专题10一元一次方程的应用十一类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版七年级上册

专题10 一元一次方程的应用十一类综合题型 典例详解 类型一、数字问题 类型二、相遇追击问题 类型三、顺逆流问题 类型四、过桥过隧道问题 类型五、几何问题 类型六、销售问题 类型七、百分率问题 类型八、配套问题 类型九、工程问题 类型十、分段收费问题 类型十一、方案设计问题 压轴专练 类型一、数字问题 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则图中的值是（    ） 2 4 5 3 A．8 B．6 C．3 D．2 变式1-1．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）将连续的奇数01，03，05，07，09，…排列如右图所示：将图中的十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，像这样的五个数的和能等于下列选项的（   ） A．655 B．2065 C．2010 D．35 变式1-2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 类型二、相遇追击问题 例2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两地相距460千米，客车从甲地去往乙地，货车从乙地去往甲地，货车的速度为每小时80千米，货车的速度比客车的速度少，若货车先行驶小时后，客车经过 小时两车相距60千米． 变式2-1．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上． 变式2-2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 变式2-3．（17-18七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 类型三、顺逆流问题 例3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某架飞机的油量最多够它在空中飞行4.6h，飞机出发时顺风飞行．已知该飞机在无风时的速度为，风速为．这架飞机最远飞出 km就应返回． 变式3-1．（陕西省陕西多校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 变式3-2．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）某人乘船从甲地顺流而下到达乙地，因为突然有事，马上又逆流而上到达丙地共花了5小时（上下船的时间忽略不计）．已知：船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米．若甲、丙两地相距18千米，求甲、乙两地的路程． 类型四、过桥过隧道问题 例4．（17-18七年级上·重庆·期末）一列火车匀速行驶，车身完全通过一条长的隧道需要．隧道顶部一盏灯垂直照射在火车上的时间为，则火车的长为 m． 变式4-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为________m/s；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为________m/s．再根据火车的平均速度不变，可列方程为________． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为________． 变式4-2．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 类型五、几何问题 例5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 变式5-1．（25-26七年级上·河南·阶段练习）把一张长方形纸折叠再涂色（如图），如果涂色部分的面积是，那么涂色部分的周长是 ． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 变式5-3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 类型六、销售问题 例6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 变式6-1．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 变式6-2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天的销售量（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 类型七、百分率问题 例7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%，则这个月的石油价格相对上个月的增长率为 ． 变式7-1．（21-22七年级上·湖北恩施·阶段练习）湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍， (1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？ (2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？ 变式7-2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 类型八、配套问题 例8．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 变式8-1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 变式8-2．（20-21七年级上·河南漯河·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 类型九、工程问题 例9．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 变式9-1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 变式9-2．（12-13七年级上·江苏连云港·阶段练习）某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 类型十、分段收费问题 例10．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 变式10-1．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 变式10-2．（25-26七年级上·全国·单元测试）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电2761～4800度部分 0.618 0.338 第三档 年用电4801度及以上部分 0.868 0.588 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2024年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 2840 600 700 【问题解决】 (1)若该用户7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户8月份缴纳电费376.6元，求该用户8月份所用的低谷电的度数． 变式10-3．（12-13七年级上·江苏连云港·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按元收费． (1)若某户居民在10月份用电90度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (2)若某户居民在11月份缴纳电费76元，那么他这个月用电多少度？ (3)如果某户每月用电量超过200度，设用电量为度，那么你能用含的式子来表示该户应缴纳的电费吗？ 类型十一、方案设计问题 例11．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 变式11-1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 变式11-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）国庆假期期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到进士文化园游玩，如下图所示的是购买门票时，明明与他爸爸的对话．试根据图中的信息． 解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人和几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种购票方式更省钱？请说明理由． (3)购完票后，明明发现七（2）班的小涛等7名同学和他们的家长也来购票．若家长人数不超过6，则怎样购票更省钱？ ． 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点．已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是( )米/秒． 2．（25-26七年级上·北京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）一队学生从学校出发去博物馆，0.5h后，一位教师骑自行车从原路追赶队伍，15min后与队伍会合．已知教师骑自行车的速度比学生步行的速度快10km/h，求该教师骑自行车的速度． 4．（20-21七年级上·广西梧州·期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价后进行销售，这样商店共获利180元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 7．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 8．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）师徒二人购买一些原材料，正好加工成一个机械零件，已知师傅单独加工需4天完成，徒弟单独加工需6天完成，现在徒弟先加工1天，再两人合作加工完成． (1)师傅一共加工了多少天？ (2)加工完成后以2700元的价格将这个零件卖出，盈利为成本的，这些原材料的进价是多少元？ 9．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 10．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 11．（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生半价． 方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）． (2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样． (3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次方程的应用十一类综合题型 典例详解 类型一、数字问题 类型二、相遇追击问题 类型三、顺逆流问题 类型四、过桥过隧道问题 类型五、几何问题 类型六、销售问题 类型七、百分率问题 类型八、配套问题 类型九、工程问题 类型十、分段收费问题 类型十一、方案设计问题 压轴专练 类型一、数字问题 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则图中的值是（    ） 2 4 5 3 A．8 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握幻方中每行、每列、每条对角线的和均为15的特征是解决此题的关键．通过计算幻方中每行、每列、每条对角线的和均为15，结合已知数字，即可逐步推导出未知数的值． 【详解】解：∵ 数字到的总和为45，且幻方为， ∴ 每行、每列、每条对角线的和均为15， ∵ 第一行：， ∴， ∵ 第二行：， ∴， 此时，已用数字为2、9、4、7、5、3，剩余数字为1、6、8， ∵ 第一列：， ∴， 验证其他行、列、对角线均满足和为15，故， 故选：B． 变式1-1．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）将连续的奇数01，03，05，07，09，…排列如右图所示：将图中的十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，像这样的五个数的和能等于下列选项的（   ） A．655 B．2065 C．2010 D．35 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的表示，一元一次方程的应用．先设中间的数为（x为整数），进而得到该数上方、下方、左边、右边的数分别为、、、，然后求得框出的五个数之和，即可得到答案． 【详解】解：设中间的数为（x为整数）， 则该数上方、下方、左边、右边的数分别为、、、， ∴框出的五个数之和为， A、当时，，中间的数处于第一列，不存在，不符合题意； B、当时，，中间的数处于第二列，符合题意； C、当时，，不是奇数，不存在，不符合题意； D、当时，，中间的数处于第一行，不存在，不符合题意； 故选：B． 变式1-2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：当输入时，则， ，即输出． （2）解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 类型二、相遇追击问题 例2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两地相距460千米，客车从甲地去往乙地，货车从乙地去往甲地，货车的速度为每小时80千米，货车的速度比客车的速度少，若货车先行驶小时后，客车经过 小时两车相距60千米． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查分数的应用及利用一元一次方程解行程问题．先根据货车的速度比客车的速度少，利用分数关系求出客车的速度．然后计算货车先行驶小时的距离，得到客车出发时两车之间的初始距离．设客车行驶时间为小时，根据两车相距60千米，分为相遇前和相遇后两种情况列方程求解． 【详解】解：货车的速度比客车的速度少，即货车的速度是客车速度的． 已知货车的速度为80千米/时，设客车的速度为千米/时，则，解得千米/时． 货车先行驶小时，行驶的距离为千米． 货车从乙地向甲地行驶，客车从甲地向乙地行驶，当客车出发时，两车之间的初始距离为千米． 设客车经过小时两车相距60千米． 两车相向而行，相对速度为（千米/时）． 相遇前：两车之间的距离为，解得． 相遇后：两车相遇后继续行驶，两车之间的距离为，解得． 故答案为：2或． 变式2-1．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 设小明每小时走千米，根据题意可得，解出，再计算出追及距离，根据速度差计算追及时间即可． 【详解】设小明每小时走千米， 可得：， 解得， 追及距离为 (千米)， 汽车去追的话需要（小时）， 小时（分钟）． 故答案为：45． 变式2-2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1) (2)①或（k为任意整数） ②t的所有可能取值为或或或 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，根据“友谊点”的定义，分两种情况列出一元一次方程求解即可； ②设点与O点对称，根据“友谊点”的定义，分Q点过点前和Q点过点后两种情况，列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由，可知， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①设M在跑道上对应的有理数为x，则， 根据定义，可得或， 可列方程为或， 解得：或， 由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动， ∴x可加上任意n圈， 故M在跑道上对应的有理数为：或（k为任意整数）． ②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动， 同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动． 根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时， OQ必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，点与O点对称． 由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形： Ⅰ：Q点过点前； Ⅱ：Q点过点后． 先讨论Ⅰ情形： 由题意可得， 此时， 所以， 则． ∴当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 再讨论Ⅱ情形： 此时P点已第一次过O点， ∴， ∴， 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 综上所述：t的所有可能取值为或或或． 变式2-3．（17-18七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【答案】(1)乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据二者速度之差时间环形跑道的长度，列出方程求解即可； （2）设经过分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和时间环形跑道长度的倍，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得：， 解得： 答：经过分钟两人恰好第五次相遇． 类型三、顺逆流问题 例3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某架飞机的油量最多够它在空中飞行4.6h，飞机出发时顺风飞行．已知该飞机在无风时的速度为，风速为．这架飞机最远飞出 km就应返回． 【答案】1320 【分析】根据顺风飞行的时间逆风飞行的时间小时，设出未知数并根据相等关系，列方程求解即可． 【详解】解：设这架飞机最远飞出就应返回.根据题意，得： ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 变式3-1．（陕西省陕西多校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【答案】(1)甲船顺水速度：，乙船逆水速度： (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减运算．正确列出代数式是解题的关键． （1）直接根据公式写出代数式，即可； （2）先计算小时后两船的路程，在求差，即可求解； （3）根据路程差为60千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲船顺水速度静水速度水流速度； 乙船逆水速度静水速度水流速度． （2）解：小时后甲船航行路程：，即使 小时后乙船航行路程：， 甲船比乙船多航行的路程：． （3）解：∵甲船比乙船多航行千米， 故， 解得． 变式3-2．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）某人乘船从甲地顺流而下到达乙地，因为突然有事，马上又逆流而上到达丙地共花了5小时（上下船的时间忽略不计）．已知：船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米．若甲、丙两地相距18千米，求甲、乙两地的路程． 【答案】甲、乙两地的路程是千米或千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两地的路程为x千米，分丙地在甲、乙两地之间及甲地在乙、丙两地之间两种情况考虑，利用时间=路程÷速度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为x千米， 当丙地在甲、乙两地之间时，， 解得：； 当甲地在乙、丙两地之间时，， 解得：． 答：甲、乙两地的路程是千米或千米． 类型四、过桥过隧道问题 例4．（17-18七年级上·重庆·期末）一列火车匀速行驶，车身完全通过一条长的隧道需要．隧道顶部一盏灯垂直照射在火车上的时间为，则火车的长为 m． 【答案】300 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 设这列火车的长度为，根据题意，经过一条长隧道需要的时间，灯光照在火车上的时间是，据此列方程求解． 【详解】解：设这列火车的长度为， 由题意得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得： 答：火车长度为. 故答案为：． 变式4-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为________m/s；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为________m/s．再根据火车的平均速度不变，可列方程为________． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）本题需要根据动车过桥的两种不同行程情况，利用 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的关系，分别表示出动车的平均速度，再依据速度不变这一条件列出方程． （2）本题需要设动车的平均速度为，根据两种不同行程下桥长与速度、时间的关系，列出关于v的方程． 【详解】（1）车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长x米，时间为150秒， ∵速度=路程÷时间， ∴速度可表示为， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为米，时间为148秒， ∴速度还可表示为， ∵动车平均速度不变， ∴可列方程为：． （2）设动车的平均速度为， 车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长，根据路程=速度×时间，桥长可表示为米， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为桥长加动车长，即米， 所以可列方程为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的公式，以及根据不同行程情况表示速度并利用速度不变列方程的方法是解题的关键． 变式4-2．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 【答案】；； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程． 根据速度=路程时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程； 【详解】解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米， ∴动车的平均速度可表示为米/秒． ∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米， ∴动车的平均速度还可以表示为． ∵火车的平均速度不变， ∴可列方程：． 故答案为：；；． 类型五、几何问题 例5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 变式5-1．（25-26七年级上·河南·阶段练习）把一张长方形纸折叠再涂色（如图），如果涂色部分的面积是，那么涂色部分的周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是图形的折叠问题，知道三角形的高是长方形纸的宽是解答关键，设长方形纸的宽为，根据这张纸的面积涂色部分的面积三角形面积，即可列出方程，计算即可求出长方形纸的宽，再根据长方形面积长宽，即可求出这张纸的面积，涂色部分的周长长方形纸的宽三角形的高（长方形纸的宽）三角形的底，据此解答． 【详解】解：设长方形纸的宽为， ， ， ， ， ， 答：涂色部分的周长是． 故答案为：22． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，结合草坪总面积为，列出方程即可． 【详解】解：设雕塑的底面边长为，由题意，得：． 故所列方程为． 变式5-3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【答案】这张宣传纸的面积为 【分析】本题重点考查比例关系的实际应用与几何建模能力，准确理解题意并将实际问题转化为数学模型（特别是通过比例关系设未知数，并建立方程求解）是解题的关键． 设边空宽、字宽、字距分别为，，，根据宣纸的长为，列出方程求出的值，进而求出宣纸的宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设边空宽为，则字宽为，字距为， 根据题意得：，解得：， 所以． 答：这张宣纸的面积为． 类型六、销售问题 例6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，运用分类讨论思想确定所付金额是优惠前还是优惠后，并找出等量关系列出正确方程是解题的关键． 先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，第二次购物需要分优惠前不超过元和优惠前超过元两种情况讨论，再根据等量关系列方程，求出两次购物优惠前的金额，即可求解． 【详解】解：∵（元），， ∴王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为x元，则： ， 解得， ∵（元），， ∴王叔叔第二次购物可能有优惠，也可能没有优惠， ①当王叔叔第二次购物有优惠， 设王叔叔第二次购物优惠前为y元，则： ， 解得， ∴两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， ②当王叔叔第二次购物没有优惠， 则两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， 综上：王叔叔将两次所购物品一次购买可比两次分别购买省或元． 故答案为：或． 变式6-1．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【答案】(1)两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元 (2)节省了60元 (3)更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即可得出所购买物品的原价为134元，由得出第二次所购物品超过500元，设第二次所购物品的原价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）将两次购买的原价相加减去实际付的钱即可得解； （3）计算得出一次全部购买可以节省的钱，比较即可得解． 【详解】（1）解：此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即所购买物品的原价为134元， 第二次购物用了490元， ， 所购物品超过500元． 设第二次所购物品的原价为元， 则， 解得． 答：此人两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元． （2）解：（元）． 答：在此次活动中他节省了60元． （3）解：更省钱． 如果一次全部购买可以节省（元）， 因为， 所以，如果此人将两次购买的物品一次全部购买会更省钱． 变式6-2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天的销售量（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【答案】(1)这七天共销售运动鞋双； (2)每双鞋的定价应为元； (3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、正数和负数以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）将前七天每天销售运动鞋的数量相加，即可求出结论； （2）设每双鞋的定价为元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用总利润销售单价销售数量进货总价，即可求出结论． 【详解】（1）解： （双）． 答：这七天共销售运动鞋双； （2）解：设每双鞋的定价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每双鞋的定价应为元； （3）解： （元）． 答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元． 类型七、百分率问题 例7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%，则这个月的石油价格相对上个月的增长率为 ． 【答案】20% 【分析】本题考查了增长率的应用问题，设这个月石油价格相对于上个月的增长率为，建立方程即可. 【详解】解：设这个月石油价格相对上个月的增长率为， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为： ． 变式7-1．（21-22七年级上·湖北恩施·阶段练习）湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍， (1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？ (2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？ 【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元 (2)该工程的实际总投资是25.2亿元 【分析】（1）设土建为x亿元，则路面为亿元，设施为（1﹣40%）x亿元，根据题意，列方程求解即可； （2）设土建投资增长率为x，则路面投资的增长率是2.5x，设施投资的增长率是2×2.5x＝5x，依据题意，找到等量关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设土建为x亿元，则路面为亿元，设施为（1﹣40%）x亿元， ∴x++（1﹣40%）x＝24， ∴x＝10， ∴， （1﹣40%）x＝6． 答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元 （2）解：设土建投资增长率为x，则路面投资的增长率是2.5x，设施投资的增长率是2×2.5x＝5x， 预算国拨总投资减少的百分率为x． 国拨总投资：24×（1﹣x）， 该工程的实际各项投资之和是10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x）， ∵70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元， ∴24×（1﹣x）+1.68＝10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x）， 解得：x＝0.02＝2% 24×（1﹣x）+1.68＝25.2（亿元） 答：该工程的实际总投资是25.2亿元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，设出合适的未知数，找到等量关系，列出方程． 变式7-2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40；； (2)购进甲商品15件，乙商品30件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲的进价为x元/件，根据甲的利润率为，求出x的值； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲的进价为x元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为40元/件； 乙商品的利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， ， 答：购进甲商品15件，乙商品30件； （3）解：由题意，小华打折前应付款超过450元， 设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：， （件）， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：， （件）， 综上可得小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 类型八、配套问题 例8．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 变式8-1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 变式8-2．（20-21七年级上·河南漯河·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 类型九、工程问题 例9．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 变式9-1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 变式9-2．（12-13七年级上·江苏连云港·阶段练习）某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原计划天完成， 由题意得：， 解得， 则（套）， 答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成． 类型十、分段收费问题 例10．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 【答案】任务1：执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳13元；任务2：当时，电费为元；当时，电费为元；任务3： 4月份比5月份实际用电量少用36.7千瓦时 【分析】本题主要考查了 任务1：根据题干条件分别算出不执行阶梯电价和执行阶梯电价，进而即可得解； 任务2：分两阶梯讨论，用电量在第一档（）和第二档（），具体求解即可； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得，，解方程即可． 【详解】解：任务1：不执行阶梯电价：（元， 执行阶梯电价：（元； 所以执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳（元； 任务2：当时，电费为； 当时，电费为； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得， ， 化简得：， 解得：， 所以4月份比5月份实际电量少用（千瓦时）． 变式10-1．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1) ； (2) ； (3) 当时，元；当时，元；当时，元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式． 根据用水量与消费单价计算即可； 根据表中水费收取方法可知该用户月份用水量超过了，设该用户月份用水量为，列方程求解即可； 因为该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份，可知，分情况列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民月份用水， 应收水费元， 故答案为：； （2）解：若该用户月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民月份水费为元， 该用户月份用水量超过了， 设该用户月份用水量为， 根据题意可得：， 解得：， 答：该居民月份用水量为； （3）解：该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份， ， 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元． 变式10-2．（25-26七年级上·全国·单元测试）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电2761～4800度部分 0.618 0.338 第三档 年用电4801度及以上部分 0.868 0.588 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2024年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 2840 600 700 【问题解决】 (1)若该用户7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户8月份缴纳电费376.6元，求该用户8月份所用的低谷电的度数． 【答案】(1)7月份应缴电费342.8元 (2)8月份所用的低谷电的度数为200度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）分析该用户前6个月及7月的用电量，可得出该用户7月份的用电量在第二档，利用该用户7月份应缴电费该用户7月份所用的高峰电量该用户7月份所用的低谷电量，即可求出结论； （2）分析该用户前7个月及8月的用电量，可得出该用户8月份的用电量在第二档，设该用户8月份所用的低谷电的度数为x度，则该用户8月份所用的高峰电的度数为度，根据该用户8月份缴纳电费376.6元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵（度），， ∴该用户7月份的用电量在第二档． 根据题意得： （元）． 答：该用户7月份应缴电费342.8元； （2）解：∵（度），， ∴该用户8月份的用电量在第二档． 设该用户8月份所用的低谷电的度数为x度，则该用户8月份所用的高峰电的度数为度， 根据题意得：， 解得：． 答：该用户8月份所用的低谷电的度数为200度． 变式10-3．（12-13七年级上·江苏连云港·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按元收费． (1)若某户居民在10月份用电90度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (2)若某户居民在11月份缴纳电费76元，那么他这个月用电多少度？ (3)如果某户每月用电量超过200度，设用电量为度，那么你能用含的式子来表示该户应缴纳的电费吗？ 【答案】(1)45元 (2)140度 (3)元 【分析】本题考查了有理数乘法的应用、一元一次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确建立方程是解题的关键． （1）利用用电的度数乘以即可得； （2）设他这个月用电度，先根据收费标准可得，再根据收费标准建立方程，解方程即可得； （3）根据收费标准列出代数式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：他这个月应缴纳电费为45元； （2）解：设他这个月用电度， 因为，，， 所以， 由题意得：， 解得， 答：他这个月用电140度； （3）解：由题意得：该户应缴纳的电费为元， 答：该户应缴纳的电费为元． 类型十一、方案设计问题 例11．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 变式11-1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 变式11-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）国庆假期期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到进士文化园游玩，如下图所示的是购买门票时，明明与他爸爸的对话．试根据图中的信息． 解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人和几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种购票方式更省钱？请说明理由． (3)购完票后，明明发现七（2）班的小涛等7名同学和他们的家长也来购票．若家长人数不超过6，则怎样购票更省钱？ 【答案】(1)一共去了6个成人和4个学生 (2)购买团体票更省钱，理由见解析 (3)当家长人数小于等于4时，买成人票和学生票更省钱；当家长人数大于4且小于等于6时，买团体票更省钱． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设一共去了x个成人，则去了个学生，根据总价=单价×数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）先求出购买张团体票的钱数，再与比较后即可得出结论； （3）由题意可知，总人数不超过，所以由（2）可知，买团体票需要元，求出家长的人数再进行判断即可． 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，则去了个学生． 由题意，得， 解得，则（个）． 故一共去了6个成人和4个学生， （2）解：如果买团体票，按13人计算，共需要费用（元）． 因为， 所以购买团体票更省钱， （3）解：由题意可知，总人数不超过13， 所以由（2）可知，买团体票需要312元． 设家长有a名．令， 解得． 故当家长人数小于等于4时，买成人票和学生票更省钱； 当家长人数大于4且小于等于6时，买团体票更省钱． 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点．已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是( )米/秒． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设骑士号在静水中的航行速度是米/秒，2小时两船都回到起点，两船同向行驶的时间是10分钟，也就是骑士号到达B港，再往回行驶10分钟，勇士号才到达A港，即骑士号顺水走完全程比逆水走完全程少用10分钟，再结合2小时两船首次回到各自的出发点．进一步建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：骑士号顺水走完全程比逆水走完全程少用10分钟， 所以骑士号顺水航行了分钟，逆水航行了分钟． 设骑士号在静水中的航行速度是米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是米/秒， ， 所以， 所以， 解得：， 答：骑士号在静水中的航行速度是6米/秒． 2．（25-26七年级上·北京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)和不能等于2026，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少2和多2，上下两个数比中间数少12和多12，据此求出这五个数并求和； （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和； （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于2026列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； （3）解：和能不等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）一队学生从学校出发去博物馆，0.5h后，一位教师骑自行车从原路追赶队伍，15min后与队伍会合．已知教师骑自行车的速度比学生步行的速度快10km/h，求该教师骑自行车的速度． 【答案】15km/h 【分析】根据教师与学生会合时，两者路程相等这一等量关系，设教师骑自行车的速度为未知数，结合速度、时间、路程的关系列一元一次方程求解． 【详解】解：设该教师骑自行车的速度为 ，则学生步行的速度为 学生从学校出发到与教师会合，总时间为，因此学生行走的路程为 教师骑自行车追赶的时间为，因此教师行走的路程为 由于教师与学生会合时，两者路程相等，故列方程： 答：该教师骑自行车的速度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），解题关键是找准教师与学生会合时路程相等这一等量关系，结合速度、时间、路程的关系列出方程． 4．（20-21七年级上·广西梧州·期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价后进行销售，这样商店共获利180元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【答案】甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两件服装各自的利润是解题的关键 设甲服装的成本是元，则乙服装的成本是元，所以甲服装的利润是元，乙服装的利润是元，根据商店共获利180元，列方程，解方程求出的值并计算的结果即可． 【详解】解：设一件甲服装的成本是元，则一件乙服装的成本是元， 根据题意得， 解得， （元， 答：甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元． 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 【答案】(1)， (2)购进种商品20件 (3)节省元或元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1300元，列出方程求解即可； （3）先分别计算小明两次购买商品的实际金额，再分两种情况讨论，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：，； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 答：购进种商品20件． （3）解：小明两次购买商品分别付款360元和540元， ∴小明第一次购买商品的实际金额为360元， 设小明第二次购买商品的实际金额为元， 当时，， 解得：， 当时，则， 解得：， 当小明两次购买商品实际金额为360元和600元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）； 当小明两次购买商品实际金额为360元和680元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）． 答：两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省元或元． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 【答案】(1)， (2)当时，2块阴影部分的周长相等． 【分析】（1）从图可知，的最长边为cm，再列式计算块阴影部分的周长和； （2）根据两块阴影的周长相等列方程即可求解． 【详解】（1）解：根据图形得的最长边为cm， 观察图形可得，的长+的宽=cm，的宽+的长=cm， 所以两块阴影的周长和的长的宽的长的宽的长的宽的宽的长（cm）； 故答案为：，； （2）解：的周长为的周长为， 令， ， 解得． 故当时，块阴影部分的周长相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式． 7．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）师徒二人购买一些原材料，正好加工成一个机械零件，已知师傅单独加工需4天完成，徒弟单独加工需6天完成，现在徒弟先加工1天，再两人合作加工完成． (1)师傅一共加工了多少天？ (2)加工完成后以2700元的价格将这个零件卖出，盈利为成本的，这些原材料的进价是多少元？ 【答案】(1)2天 (2)1500元 【分析】（1）设师傅一共加工了x天，则徒弟加工了天，根据师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出师傅一共加工的天数； （2）设这些原材料的进价是y元，利用利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）设师傅一共加工了x天，则徒弟加工了天， 依题意得：， 解得：． 答：师傅一共加工了2天． （2）解：设这些原材料的进价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：这些原材料的进价是1500元． 9．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 10．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 11．（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生半价． 方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）． (2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样． (3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠． 【答案】(1)方案元；方案元 (2)当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样 (3)方案更优惠 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：方案元； 方案元． （2）解：由题意，得， 解得． 答：当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样． （3）解：当时，方案需要付款（元）， 方案需要付款（元）． ， 方案更优惠． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $