2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中模拟试卷

2025学年第一学期高二数学期中模拟 班级 学号 姓名 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 范围：选修一第一、二章+椭圆双曲线） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知直线x＋my－3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C．1 D． 2．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 5.已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为(　　) A．2 B． C．2 D．2 6．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为(　　) A． B． C． D． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10．已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下列结论正确的是(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．·的最大值为18 11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆C交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A．△ABF2的周长为4a B．若O为坐标原点，AB的中点为M，则kOM·k＝ C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 13．设点A(－2，0)，B(0，3)，在直线l：x－y＋1＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|取到最小值，则这个最小值为________． 14．已知点P为直线x－y－3＝0上的动点，过P作圆O：x2＋y2＝3的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆E：(x＋2)2＋(y－3)2＝4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(13分) 如图，四边形ABCD和ABEF是不在同一平面上的两个矩形，＝，＝，记＝a，＝b，＝c.请用基底{a，b，c}表示下列向量： (1)；(2). 16．(15分)已知△ABC的顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，3)，M是BC边上的中点． (1)求AB边所在直线的方程； (2)求中线AM的长； (3)求AB边的高所在直线的方程． 17. (15分) 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 18．(17分)已知无限高圆柱OO1．如图，四边形ABCD内接于其底面⊙O，P为其内一动点(包括表面)，且平面PAB⊥平面PAD，PC⊥AB． (1)是否存在点P，使得直线BC⊥平面PCD？试判断并说明理由； (2)若＋＋＝0，二面角P－AB－C的大小为45°，求AP最大时，直线PC与平面PBD所成角的余弦值． 19．(17分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N分别是双曲线C左、右两支上的动点，A为双曲线C的左顶点，若直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝－2，|MN|＝9，求直线MN的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二数学期中模拟 参考答案 班级 学号 姓名 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 范围：选修一第一、二章+椭圆双曲线） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知直线x＋my－3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C．1 D． 答案：A 解析：由题意可知，直线x＋my－3＝0的斜率为－＝tan30°＝，解得m＝－．故选A． 2．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，可设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，所以解得故选C． 3．已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a＝1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；当l1∥l2时，解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故选A． 4．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 答案：C 解析：依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x． 4.已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为(　　) A．2 B． C．2 D．2 答案：B 解析：因为＝(2，－1，2)，＝(1，－2，4)，所以在方向上的投影数量为＝＝4．设点C到直线AB的距离为d，则d＝＝＝．故选B． 5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，3) B． C．(0，3)∪ D．(0，2) 答案：C 解析：当k>4时，c＝，由条件，知<<1，解得k>；当0<k<4时，c＝，由条件，知<<1，解得0<k<3．故选C． 6．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 7．已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：在圆O上总存在不同的两点A，B，使得AB垂直平分OP．若P为直线l与y轴的交点，得P(0，2)，此时圆O上不存在不同的两点A，B满足条件；若P为直线l与x轴的交点，得P，此时直线AB的方程为x＝，满足条件，y0＝0；当直线AB的斜率存在且不为0时，∵AB⊥OP，kOP＝，∴kAB＝－，∴直线AB的方程为y－＝－，化为2x0x＋2y0y－x－y＝0，由圆心到直线AB的距离d＝<1，得x＋y<4，又3x0＋2y0－4＝0，化为13y－16y0－20<0，解得－<y0<2，∴y0的取值范围为．故选C． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 答案：AD 解析：由题意：，，. 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，， 所以不成立，故不是平面的一个法向量，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：AD 10．已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下列结论正确的是(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．·的最大值为18 答案：ABD 解析：设动点P(x，y)，则由＝2，得＝2，即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，化简，得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，则点P到原点O的距离的最大值为＋2＝5，B正确；又A，B和点P的轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，所以当过点P的圆的半径垂直于x轴时，△PAB的面积取得最大值，为×3×2＝3，C错误；又·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，所以·＝－5x－7(－5≤x≤－1)，则·≤－5×(－5)－7＝18，D正确．故选ABD． 11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆C交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A．△ABF2的周长为4a B．若O为坐标原点，AB的中点为M，则kOM·k＝ C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝ 答案：AC 解析：由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kOM＝，k＝，所以kOM·k＝·＝，由及①－②，得＋＝0，所以＝－，则kOM·k＝＝－，所以B错误；因为＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，所以·＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝∈，所以C正确；由过焦点的弦中通径最短，得|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝＝，所以D错误．故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 答案：－3 解析：∵＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，∴解得∴m＋n＝－3． 13．设点A(－2，0)，B(0，3)，在直线l：x－y＋1＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|取到最小值，则这个最小值为________． 答案： 解析：设点B关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为C(m，n)，线段BC的中点在x－y＋1＝0上，则－＋1＝0，又kl·kBC＝－1，×1＝－1，解得m＝2，n＝1，即C(2，1)，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝，即|PA|＋|PB|的最小值为． 14．已知点P为直线x－y－3＝0上的动点，过P作圆O：x2＋y2＝3的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆E：(x＋2)2＋(y－3)2＝4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为________． 答案：7 解析：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则满足x0－y0－3＝0，x＋y＝3，x＋y＝3，易知圆O：x2＋y2＝3的圆心为O(0，0)，半径r＝；圆E：(x＋2)2＋(y－3)2＝4的圆心为E(－2，3)，半径R＝2，如图所示． 易知OA⊥PA，OB⊥PB，所以·＝0，即x1(x1－x0)＋y1(y1－y0)＝0，整理可得x1x0＋y1y0－3＝0．同理可得，x2x0＋y2y0－3＝0，即A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程x0x＋y0y－3＝0的两组解，可得直线AB的方程为x0x＋y0y－3＝0，联立x0－y0－3＝0，即x0(x＋y)－3y－3＝0．令可得即当x＝1，y＝－1时，等式x0(x＋y)－3y－3＝0与x0无关，所以直线AB恒过定点Q(1，－1)，可得|QE|＝＝5．又Q在圆O内，当AB⊥QE，且点M为QE的延长线与圆E的交点时，点M到直线AB的距离最大，最大值为|QE|＋R＝5＋2＝7． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(13分) 如图，四边形ABCD和ABEF是不在同一平面上的两个矩形，＝，＝，记＝a，＝b，＝c.请用基底{a，b，c}表示下列向量： (1)； (2). 答案：（1）a＋b－c；（2）＝－b＋c. 解析： (1)＝＋＋＝－＋＋＝a＋b－c. (2)＝－＝－(＋) ＝－ ＝(＋)－ ＝(a＋c)－ ＝－b＋c. 16．(15分)已知△ABC的顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，3)，M是BC边上的中点． (1)求AB边所在直线的方程； (2)求中线AM的长； (3)求AB边的高所在直线的方程． 答案：（1）6x－y＋11＝0；（2）2；（3）x＋6y－22＝0. 解析： (1)解法一：由两点式，得直线AB的方程为＝，即6x－y＋11＝0． 解法二：直线AB的斜率为k＝＝6，直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0． (2)设M的坐标为(x0，y0)，则由中点坐标公式，可得x0＝＝1，y0＝＝1， 故M(1，1)，所以|AM|＝＝2． (3)直线AB的斜率为k＝＝6，所以由垂直关系，可得AB边高线的斜率为－，故AB边的高所在直线的方程为y－3＝－(x－4)，化为一般式，可得x＋6y－22＝0． 17. (15分)已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 答案：（1）或 （2）或 解析：（1）依题意可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由勾股定理可知，代入化简得， 解得或. （2）圆，由知在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为， 由圆心到切线的距离，即，可解得， 切线方程为， ②当过斜率不存在，易知直线与圆相切， 综合①②可知切线方程为或. 18．(17分)已知无限高圆柱OO1．如图，四边形ABCD内接于其底面⊙O，P为其内一动点(包括表面)，且平面PAB⊥平面PAD，PC⊥AB． (1)是否存在点P，使得直线BC⊥平面PCD？试判断并说明理由； (2)若＋＋＝0，二面角P－AB－C的大小为45°，求AP最大时，直线PC与平面PBD所成角的余弦值． 答案：（1）不存在 （2） 解析：(1)不妨假设存在点P，使得直线BC⊥平面PCD， 因为CD⊂平面PCD，所以BC⊥CD， 又四边形ABCD内接于⊙O，所以BD为底面⊙O的直径， 所以AB⊥AD． 在平面PAD上作直线l⊥AP交AD于点E， 因为平面PAB⊥平面PAD，平面PAB∩平面PAD＝AP，l⊂平面PAD，所以l⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，故AB⊥l， 又AD∩l＝E，AD，l⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD． 而PC⊄平面PAD，PC∩平面PAD＝P，故AB，PC不垂直，与题意矛盾． 所以不存在点P，使得直线BC⊥平面PCD． (2)因为＋＋＝0，所以＋＝－，取AB的中点F，连接OF并延长交⊙O于点G， 则＋＝－＝2，所以G，F，O，D四点共线，则＝2＝－，即OA＝OG＝2OF， 因为OA＝OB，F为AB的中点，所以OF⊥AB，则cos∠AOF＝cos∠BOF＝， 则∠AOF＝∠BOF＝，∠AOB＝，所以∠ADB＝， 同理可得∠ABD＝∠BAD＝，所以△ABD是等边三角形． 以O为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，向上为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设⊙O的半径为2，P(x0，y0，z0)，C(2cosθ，2sinθ，0)，其中θ∈，则A(－，－1，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)， 所以＝(x0＋，y0＋1，z0)，＝(2，0，0)，＝(，3，0)． 设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 即取y1＝z0，可得m＝(0，z0，－y0－1)， 取平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，1)， 所以cos45°＝|cos〈m，n〉|＝＝，解得|y0＋1|＝|z0|，则取m＝(0，1，－1)． 设平面PAD的法向量为p＝(x2，y2，z2)，则 即取x2＝， 又m·p＝0，解得p＝(，－1，－1)． 设直线的方向向量为q＝(x3，y3，z3)，＝tq，t∈R， 则即取x3＝2，可得q＝(2，3，3)， 所以＝(2t，3t，3t)， 由题意可知PC⊥平面ABCD时，AP取得最大值，则2cosθ＝2t－，2sinθ＝3t－1， 所以4＝(2t－)2＋(3t－1)2，解得t＝或t＝0(舍去)， 则P，＝，＝(－，3，0)，＝． 设平面PBD的法向量为s＝(x4，y4，z4)， 则即取x4＝，可得s＝． 设直线PC与平面PBD所成的角为α， 所以sinα＝|cos〈，s〉|＝＝＝， 因为α∈，所以cosα＝＝， 故AP最大时，直线PC与平面PBD所成角的余弦值为． 19．(17分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N分别是双曲线C左、右两支上的动点，A为双曲线C的左顶点，若直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝－2，|MN|＝9，求直线MN的方程． 解析：(1)由题意知，双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，不妨设F(c，0)，则焦点F到渐近线的距离d＝＝＝b＝， ∵C的离心率为2，∴＝2，∴c2＝4a2， ∴b2＝c2－a2＝3a2＝3，∴a2＝1， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1． (2)由(1)可得A(－1，0)，当直线MN的倾斜角为0时，∵|MN|＝9， ∴把x＝±代入双曲线方程，可得直线MN的方程为y＝±， 不妨令M，N， 则k1·k2＝×＝－3，不符合题意，则直线MN的倾斜角不为0， ∴设直线MN的方程为x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立消去x，整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， ∴3m2－1≠0，Δ＝36m2n2－12(3m2－1)(n2－1)>0，∴3m2＋n2－1>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝． ∵k1·k2＝－2，∴·＝－2，∴y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， ∴y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， ∴(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 即(2m2＋1)·－2m(n＋1)·＋2(n＋1)2＝0， ∴3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， ∴n2－4n－5＝0，∴n＝5或n＝－1． 当n＝－1时，y1y2＝0，不符合题意，∴n＝5． ∴y1＋y2＝，y1y2＝， ∴|MN|＝|y1－y2|＝·＝·＝9， 解得m＝±1，故直线MN的方程为x＝±y＋5． 综上，直线MN的方程为x－y－5＝0或x＋y－5＝0． (0，1)，符合题意，即点N的坐标 学科网（北京）股份有限公司 $