第15讲 指数函数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第15讲 指数函数 【人教A版】 模块一 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2025高一上·全国·专题练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 模块二 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高一上·河北张家口·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【变式5.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·陕西·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【变式5.3】（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   【变式6.1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6.3】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【变式7.2】（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【变式7.3】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型8 指数函数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 2．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数且，则（   ） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 三、填空题 12．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 16．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，.    (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的大致图象并写出函数的值域. 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，； (3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 19．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数函数 【人教A版】 模块一 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数定义可得答案. 【解答过程】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可判断. 【解答过程】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C. 【变式1.3】（2025高一上·全国·专题练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义依次判断各个选项即可. 【解答过程】指数函数定义为：形如且的函数叫做指数函数； 对于A，不满足指数函数定义，A错误； 对于B，不满足指数函数定义，B错误； 对于C，不满足指数函数定义，C错误； 对于D，满足指数函数定义，D正确. 故选：D. 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【解题思路】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【解答过程】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可求解. 【解答过程】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C. 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【解答过程】设（且），则， 解得，故. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【解答过程】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解. 【解答过程】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 模块二 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数、指数函数的单调性比较大小. 【解答过程】函数在上单调递增，； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高一上·河北张家口·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数的单调性比较，的大小，利用幂函数的单调性比较，的大小，由此可得结论. 【解答过程】因为函数为上的减函数， 又，所以，故， 因为函数在上单调递增，又， 所以，故， 综上. 故选：D. 【变式4.2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可. 【解答过程】因为，函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 【变式4.3】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【解答过程】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【解题思路】应用指数函数的单调性计算求解. 【解答过程】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【解答过程】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·陕西·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解； （2）根据偶函数性质将不等式转化为，利用指数函数单调性解不等式得解. 【解答过程】（1）是定义在上的偶函数，， 又当时，， 当时，． . （2）是偶函数， 不等式等价于，即， ， 又函数是增函数， ，解得或， 不等式的解集是． 【变式5.3】（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【解答过程】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【解答过程】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 【变式6.1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 【变式6.3】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【解答过程】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A. 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【解答过程】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【解答过程】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【答案】(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式7.3】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域. （3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解. 【解答过程】（1）函数是上的奇函数， 证明：由，得，， 所以函数是上的奇函数. （2）由，得，即，而，解得， 函数，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，故当时，， ， 则当时，，当时，， 所以函数的值域是. （3）当时，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，而， 当时，；当时，， 因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，则依题意对任意，恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型8 指数函数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 【变式8.1】（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【解答过程】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据条件，列出关于，，，的关系式，根据指数函数的单调性，判断它们的大小关系. 【解答过程】由题意：，所以； ，所以. 因为指数函数在上单调递减，且，所以. 又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【解题思路】由指数函数定义可判断选项正误. 【解答过程】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 2．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，则，在定义域内求出函数的单调增、减区间，判断函数的单调性，再根据复合函数单调区间的求法求解即可. 【解答过程】函数的定义域为. 令，则. 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数在定义域内单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【解答过程】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数、指数函数单调性比较大小. 【解答过程】函数在上单调递增，则； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【解答过程】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【解答过程】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 7．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本函数的单调性以及奇函数的性质，可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【解答过程】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 则即，等价于，所以，解得. 故选：A. 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【解答过程】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据指数函数的定义求解. 【解答过程】因为函数是指数函数， 所以，解得或. 故选：AB. 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【解题思路】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【解答过程】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC. 11．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数且，则（   ） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【解题思路】代入计算即可得A；利用指数函数单调性可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【解答过程】A：，故的图象过定点，故A正确； B：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故B错误； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递增，故， 即当时，函数的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【解题思路】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【解答过程】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【解答过程】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性有在上恒成立，判断左侧单调性，即可求参数范围. 【解答过程】由指数函数定义得，又且，所以，，则． “，不等式能成立”为假命题， 则“，不等式恒成立”为真命题． 注意到，所以不等式在上恒成立． 又在R上单调递增，所以，即在上恒成立． 设函数，， 由，得，所以单调递增，则， 即，解得， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【解答过程】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 16．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，.    (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的大致图象并写出函数的值域. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析，值域为R 【解题思路】（1）直接将代入函数解析式即可求解. （2）结合是奇函数，时，利用即可求解解析式； （3）结合指数函数图象与性质作出函数图象，然后利用图象求得函数的值域. 【解答过程】（1）因为当时，，所以； （2）当时，，则， 则； （3）作出图象如下图所示：    由图象可知，函数的值域为R. 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. 【解答过程】（1）设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； （3）设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，； (3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 【答案】(1) (2)，， (3)作图见解析，． 【解题思路】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式． 根据函数的解析式求得、、的值． 画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围． 【解答过程】（1）设函数，且， 把点代入可得，求得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）可知，所以，，． （3） 画出指数函数的图象如下图所示：    所以函数在上单调递增； 由不等式， 可得，解得， 故不等式的解集为． 19．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性及不等式性质推理得证. （3）利用奇函数及增函数的性质等价变形不等式，再利用一元二次不等式恒成立求解. 【解答过程】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 任意，由函数在上单调递增，得， 则，，于是，即， 所以函数在上是增函数. （3）对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $