4.5函数的应用（二）【十三大考点+十三大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》

4.5：函数的应用（二） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点二　函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点四　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点五　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1． 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2． 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【例题详解】 题型一、求函数的零点或者参数 【例1】．（25-26高一上·全国）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 【变式1】．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意可知，1,2为方程的两个根，所以，解得， 所以即，即， 解得或， 所以不等式的解集为或， 故选：C 题型二、零点存在性定理的应用 【例2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 【变式1】．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·广西玉林·期末）对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各区间端点处函数值，根据零点存在定理即可判断出答案. 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ，因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 题型三、根据零点所在的区间求参数范围 【例3】．（25-26高一上·全国）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数，若在区间上存在零点，根据零点存在定理可知，只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1】．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知在上是增函数，它的零点在区间上，则，解得， 故选：C． 题型四、根据函数零点个数求参数范围 【例4】．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式1】．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，显然为偶函数，不妨令，则， 且当时，，当时，，且函数在上是递增的， 所以可作草图如下，    因为恰有个零点，所以方程有四个不同的解， 即与的图像有四个交点， 所以或. 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·广东潮州·期中）设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先分析函数的单调性，即可画出函数图象，依题意可得与有三个交点，即可求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，则在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 则的图象如下所示： 方程有三个实数解，即与有三个交点，结合图象可知， 故符合题意的只有D. 故选：D 题型五、二分法概念的理解 【例5】．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 题型六、用二分法求方程的近似解 【例6】．（24-25高一上·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度为，据此可得，可得n的取值范围，即可得答案． 【详解】区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01， ，因为，，所以， 即所需二分区间的次数最少为 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理结合二分法计算判断即可. 【详解】， 由于，所以，， 所以下一步可断定该根所在的区间为. 故选:B. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【分析】利用零点存在性定了即可判断. 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 题型七、根据二次函数的零点分布求参数 【例7】．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理及二次函数的性质列不等式组求解. 【详解】由题意可得，即， 即，解得，即． 故选：A． 【变式2】．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令，根据零点的范围得到满足的条件，解不等式组可得结果. 【详解】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有. 故选：D. 题型八：根据指对幂的零点分布求参数 【例8】．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，作出函数图象，由图象可得结果. 【详解】因为方程有两个不同的实数根， 所以函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点， 如图，当直线y＝－x＋m经过点时，m＝2， 所以当方程有两个不同的实数根时， . 故选：D． 【变式1】．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图像，由图像可知，可设，利用对数运算可求得，结合图像可得的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】作出函数的图像如下图所示： 设，由图像可知， 则，解得， 由可得，即，可得. . 故答案为：. 【变式2】．（2021·湖南长沙·二模）设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则①的取值范围是 ；②的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】当时，由复合函数的单调性知：单调递减，作出函数的图象，如图所示： 由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根，，，不妨设，易知，且， ∴. 令， 解得（舍去）或. ∴， ∴. 故答案为：， 题型九：比较零点大小问题 【例9】．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 【变式1】．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案. 【详解】易知三个函数均为增函数，又，所以； ，所以，所以. 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：. 故选：B. 题型十：求零点和问题 【例10】．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）设满足，满足，则 ． 【答案】 【分析】利用换元进行变形，判断函数的单调性，求解函数的零点，进而得到结果． 【详解】设，则， 则变形为，即， 由题意知满足，则， 易知函数在上单调递增， 所以此函数只有一个零点，因为，所以，又，所以，所以．故答案为： 【变式1】．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 【答案】3 【分析】，，根据单调性，得到，求出答案. 【详解】， 由题意得，， 因为在R上单调递增， 故， 因为，所以，. 故答案为：3 【变式2】．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72，显然它在和以及的交点和之间， 故，所以，故答案为： ． 题型十一：零点个数问题 【例11】．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】2 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 【变式1】．（23-24高一上·上海·期末）函数的零点个数为 . 【答案】2 【分析】由题意可知：函数的零点个数为与的交点个数，结合图象分析求解. 【详解】令，则， 可知函数的零点个数为与的交点个数， 在同一坐标系内作出与的图象， 由图可知与有2个交点，即函数的零点个数为2. 故答案为：2. 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）函数的零点个数是 . 【答案】2 【分析】根据函数零点的定义，由分段函数，当时，解方程可得零点个数，当时，零点个数转化为的图像交点个数，画出图像可得. 【详解】令得，，只有符合题意； 令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是.    故答案为：2. 题型十二：函数模型的应用 【例12】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克／升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. 【答案】(1)4.8（克／升） (2)6分钟 (3)是，理由见解析 【分析】（1）由题意，根据给定的函数解析式，代入相应的值可得答案； （2）根据分段函数的解析式，分情况建立不等式，可得答案； （3）根据题意，结合分段函数，代入数值，直接相加即可. 【详解】（1）因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中 所以若只投放1个单位的洗衣液，则3分钟后水中洗衣液的浓度（克／升）. （2）若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它能起到去污的作用， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，有效去污时间为6分钟. （3）若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时，水中洗衣液的浓度为， 所以在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液能起到有效去污的作用. 【变式1】．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率与日产量（万件）之间满足如下函数关系：已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率）． (1)将生产这批产品每天的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数（利润盈利-亏损）； (2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？ 【答案】(1) (2)4万件 【分析】（1）分段讨论，利用“利润合格品次品”列式即可. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，. 综上所述. （2）当时，； 当，令， 则， 此时取等条件为，即． 因为，所以当日产量为4万件时，该厂每天的利润最大． 【变式2】．（24-25高一上·江苏无锡·期末）校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 【答案】(1)甲， (2)6月份 【分析】（1）根据三月底水生植物面积增量几乎是二月份的一倍，可确定甲同学的模型较合适，代值即得方程组，解之可得函数模型的解析式； （2）依题意列出不等式，通过取对数，将其化成，代值计算即得. 【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即，所以，所以，因为，所以， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 题型十三：函数的零点和方程综合 【例13】．（24-25高一上·重庆·期末）若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，， 若，则或， 所以函数的零点是； （2）由题意恰好有一个根， 等价于恰好有一个根， 即恰好有一个根， 令，则函数是增函数， 所以的值域是， 故所求为. 【变式1】．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数与的图象交点横坐标为，且的值域为． (1)求的值； (2)设函数若方程有且只有一个实数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到，再分、、三种情况讨论，结合指数型函数的性质判断可得； （2）首先得到的解析式，再分析函数在各段的单调性与值域，依题意与有且仅有一个交点，即可得解. 【详解】（1）依题意，即，所以， 当时，，显然不符合题意； 当时，的图象无限接近于直线， 当时的值域为，不符合题意； 当时的值域为，又的值域为， 所以，，经检验符合题意； （2）由（1）可知， 因为，即， 所以当时单调递增，且； 当时，单调递减，且， 要使方程有且只有一个实数解，即与有且仅有一个交点，所以或， 即的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)设，讨论的零点个数． 【详解】（1）将的图象向下平移2个单位，得到， 再将位于x轴下方的部分对称至x轴上方，得到.所以函数的图象如图所示： （2）令，可得，可得的零点个数即为与两图象的交点个数． 由（1）中图可知：当，即时，两图象无交点；当或，即或时，有一个交点； 当，即时，有两个交点．综上所述：当时，无零点；当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2． 【变式3】．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 【详解】（1）因为定义在上的奇函数的表达式为(且)， 所以，得， 此时， 则符合题意， 所以实数的值为3 （2）在单调递增，证明如下： 任取，且， 则，因为，且， 所以，所以，所以在单调递增； 由，即，因为是定义在上的奇函数，所以，因为在单调递增，所以， 所以存在，使得成立， 因为对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意得，令， 即， 令，则在有两个不相等的实根，所以，解得， 所以实数的取值范围为 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，可判断在定义域内为单调递增函数，求出选项中的特定值，再结合零点存在定理判断即可. 【详解】因为的定义域为，且与在都是增函数，所以在定义域内单调递增. 因为，， ， ，， 根据零点存在定理，且， 所以函数的零点所在的大致区间是. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 【答案】D 【分析】利用二分法的定义分析即可. 【详解】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值. 故选：D 3．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可． 【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 7．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，且最小值为， 函数在单调递增，且，如图所示： 由图象可知，无论，还是，函数的图象与直线都不可能有三个交点，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则有， 函数在单调递增，且，如图所示： 要想函数的图象与直线可能有三个交点， 只需，即， 故选：D 8．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 二、多选题 9．（2025高一上·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由函数在区间上为单调函数，结合二次函数与对数函数的性质，得到，再由有两个不同的零点，转化为与的图象有两个不同的交点，进而得到与的图象在上也仅有一个公共点，满足或与的图象相切，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，在区间上为单调函数， 因为时，函数在上单调递增， 所以只需满足，解得， 又因为有两个不同的零点，即由两个不同的实数根， 即函数与的图象有两个不同的交点， 作出函数与的图象，如图所示， 当时，由，可得， 又由，所以， 所以函数与的图象在上仅有一个公共点， 则函数与的图象在上也仅有一个公共点， 则满足或与的图象相切，即有一解， 所以或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为，结合选项，选项B、C满足题意. 故选：BC. 12．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 【答案】ACD 【分析】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D． 【详解】解：由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 13．（24-25高一上·河南漯河·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 【答案】BCD 【分析】根据高斯函数的定义，化简，结合选项可得答案. 【详解】对于A,, 所以，故函数在上不是单调递增，A不正确； 对于B,当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时无解. 故方程在区间上有4个实数根，B正确； 对于C,由题意，故，所以， 所以，即，C正确； 对于D,由C可知，所以，D正确. 故选：BCD 三、填空题 14．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】问题转换成有两个不同的根，结合判别式即可求解. 【详解】因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 16．（25-26高一上·上海·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 【答案】 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 17．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，再利用二次函数的性质，结合数形结合法，求临界值，即可求解. 【详解】如图，画出函数的图像， 如图，存在，，则， 令，得，令，得， 如图可知，， 所以 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高一上·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. (1)求S关于的函数解析式，并写出定义域； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元. 【分析】（1）设，依题意可得，结合求出的范围，再求出的函数解析式； （2）当时代入求值； （3）利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）设，则，所以， 因为，即 ，解得， 所以， 所以关于的解析式为，. （2）因为，， 当时，可得， 所以长为时，该休闲场所的总造价元； （3）因为， 当且仅当 ，即时等号成立 ， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 即当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元. 19．（25-26高一上·海南海口·期中）已知函数 (1)画出的图象并求的值； (2)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若在的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3). 【分析】（1）利用二次函数的性质直接作图，代入计算函数值即可； （2）利用图象及二次函数的性质计算即可； （3）利用图象建立方程计算即可. 【详解】（1）易知，,， 作函数的图象如下：    因为， 所以. （2）方程的根， 即函数与直线的交点个数，如图：    由图象可知： 当或，有1个交点； 当或，有2个交点； 当，有3个交点， 所以当时，方程有三个不相等的实数根. （3）已知， 设满足，即， 结合图象可知实数的取值范围为. 20．（25-26高一上·甘肃白银·期中）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） (1)求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元 【分析】（1）根据利润=销售额-成本结合题干分段函数即可求解；（2）由（1）得到的利润关于年产量的分段函数，在年产量和的情况下分别求出对应的最值，即可知答案. 【详解】（1）解：（1）∵ ∴当时，， 当时，. 故 （2）（2）由（1）得 当时，， ∴； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故. ∵，故当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元. 21．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，. (1)若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据零点存在定理，以及函数单调性，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据双变量恒成立的性质，判断函数最值之间的关系，根据函数性质，判断在所给区间上的最值，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】（1）的对称轴是， 在区间上是减函数， 当在上存在零点，则有，即，解得， 故实数的取值范围为； （2）由题意可得，当存在，对任意的，都有时，等价于， 由（1）可知的对称轴是，根据二次函数对称性可知， 当时，，则， 故，解得，即的取值范围为. （3）若对任意，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数值域的子集. 当时，，的值域为， 下面求，的值域， ①当时，，不合题意，故舍； ②当时，的值域为， 只需，即，解得； ③当时，的值域为， 只需要，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 22．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 23．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）是幂函数，故， 解得或2， 当时，，其定义域为，且， 即函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 则，， 函数有两个不同的零点， 即的图象与直线在时有两个不同的交点， 令，，令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ， 故要使得的图象与直线在时有两个不同的交点， 需满足， 即. 24．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)求函数的零点个数． 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点． 所以，解得． （2）由复合函数的单调性知在上单调递增， 又，所以即即， 解得，所以不等式的解集为． （3）由（1）得函数，令，得， 则函数的零点个数即为函数与的图象交点的个数， 作出函数与的图象，如图所示，    由图象知，函数的零点个数为1. 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5：函数的应用（二） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点二　函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点四　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点五　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1． 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2． 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【例题详解】 题型一、求函数的零点或者参数 【例1】．（25-26高一上·全国）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【变式1】．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【变式2】．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 题型二、零点存在性定理的应用 【例2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·广西玉林·期末）对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 题型三、根据零点所在的区间求参数范围 【例3】．（25-26高一上·全国）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四、根据函数零点个数求参数范围 【例4】．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·广东潮州·期中）设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型五、二分法概念的理解 【例5】．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式2】．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 题型六、用二分法求方程的近似解 【例6】．（24-25高一上·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 题型七、根据二次函数的零点分布求参数 【例7】．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 题型八：根据指对幂的零点分布求参数 【例8】．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是 ． 【变式2】．（2021·湖南长沙·二模）设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则①的取值范围是 ；②的取值范围是 . 题型九：比较零点大小问题 【例9】．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十：求零点和问题 【例10】．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）设满足，满足，则 ． 【变式1】．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 【变式2】．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 题型十一：零点个数问题 【例11】．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【变式1】．（23-24高一上·上海·期末）函数的零点个数为 . 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）函数的零点个数是 . 题型十二：函数模型的应用 【例12】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克／升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. 【变式1】．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率与日产量（万件）之间满足如下函数关系：已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率）． (1)将生产这批产品每天的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数（利润盈利-亏损）； (2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？ 【变式2】．（24-25高一上·江苏无锡·期末）校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 题型十三：函数的零点和方程综合 【例13】．（24-25高一上·重庆·期末）若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【变式1】．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数与的图象交点横坐标为，且的值域为． (1)求的值； (2)设函数若方程有且只有一个实数解，求的取值范围． 【变式2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)设，讨论的零点个数． 【变式3】．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 3．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、多选题 9．（2025高一上·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 13．（24-25高一上·河南漯河·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 三、填空题 14．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 16．（25-26高一上·上海·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 17．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 . 四、解答题 18．（25-26高一上·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. (1)求S关于的函数解析式，并写出定义域； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 19．（25-26高一上·海南海口·期中）已知函数 (1)画出的图象并求的值； (2)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若在的值域为，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·甘肃白银·期中）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） (1)求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 21．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，. (1)若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 22．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 23．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 24．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)求函数的零点个数． 17 学科网（北京）股份有限公司 $