2.6 利用三角函数测高 同步学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学学案聚焦“利用三角函数测高”核心知识点，涵盖底部可到达与不可到达物体高度的测量方法。通过“列清单·划重点”梳理测量步骤与原理，衔接直角三角形边角关系的理论知识，以典例为支架搭建从概念到应用的学习路径。 学案特色在于以真实测量情境驱动学习，引导学生设计方案、记录数据并计算高度，培养用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析测量原理，用数学语言表达求解过程。典例与变式注重实践应用，当堂测强化基础，有效提升学生的应用意识与问题解决能力。

第二章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高 列清单·划重点 知识点① 测量底部可以到达的物体的高度 如图所示，要测量底部可以到达的物体 MN的高度. (1)在测点 A 处安置测倾器，测得 M的仰角 (2)量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 (3)量出测倾器的高度. (4)根据三角函数求出 MN 的高度为______________. 知识点② 测量底部不可以到达的物体的高度 如图所示，要测量底部不可以到达的物体 MN的高度. (1)在 A 处测得 M的仰角∠MCE=β; (2)在 B 处测得M 的仰角. (3)测出 (4)测出 ∴___________－___________＝b， 温馨提示 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 明考点·识方法 考点① 测量底部可以到达的物体的高度 典例1 如图所示，小明想测量校园内一棵不可攀的树的高度，且无法直接测量A，B两点之间的距离.请你用学过的数学知识，按下列要求设计一种测量方案. (1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据；(用字母表示) (3)计算A,B间的距离. 变式 如图,在离铁塔 BC 底部 30 米的 D处，用测角仪从点 A 处测得塔顶B 的仰角为 ,测角仪高AD 为1.5 米,则铁塔的高 BC为 ( ) A.16.5 米 米 米 米 考点② 测量底部不可以到达的物体的高度 典例2 如图所示，小山上有一棵树.现有侧倾器和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB. 要求：(1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据；(用字母表示) (3)根据(2)中的数据计算 AB.(写出求解过程) 变式 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示. (1)如图2，在 P 点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上 A，B 两点均在视线PC 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β; (2)如图3，为了测量广场上空气球 A 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 B，C分别测得气球A 的仰角 为为 地面上点 B,C,D在同一水平直线上，求气球 A 离地面的高度 AD.(参考数据： 当堂测·夯基础 1.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小朋周末在公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长80 米且拉线与地面夹角为 64°(如图所示，假设拉线是直的，小朋身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表示为 ( ) 第1题图 第2题图 2.如图，某数学实践小组测量操场的旗杆 AB 的高度，操作如下：(1)在点 D 处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a;(2)测得仰角∠ACE=α；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离 BD为b.则旗杆的高度可表示为 ( ) 3.徐州电视塔为徐州市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点 C 处，用测角仪测得塔顶 A的仰角. 他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点 D 处，测得塔顶 A 的仰角. 若测角仪距 地 面 的高度. 求电视塔的高度 AB.(精确到 0. 1 m,参考数据: 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 知识点2 【明考点·识方法】 典例1 解：(答案不唯一)(1)测量示意图如图所示； (2)测量出. 变式 B 典例2 解：(1)测量示意图如图所示； (2)测量出∠AHE=α,CD=m,∠AFE=β,HC=FD=h; (3)设 AE=x. 又 ∵HF=HE-EF=CD=m, 解得 变式 解： (1)β=90°-α; (2)设AD=xm, ∵∠ACD=45°,∠ADB=90°,∴CD=AD=xm, ∵BC=20m,∴BD=(20+x)m, 在 Rt△ABD 中, 即 解得x=60, 经检验，x=60是分式方程的解，∴AD=60(m), 所以,气球A 离地面的高度AD 是 60 m. 【当堂测·夯基础】 1. A 2. A 3.解:由题意,得GE⊥AB,EB=FC=GD=1.6m ,FG=CD=70 m,EF=BC, 设 EF=BC=x m,∴GE=EF+FG=(x+70)m, 在 Rt△AEG 中,∠AGE=30°,∴AE=EG·tan30°≈0.58(x+70)m, 在 Rt△AEF中,∠AFE=36°,∴AE=EF·tan36°≈0.73x(m), ∴0.73x=0.58(x+70),解得x≈270.67, ∴AE=0.73x≈197.59(m), ∴AB = AE + BE = 197.59 +1.6≈199.2(m), 所以,电视塔的高度AB 约为 199.2m. 学科网（北京）股份有限公司 $