≠0)， 当0<t<25时，代入点(0,20)，(25,45)，求得k=1,b=20; (湖南教育)高一数学（三）参考答案第2页（共3页） 当25≤≤30时，代入点(30,70)，(25,75)，求得k=-1,b=100, 所以每件商品的销售价格P与时间t的函数关系式为 t+20,0<t<25,t∈N P= -t+100,25≤30，teNi (5分) (2)描出实数对(t,Q)的对应点（如图）， 木y 40F ,(5,35) 30--1(10,30) .20 下-h- --,(20,20) 10- --(30,10) 0102030403x 从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上， 设这条直线为：9=kt+b,(k≠0)，代入点(5,35)，(30,10)，求得k2=-1,b2=40, 所以直线1为9=-t+40(0<t≤30，t∈N), 通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线1上， 所以日销售量Q与时间t的函数关系式为Q=-t+40(0<t≤30，t∈N)；(10分) (3)设日销售金额为y(元)，则 y=P×Q= -+20t+800,0<t<25,t∈N-(t-10)2+900,0<t<25,t∈N 2-1401+400,25s≤30，teN,t-70)-900,25≤f≤30，teN, 若0<t<25,t∈N时，则当t=10时，ymax=900; 若25≤t≤30，t∈N时，则当t=25时，ymx=1125; 由于1125>900，所以ymx=1125, 故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大. (17分) (湖南教育)高一数学（三）参考答案第3页（共3页）