专题09解一元一次方程七类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版七年级上册

专题09 解一元一次方程七类综合题型 典例详解 类型一、直接解一元一次方程 类型二、一元一次方程解的情况 类型三、方程的错解问题 类型四、方程的特殊解问题 类型五、方程的同解问题 类型六、新定义的方程问题 类型七、绝对值方程问题 压轴专练 类型一、直接解一元一次方程 例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 变式1-1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 变式1-2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 类型二、一元一次方程解的情况 一元一次方程三种解的情况为 唯一解 条件：a ≠ 0（未知数系数不为 0）。 结果：方程有且只有一个解，解为 x = -b/a。 例：2x + 4 = 0，解得 x = -2（唯一解）。 无解 条件：a = 0 且 b ≠ 0（未知数系数为 0，常数项不为 0）。 结果：方程左右两边矛盾，没有任何 x 能满足等式。 例：0x + 3 = 0（即 3=0），无实数解。 无数解 条件：a = 0 且 b = 0（未知数系数和常数项均为 0）。 结果：方程左右两边恒成立，任何实数 x 都是解。 例：0x + 0 = 0（即 0=0），所有实数都是解。 例2．（21-22七年级上·天津南开·阶段练习）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 变式2-1．（17-18七年级上·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 变式2-2．（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则（　　） A． B． C． D． 变式2-3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 类型三、方程的错解问题 错解问题的关键步骤为 1.明确 “错因”：找出题目中错误的步骤（如去分母漏乘、移项没变号等）。 2.代入 “错解”：将错误答案代入错误的方程变形中，解出方程里的未知参数（如 a、k 等常数）。 3.还原 “正解”：把求出的参数代入原方程，按正确步骤求解，得到最终答案。 例3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 变式3-2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 变式3-3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 类型四、方程的特殊解问题 例4．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 变式4-1．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 变式4-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 变式4-3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 类型五、方程的同解问题 例5．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 变式5-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 变式5-3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）关于的方程与方程的解相同，求的值 类型六、新定义的方程问题 例6．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 变式6-1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是多少？ 变式6-2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程． (1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程； (2)如果关于x的方程与互为和谐方程，求a的值． 变式6-3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 类型七、绝对值方程问题 绝对值方程的核心解题步骤 1转化标准形式：先通过移项、合并同类项，把方程化为 |A| = B（A 是含 x 的一次整式，B 是常数）。 2判断解的可能性： 若 B < 0：方程无解（绝对值非负，无法等于负数）。 若 B = 0：方程等价于 A = 0，解为 A=0 的解（唯一解）。 若 B > 0：分两类去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解。 3分类求解： 当 A ≥ 0 时，去掉绝对值得 A = B，解方程。 当 A < 0 时，去掉绝对值得 A = -B，解方程。 4检验验证：将解得的 x 代入原方程，检验是否符合绝对值的定义（避免增解）。 例7．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 变式7-1．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 变式7-2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为自然数，则整数的值为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 5．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 6．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 7．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 9．（25-26七年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 11．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解一元一次方程七类综合题型 典例详解 类型一、直接解一元一次方程 类型二、一元一次方程解的情况 类型三、方程的错解问题 类型四、方程的特殊解问题 类型五、方程的同解问题 类型六、新定义的方程问题 类型七、绝对值方程问题 压轴专练 类型一、直接解一元一次方程 例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解是解题关键． （1）移项将含的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项后系数化为1求解即可． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可． 【详解】（1） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 变式1-1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 变式1-2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和求解步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可； （2）先化各项系数为整数，再根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 类型二、一元一次方程解的情况 一元一次方程三种解的情况为 唯一解 条件：a ≠ 0（未知数系数不为 0）。 结果：方程有且只有一个解，解为 x = -b/a。 例：2x + 4 = 0，解得 x = -2（唯一解）。 无解 条件：a = 0 且 b ≠ 0（未知数系数为 0，常数项不为 0）。 结果：方程左右两边矛盾，没有任何 x 能满足等式。 例：0x + 3 = 0（即 3=0），无实数解。 无数解 条件：a = 0 且 b = 0（未知数系数和常数项均为 0）。 结果：方程左右两边恒成立，任何实数 x 都是解。 例：0x + 0 = 0（即 0=0），所有实数都是解。 例2．（21-22七年级上·天津南开·阶段练习）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及知道一元一次方程的解求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解得，根据方程无解，可知，从而求得答案． 【详解】解： 关于的方程无解 故选：A． 变式2-1．（17-18七年级上·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【答案】A 【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6， 移项，合并得，（2a-2）x=6， 因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1． 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程． 变式2-2．（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原方程化为，可得当，即时，，此时方程有无穷多个解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴当，即时，，此时方程有无穷多个解， ∴当时，方程有无穷多个解． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 变式2-3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 类型三、方程的错解问题 错解问题的关键步骤为 1.明确 “错因”：找出题目中错误的步骤（如去分母漏乘、移项没变号等）。 2.代入 “错解”：将错误答案代入错误的方程变形中，解出方程里的未知参数（如 a、k 等常数）。 3.还原 “正解”：把求出的参数代入原方程，按正确步骤求解，得到最终答案。 例3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键． 利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 变式3-1．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 变式3-2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式3-3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 【答案】(1)①，1没有乘以12； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）小明解方程的第①步中去分母时“1”没有乘以12； （2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】（1）解：小明解方程的第①步中去分母时1没有乘以12，所以错在①， 故答案为：①，1没有乘以12； （2）解：           去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化为1得． 类型四、方程的特殊解问题 例4．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 变式4-1．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 变式4-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 变式4-3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 类型五、方程的同解问题 例5．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为： ． 变式5-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】本题涉及同解方程的概念，需先求出其中一个方程的解，再代入另一个方程求参数，最后将代入关于的方程求解． 【详解】解：解方程，得． 因为两个方程的解相同， 所以将代入方程，得，解得． 将代入方程，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程的概念及一元一次方程的解法，解题关键是利用同解方程的性质，先求出共同的解和参数，再代入求解目标方程． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别解两个方程，用含的式子表示，根据解相同列出关于的方程求解的值； （2）将的值代入代数式求值即可. 【详解】（1）解方程， 得． 解方程， 得． 根据题意，得， 解得． （2）将代入， 得， 所以的值为． 【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于的方程是解题关键. 变式5-3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）关于的方程与方程的解相同，求的值 【答案】32 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键．先求出方程的解，然后代入方程，求得的值，即可计算出的值． 【详解】解：解方程， 得 把代入方程中， 得， 解得， 所以． 类型六、新定义的方程问题 例6．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 关于的一元一次方程是妙解方程， ， ， 的值为． 故答案为：． 变式6-1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是多少？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先将代入方程得出，求出，得出方程①的“相反方程”是，再求解即可得出答案． 【详解】∵关于的方程①：的解是， ∴， ∴， ∴方程①为， ∴方程①的“相反方程”是， 解得． 所以与方程①互为“相反方程”的方程的解是． 变式6-2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程． (1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程； (2)如果关于x的方程与互为和谐方程，求a的值． 【答案】(1)是互为和谐方程 (2) 【分析】（1）解已知条件中的两个方程，然后根据互为和谐方程的定义进行判断即可； （2）先解这两个方程，求出方程的解，然后根据互为和谐方程的定义，列出关于a的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，， 与是互为相反数， 方程和是互为和谐方程； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于x的方程与互为和谐方程， ， ， ， 变式6-3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程是“成双方程” (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 类型七、绝对值方程问题 绝对值方程的核心解题步骤 1转化标准形式：先通过移项、合并同类项，把方程化为 |A| = B（A 是含 x 的一次整式，B 是常数）。 2判断解的可能性： 若 B < 0：方程无解（绝对值非负，无法等于负数）。 若 B = 0：方程等价于 A = 0，解为 A=0 的解（唯一解）。 若 B > 0：分两类去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解。 3分类求解： 当 A ≥ 0 时，去掉绝对值得 A = B，解方程。 当 A < 0 时，去掉绝对值得 A = -B，解方程。 4检验验证：将解得的 x 代入原方程，检验是否符合绝对值的定义（避免增解）。 例7．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 【答案】或. 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，分类讨论解决问题即可，熟悉相关知识点是解题的关键. 根据绝对值性质分类，当时，当时，当时，再去绝对值计算即可. 【详解】解：当时， 解得：； 当时，，此时方程无解； 当时， 解得：； 故答案为：或. 变式7-1．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 变式7-2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为自然数，则整数的值为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． 解关于的一元一次方程，分情况讨论的取值． 【详解】解：∵的方程的解为自然数，为整数， ∴， 解得：=或时，为或，符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值． 先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程； 【详解】解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是 ． 【答案】225 【分析】本题考查一元一次方程的求解以及相反数的应用。先解第一个方程得到的值，再根据“解互为相反数”得到第二个方程的解，代入后求出，最后计算的值． 【详解】解：解方程 因为两个方程的解互为相反数，所以关于的方程的解为 把代入方程解得： 将代入解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和相反数的概念，解题关键是通过“解互为相反数”建立联系，逐步求出参数，再代入计算代数式的值． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 5．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 6．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 7．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 9．（25-26七年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）x，4 （2）6 （3）或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的几何意义，正确掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，根据绝对值的几何意义，即可作答； （3）分类讨论，解方程即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：x，4； （2）表示为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）当时，则，即； 当时，则，即； 当时，，方程无解； 所以，则或5． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 11．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 【答案】①，去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12，解方程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解题过程可知，在第①步去分母时，常数1没有乘以12，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：第①步错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $