精品解析：河北省石家庄市第四十中学2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 初二数学 一、选择题 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数 ， 0，， ，中，无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 8. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 9. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 10. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 11. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 12. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题 13. 分式，的最简公分母是_________． 14. 如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是_________． 16. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为______． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. 如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． （1）请分别求出水杯与笔记本的单价； （2）学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 22. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23. 【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 初二数学 一、选择题 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 2. 在实数 ， 0，， ，中，无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．根据无理数的概念即可判断． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 则无理数有个， 故选：C． 3. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 4. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举反例判断命题的真假，把选项代入逐一排除即可求解，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，是反例，符合题意； 故选：． 5. 如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点P比较合适， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的性质，算术平方根的结果为非负数，而立方根的结果符号与被开方数一致，由此逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】如图， ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 8. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的3倍后，变为： 故选：D． 9. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 10. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 11. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 12. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 二、填空题 13. 分式，的最简公分母是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 14. 如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与三角形面积公式，解题的关键是利用角平分线上的点到角两边的距离相等，确定阴影三角形的高．根据角平分线性质得点到的距离等于，再结合三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：∵射线平分，点在上，， ∴点到的距离等于． 阴影部分为，其面积为． 故答案为：． 15. 若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 16. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，根据网格特点可得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算即可得解； （2）先去分母，将分式方程化为一元一次方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：（1） ； （2）去分母可得：， 解得， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简以及计算二次根式的除法，再计算加减即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求出，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． （1）请分别求出水杯与笔记本的单价； （2）学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【答案】（1）水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元 （2）学校应设置优秀奖10个，参与奖为15个 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元． 【小问2详解】 解：设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意得： ， 解得：， ∵要尽可能多地设置优秀奖， ∴； 答：学校应设置优秀奖10个，和参与奖为15个． 22. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）10 （2）45° （3） 解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【小问1详解】 解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 直线垂直平分边， ， ； 【小问3详解】 略 23. 【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 【答案】（1）3或5；（2）；（3）服务区的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意，并结合三角形三边关系可得，即，结合边的长度为奇数，即可获得答案； （2）延长至点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，即可获得答案； （3）延长到，使得，连接，，证明，易得，，再证明，易得，，然后确定，即，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，，， ∵，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵边的长度为奇数， ∴的长为3或5． 故答案为：3或5； （2）如图②，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵， 易知， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图③，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即服务区的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $