第02讲 解二元一次方程组（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第02讲 解二元一次方程组 知识点1：解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【题型一 代入消元法】 【典例1】用代入法解方程组： 【答案】原方程组的解为 【分析】将一个方程中的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求解 ． 【详解】解： 代入消元：将①代入②得： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： ． 将代入①式，得 ． ∴方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握代入消元的步骤，确保每一步的运算准确 ． 【变式1】用代入法解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键； （1）利用代入消元法解答即可求解； （2）利用加减消元法解答即可求解． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解集为； （2）解： 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解集为． 【变式2】用代入法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法，将由①，得，把③代入②，求出，把代入③，求出x即可． 【详解】解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得， 所以这个方程组的解是． 【变式3】用代入法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，用代入消元法解方程组即可，掌握代入消元法和加减消元法的特点并灵活运用解法是解题的关键． 【详解】解：由①，得③ 把③代入②，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解是． 【题型二 加减消元法】 【典例2】用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）将两个方程相加消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）将第一个方程减去第二个方程消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）将第一个方程减去第二个方程消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （4）将两个方程相加消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （3）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （4）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式1】用加减法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了用加减法解方程组，①得，②③求出，然后代入①，即可求解；掌握加减法解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： ①得 ③， ②③得 ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式3】用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解决此题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）利用加减消元法解方程组即可； （4）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： ②-①得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解： ①×2②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （4）解： 原方程组可化为， ①+②×9得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为． 【题型三 二元一次方程组的特殊解法】 【典例3】阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解阅读材料中的“整体代换”的解法是解决问题的关键． （1）由阅读材料中的方法，将②恒等变形为③，再将方程①代入求出，进而得到即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法，将①恒等变形为③，再将方程②代入得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 将②变形得：③， 把方程①代入③得：； 把代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， 将①变形得：③， 把方程②代入③得：， 则． 【变式1】阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【变式3】【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将代入代数式，可得，再将代入代数式，可得，再根据 即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解； （3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与相关的式子，进而求解． 【详解】（1）解：①将整体代入，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为； ②将代入代数式，可得， ∴， 将代入代数式，可得， ∵， ∴； （2）解：， 可，得， ∴无论取何值，的值均不变． （3）解：设：⑨，⑩， 给，得， 给，得， ， ， ， ． 【题型四 二元一次方程组的错解复原问题】 【典例4】在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组. （1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值即可； （2）确定出正确的方程组，求出解即可解答. 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 把将代入得：， 解得：； 所以，； （2）解：将，代入原方程组得， 解得：． 所以，原方程组正确的解为：． 【变式1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的，而得到方程组的解为． (1)求出和的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a； （2）把，代入得，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把代入②得， 解得； 把代入①得 ， 解得：； （2）把，代入得 得， 把代入③得 ∴原解方程组的解为． 【变式2】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解题时看错了系数，解得，乙解题时看错了系数，解得，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，根据题意，甲看错，则其解满足方程②；乙看错，则其解满足方程①。将两组解分别代入对应的方程，即可求出和的值。 【详解】解：将代入②得，， 将代入①得，， ，. 【变式3】甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】99 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数．将代入②可求得b，将代入①可求得a，从而可计算题设式子的值． 【详解】解：将代入②，得，解得， 将代入①，得，解得， ∴ ． 【题型五 构造二元一次方程组求解】 【典例5】对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 【变式1】对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据题意列出方程组，求出x、y的值，是解题的关键．先根据，得出方程组，解方程组得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 【变式2】已知代数式，当时，它的值是；当时，它的值是17． (1)求的值． (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组和求代数式的值，掌握代入消元法与加减消元法及整体思想的应用是解题的关键． （1）将“值为-1，；时，值为”代入得方程组，即可解得答案； （2）用整体代入的方法可得答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ②，得．③ ①+③，得，解得． 将代入①，得，解得． （2）因为，所以． 【变式3】已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 【题型六 己知二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例6】已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 【变式1】已知关于，的方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． 先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出k即可． 【详解】解：解方程组，得， 将代入得， 解得． 【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，求出是解题关键．把两个方程相减即可求出，再根据得出，然后进行计算即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 故答案为：0． 【题型七 方程组相同解问题】 【典例7】已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 【变式1】已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 【变式2】已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：解方程组，得． 所以， 解得：． 【变式3】若关于x、y的方程组 与 有相同的解，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的应用 ；根据加减消元法解出方程组 得解，再代入到中，求出，再代入中计算即可． 【详解】解：方程组中，，得， 代入①，得， 整理得． 方程组的解为． 代入，得， 解得． ∴． 一、单选题 1．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 【答案】A 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组时，直接将①代入②得到的值，进而得到的值． 因此较为简单的方法是代入法． 故选：A． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．解方程组时，由得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 故选：A． 4．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程组解的应用及二元一次方程组的解法．将代入方程组的两个方程，构造关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，从而可求得答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 解①得，代入②得，则， ∴， 故选：A． 5．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可． 【详解】解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 故选：D． 6．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握换元的思想方法是解题的关键．利用换元的思想方法设，，则得到，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设，， 则关于x，y的方程组就是关于m，n的方程组 ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，即可求解． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 8．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项定义和解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键． 根据同类项的定义得出方程组，再求出方程组的解，最后求出代数式的值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ①×2+②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为： 所以， 故答案为：． 三、解答题 9．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键； 根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 10．已知关于x、y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了加减消元法，方程组相同解问题，已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得到方程组，求出，代入两个含有字母参数的方程中，得到，求得，再代入求值． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和有相同解， ∴联立得：， 解得：， 将解代入和， 得：， 解得：， ∴． 11．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将小鑫的解代入②，小童的解代入①得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）根据题意，可得 ，解得； （2）由上题，得， ①②，得，即， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 解二元一次方程组 知识点1：解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【题型一 代入消元法】 【典例1】用代入法解方程组： 【变式1】用代入法解方程组 (1) (2) 【变式2】用代入法解方程组：． 【变式3】用代入法解方程组：． 【题型二 加减消元法】 【典例2】用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式1】用加减法解方程组 【变式2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式3】用加减法解下列方程组： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【题型三 二元一次方程组的特殊解法】 【典例3】阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【变式1】阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【变式2】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1) 已知二元一次方程组求和的值； (2) 解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【变式3】【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 【题型四 二元一次方程组的错解复原问题】 【典例4】在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 【变式1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的，而得到方程组的解为． (1)求出和的值； (2)求出原方程组的正确解． 【变式2】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解题时看错了系数，解得，乙解题时看错了系数，解得，求，的值． 【变式3】甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【题型五 构造二元一次方程组求解】 【典例5】对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【变式1】对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【变式2】已知代数式，当时，它的值是；当时，它的值是17． (1)求的值． (2)当时，求代数式的值． 【变式3】已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【题型六 己知二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例6】已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【变式1】已知关于，的方程组，若方程组的解满足，求的值． 【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是 ． 【题型七 方程组相同解问题】 【典例7】已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【变式1】已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【变式2】已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【变式3】若关于x、y的方程组 与 有相同的解，求的值． 一、单选题 1．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 3．解方程组时，由得（   ） A． B． C． D． 4．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B． C．3 D．5 5．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 8．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 三、解答题 9．解下列方程组： (1) (2) 10．已知关于x、y的方程组和有相同解，求的值． 11．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 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