第21章 一元二次方程单元测试卷-2025-2026学年沪教版五四制八年级数学上册满分全攻略备考系列

第21章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（23-24八年级上·上海·单元测试）方程的常数项是（　　） A．5 B．3 C． D．0 3．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题3分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（23-24八年级·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的解是 ． 8．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程，若方程有两个相等的实根，则 ． 9．（本题2分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．（本题2分）（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为 ． 11．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 12．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则 ． 13．（本题2分）（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 14．（本题2分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 15．（本题2分）（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知实数x满足方程：，则 ． 16．（本题2分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则 ． 17．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 18．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25八年级·上海长宁·阶段练习）解方程： 20．（本题6分）（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 21．（本题6分）（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 22．（本题6分）（24-25八年级·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 23．（本题8分）（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 24．（本题8分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 25．（本题8分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 26．（本题10分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程； B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程； C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程； D：最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（本题3分）（23-24八年级上·上海·单元测试）方程的常数项是（　　） A．5 B．3 C． D．0 【答案】D 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，对于一元二次方程（其中a、b、c都是常数），那么c就叫做常数项，据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程的常数项为0， 故选：D． 3．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 4．（本题3分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 5．（本题3分）（23-24八年级·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 6．（本题3分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式、根的定义及根与系数的关系．①通过判别式判断有两个不相等的实根；②由条件推导，判断无实根；③代入根后得出或，不一定成立；④代入根后验证等式成立． 【详解】解：①， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，故①正确； ②， ， 又， ，， ， 方程没有实数根，故②正确； ③若是方程的根，则，即， 或， ∴不一定成立，故③错误； ④若是方程的根，则， 除以得：， 代入到方程得， 是方程的一个根，故④正确． 综上，① ② ④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的解是 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 通过移项和提取公因式，将方程转化为两个一次因式的乘积为零的形式，然后求解． 【详解】解： 或， 解得或， 故答案为：或． 8．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程，若方程有两个相等的实根，则 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．由方程变为，根据方程有两个相等的实根，得，解的方程即可． 【详解】解：方程即有两个相等的实根， ， 整理得：， 解得． 故答案为：． 9．（本题2分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 10．（本题2分）（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键；由题意易得，然后可代入进行求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为1． 11．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 12．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，，且， ，， 将代入， 解得， ， ． 故答案为：2． 13．（本题2分）（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得，，利用方程根的性质，将和用和表示，代入代数式化简，最后利用的值求解． 【详解】解：与是方程的两个不同的根， ，， ， ． 由根与系数的关系可得，， ， 原式． 故答案为：． 14．（本题2分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为，根据总场数45列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 15．（本题2分）（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知实数x满足方程：，则 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【详解】解：设 ，则原方程化为： ， ， ∴， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ∴． 故答案为：6． 16．（本题2分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，由条件可知，和是关于的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，， ∴和是关于的二次方程的两个根， 即和是关于的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、实数范围内分解因式 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． （1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解； （2）令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：令，则式子可化为， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 18．（本题2分）（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25八年级·上海长宁·阶段练习）解方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后务必验根，确保解使原方程分母不为零． 先对原方程分母因式分解，确定最简公分母为；方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程；解整式方程得到未知数的值；将解代入最简公分母验根，排除增根． 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘，得 整理得 即 移项得 因式分解得 解得 检验：当时；当时 所以原方程的根是 20．（本题6分）（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先整理，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先整理，然后运用因式分解法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 所以，； （4）解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 21．（本题6分）（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 22．（本题6分）（24-25八年级·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 23．（本题8分）（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 24．（本题8分）（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)与墙垂直的边的长为 (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 25．（本题8分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【答案】(1) (2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析 (3)；原方程的根为和 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． （1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）解：方程的一个解为3， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． 26．（本题10分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】求一个数的平方根、实数与数轴、因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或. 学科网（北京）股份有限公司 $