黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025---2026学年度第一学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的一个焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 4．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 10．已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 11．已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 13．已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是 ． 14．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点．(2)经过，两点． 16．（15分）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，． (1)用、、表示，；(2)求的长度． 17．（15分）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程；(2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 18．（17分）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面;(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 19．（17分）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025---2026学年度第一学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知直线斜率为， 即，所以， 故选：D 2．椭圆的一个焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将已知方程化为椭圆的标准方程，判断焦点位置，计算后即可求解. 【解答过程】由，得椭圆的标准方程为， 显然焦点在轴上，且. 所以焦点坐标为和. 故选：B. 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【解题思路】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【解答过程】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B. 4．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【解析】A 由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【解析】C因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 7．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【解析】B 依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9．多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:BCD. 10．已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 【答案】BD 【解题思路】根据题设方程所表示的曲线列不等式求参数范围判断A、B；代入的值得到具体曲线，由方程可求离心率或顶点可判断C、D. 【解答过程】对于A：若曲线表示椭圆，则， 解得，故A错误； 对于B：若曲线表示双曲线，则，解得或，即，故B正确； 对于C：若，则，，离心率，故C错误； 对于D：若，则，焦点在轴上，令得，，顶点为，故D正确. 故选：BD. 11．已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解题思路】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断. 【解答过程】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A错误； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于选项D：因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 【解析】设与的夹角为，所以根据，，即，又，． 13．已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是 ． 【答案】16 【解题思路】由双曲线的定义可得答案. 【解答过程】由双曲线方程得，， 由双曲线的定义得，① ，② ①＋②，得， 所以． 故答案为：16. 14．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点． (2)经过，两点． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出椭圆的焦点，根据焦点相同的条件设椭圆方程，再代入已知点求解； （2）设椭圆方程，代入两点坐标得到方程组，解方程组求出参数即可． 【解答过程】（1）椭圆方程为：，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为： ， 椭圆经过点， ，化简得，解得或（小于1，舍去）， 所求椭圆方程为：． （2）设所求椭圆方程为， 椭圆经过，两点， ，解得， 所求椭圆方程为：． 16．（15分）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，． (1)用、、表示，； (2)求的长度． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）解： ； 即， （2）解：因为 ，，，，，， 所以 所以，即 17．（15分）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【详解】（1）设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. （2）设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 18．（17分）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 19．（17分）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆上的点和离心率即可求解； （2）（i）根据两点斜率公式即可代入化简求解，（ii）联立直线与椭圆的方程，可得韦达定理，即可结合化简求解定点. 【解答过程】（1）由椭圆C过点得， 又离心率为，即，则，∴． ∴椭圆C的标准方程为． （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，， 而，则． ， 又，即， ∴为定值． （ii）由消去x，得，① ， 由①得，，又， 则 ， 解得（舍）或，满足， 因此直线PQ的方程为， ∴直线PQ过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 续15. ) ( 17.（15分） ) ( 202 5 — 202 6 学年度 第 一 学期 期中 高 二 数学 答题卡 注意事项 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并将考条贴在指定区域内。 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字 、 迹清楚。 请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折迭、不要弄破、皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 填涂样例 正确填涂：  错误 填涂 ：  姓名 班级 考号： 粘帖条码处 ) (    ) ( （15分） ) 选择题（1-8题单选题 每题5分; 9-11多选题 每题6分 部分对得部分分有错选的不得分。共58分） ( 1  6  11  2  7  3  8  4  9  5  10  ) ( 二 、填空题 ： （每空 5 分,共 15 分） 12. 13. 14. ) ( 解答题 15. （ 13 分） ) ( 数学（第1页/共2页） ) (    ) ( 请勿在此区域作答 ) (    ) (    ) ( 数学（第2页/共2页） ) ( ) ( 19.（17分） ) ( 18. （ 17 分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $