精品解析：福建省莆田第八中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

莆田第八中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、单选题 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故方程无实数根， 故选：C． 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆A与x轴相切可知圆的半径即为圆心A到x轴的距离．本题重点考查坐标与图形性质、切线的性质等知识，正确地画出图形及辅助线是解题的关键． 【详解】解：设以R为半径作圆A与x轴相切于点B，连接AB，则轴， ， ， 圆A的半径R是3， 故选：A． 5. 如图，是的外接圆， ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 6. 如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，设，由旋转的性质可知，，，，由与互补可得，从而查得结论． 【详解】解：设， 由旋转的性质可知，， ∴，． ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 7. 已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A. 该二次函数的图象与轴有交点 B. 该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C. 若点在该二次函数的图象上，则 D. 若点，都在的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程、勾股定理等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺，再根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺． ∵门的高、宽和对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：，即． 故选C． 9. 如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（ ） A. 点C B. 点D C. 点E D. 点F 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，平行四边形性质 ，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，是解题的关键． 根据四边形和四边形是平行四边形，得点P，Q分别是在中点．由，得点M，N分别在的垂直平分线上．得，得，得，得，即得D是旋转中心． 【详解】解：连接， 取点G，H，I，M，N， 连接分别交于点P，Q， 作射线， 射线过点D， ∴点D为旋转中心． 故选：B． 10. 已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键．先分别求出、、三点的横坐标与的关系，并计算出表示的代数式，再根据一次函数与二次函数相交，求出交点，二次函数的最大值为，要使直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，且，所以根据函数图象的特征可得的取值范围在和之间，即可求出的取值范围． 【详解】解：直线与一次函数交于点，点的横坐标为， 点，且满足， 即． 直线与二次函数图像交于、两点，、两点的横坐标分别为、，且， ， 解得，． ． 一次函数与二次函数相交， ， 解得，， 当时，，当时，， 一次函数与二次函数相交于，． 的对称轴为，且开口向下，最大值， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，再建立方程，可得答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”是解本题的关键． 12. 将二次函数的图像沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移4个单位后得到二次函数______的图像 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据图象平移的规律，左加右减，上加下减，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，二次函数的图像沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移4个单位后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：． 13. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 14. 如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键熟练地运用中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的性质求解．根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵于点，， ， 是直径， ， 在中，，，由勾股定理得： ， 故答案为：． 15. 如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明，，求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 在中，， ， ， ∴在中，， 是旋转的角度为， 故答案为：． 16. 在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为． 【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作， 以为圆心为半径作圆，则点在圆上， , 线段长度的最小值为: ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 17. 解一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 18. 如图是由小正方形组成的网格，用无刻度的直尺在给定的网格中完成以下画图． （1）将绕点C顺时针旋转至，其中点B的对应点是点F，点A的对应点是点E． （2）连接，画出的中点H（保留作图痕迹），连接，直接写出的面积． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2） 解：所作的中点H如图所示： 的面积为3 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理及矩形的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质可进行作图； （2）根据矩形的对角线互相平分可得的中点H，然后根据三角形的中线与面积的关系可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由网格可知：， ∴， ∵点H是的中点， ∴． 19. 如图，为的直径，是的弦，的平分线交于点D，连接，； （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在中， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）的长分别为8， 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，勾股定理等，综合应用这些知识点是解题关键． （1）根据角平分线的定义确定，根据圆周角定理及与弦之间的关系即可证明； （2）根据题意得出，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 答：的长分别为8，． 20. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且的面积为 ，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，一元二次方程的解法，二次函数性质，三角形面积等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由即可求证； （）令，即，求出，令，则，所以点的坐标为，则，然后利用，得出，然后分情况讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，即， ， 解得，， 所以， 令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 当时，，即， 解得； 当时，，即，无实数解， 综上可知：． 21. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 22. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）关于的函数表达式为： （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）①如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． （1）求和的坐标； （2）点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；②面积的最大值是8，此时点的坐标是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）令抛物线，即解一元二次方程即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【小问1详解】 解：令抛物线，即， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， 当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 25. 【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为． （1）【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请判断：的形状为 ． （2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数． （3）【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可证明，得到，，再利用直角三角形的性质，可推得，即得答案； （2）过点A作于，先证明，得到，可进一步证明，，从而可得答案； （3）分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案． 【小问1详解】 长方形纸片和完全相同， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 【小问2详解】 如图2，过点A作于， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ； 【小问3详解】 情况一，如图，当旋转角小于时， 过作于点， ， 为中点， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 情况二：如图，当旋转角大于时， 过作于， 同情况一得， ，， 在中，， ， ， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第八中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、单选题 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5. 如图，是的外接圆， ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 100 D. 120 7. 已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A. 该二次函数的图象与轴有交点 B. 该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C. 若点在该二次函数的图象上，则 D. 若点，都在的图象上，则 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（ ） A. 点C B. 点D C. 点E D. 点F 10. 已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 12. 将二次函数的图像沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移4个单位后得到二次函数______的图像 13. 若，是方程的两根，则的值为______． 14. 如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为_____ ． 15. 如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为_________． 16. 在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． 三、解答题 17. 解一元二次方程 （1） （2） 18. 如图是由小正方形组成的网格，用无刻度的直尺在给定的网格中完成以下画图． （1）将绕点C顺时针旋转至，其中点B的对应点是点F，点A的对应点是点E． （2）连接，画出的中点H（保留作图痕迹），连接，直接写出的面积． 19. 如图，为的直径，是的弦，的平分线交于点D，连接，； （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且的面积为 ，求的值． 21. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． （1）求和的坐标； （2）点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 25. 【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为． （1）【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请判断：的形状为 ． （2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数． （3）【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $