精品解析：广西壮族自治区南宁市三中三美三雅联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度秋季学期期中义务教育质量监测 九年级数学学科 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A、，未知数次数为1，不符合； B、，含两个未知数，不符合； C、，含分式，不是整式方程，不符合； D、，只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合； 故选：D． 3. 已知的半径为2，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判定方法． 根据点与圆的位置关系判定规则，比较点到圆心的距离与圆半径的大小，从而确定点的位置． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 因为，即， 根据点与圆的位置关系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外， 所以点在圆外． 故选：C． 4. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标与纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称点的坐标为， 故选：C． 5. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解：，是的直径， ， 故选：D． 6. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，计算在单词“”中随机选一个字母为“e”的概率，需统计字母“e”的出现次数和总字母数． 【详解】解：∵ 单词“”中共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴选到“e”的概率是：． 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为，顶点坐标是，对称轴是直线．根据抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴直线方程． 【详解】解：∵抛物线方程为 ， ∴对称轴为直线． 故选：A． 9. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可． 【详解】解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆， ∴， 故选：B ． 10. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故选项A错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故选项B错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∵二次函数图象过点，对称轴是直线， ∴二次函数图象过点， ∴，故选项D错误； 故选：C． 11. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12. 如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2）， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0）， 易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2， 作DE∥y轴交AC于E，如图， 设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2）， ∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∴△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 当t＝1时，△ACD面积有最大值为1． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴符合题意， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键． 14. 如图，在中，，点在斜边上．如果绕点顺时针旋转旋转后与重合，那么旋转角等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，旋转的性质，根据直角三角形两锐角互余得到，根据旋转的性质得到即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵绕点顺时针旋转旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为： ． 15. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据当实验次数较多时，可以用频率估计概率解答即可． 【详解】解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值就是概率，解决本题的关键是掌握利用频率估计概率． 16. 如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）10；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，求算术平方根，因式分解法解一元二次方程． （1）先计算乘方、算术平方根、乘法，再计算加减法即可； （2）先移项，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ∴或， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）请求出在（2）中点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ； （2） 解：如图，即为所求； （3）π 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，， 即可． （3）结合（2）根据弧长公式即可求出点经过的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知， 点经过的路径长． 【点睛】本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 19. 某校在开展科学素养实验探究活动，该活动为学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像原理．将“A”“B”“C”分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．参与该活动的小明同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片． （1）小明同学随机抽取一张恰好选中自己熟悉的实验项目“A”是_____事件；（填“不可能”、“必然”或“随机”） （2）请用列表法或画树状图法求小明同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的概率． 【答案】（1）随机； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点即可解答； （2）列表，共有9种等可能结果，其中两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的结果有4种，由概率公式即可得出结果． 【小问1详解】 因为“A”“B”“C”分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，所以小明同学随机抽取一张恰好选中自己熟悉的实验项目“A”是随机事件． 【小问2详解】 列表为： 第一次 第二次 A B C A B C 由表可得，小明同学两次随机抽得的卡片共有9种等可能的结果，其中两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的结果又4种，所以其概率． 【点睛】本题考查随机事件的特点，列表法或画树状图求概率，通过列表法或树状图找出所有的等可能结果与所求事件的可能结果数是解题的关键． 20. 某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润？ 【答案】（1） （2）销售单价定为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确的列出函数关系式和方程，是解题的关键： （1）结合图象，根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，y与x之间满足一次函数的关系，设，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或， ∵， ∴． 答：销售单价定为元． 21. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 项目式学习任务 南昌地铁减速运动建模 项目背景：南昌地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南昌地铁1号线列车于距万寿宫站停车线196米处启动减速程序，快到站时播放提示音“列车即将到达万寿宫站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为了解决这些问题，附中项目小组同学通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系： ．建立模型 ①收集数据 t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 s（米） 196 144 100 64 36 16 4 ②为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是 的图象． A． 一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． Ⅱ．应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 【答案】（1）28秒；（2）132.25米； ②立如图所示的平面直角坐标系．先根据表格描点并用平滑的曲线依次连接如下． ③B； ④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，涉及画函数图象、二次函数的性质、求函数值等知识点，求得二次函数解析式成为解题的关键． ．建立模型∶ ②按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；③根据函数图象确定函数类型即可解答；④运用待定系数法求得函数解析式即可． Ⅱ． 应用模型：（1）当时，求出对应的t即可解答；（3）先鸣笛在启动减速系统后的时间，然后将代入求解即可． 【详解】解：．建立模型∶ ②略； ③根据②可知该函数图象是二次函数图象，即该函数可能是二次函数，即B选项符合题意． 故选B． ④解：设 ，解得： ； 验证：当时，，故该函数表达式为； Ⅱ．应用模型 （1） 当时，则 ∴ ，解得：． ∴列车从开始减速到完全停止，共需28秒． ② 由提示音全程持续23秒，则鸣笛在启动减速系统后的时间， 当时， (米) 答：列车开始播放提示音时、距离体车线米． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是______； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图1－1，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ，…… 请将小明的证明过程补充完整 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 【答案】（1）①； ②如图1－1，过点A作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点F为的中点； （2） 解：成立． 证明：过点A作交的延长线于G，则， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即F为的中点； （3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①由旋转的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出； ②过点A作交的延长线于G，则，证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点A作交的延长线于G，则，证出，证明，由全等三角形的性质得出； （3）根据三角形的三边关系得出当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大，由勾股定理求得，根据旋转的性质得，，则，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①∵将绕点B顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大， ∵在中，，，， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度秋季学期期中义务教育质量监测 九年级数学学科 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为2，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 4. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 1 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______． 14. 如图，在中，，点在斜边上．如果绕点顺时针旋转旋转后与重合，那么旋转角等于______度． 15. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位） 16. 如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）请求出在（2）中点B经过的路径长（结果保留π）． 19. 某校在开展科学素养实验探究活动，该活动为学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像原理．将“A”“B”“C”分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．参与该活动的小明同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片． （1）小明同学随机抽取一张恰好选中自己熟悉的实验项目“A”是_____事件；（填“不可能”、“必然”或“随机”） （2）请用列表法或画树状图法求小明同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的概率． 20. 某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润？ 21. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 22. 项目式学习任务 南昌地铁减速运动建模 项目背景：南昌地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南昌地铁1号线列车于距万寿宫站停车线196米处启动减速程序，快到站时播放提示音“列车即将到达万寿宫站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为了解决这些问题，附中项目小组同学通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系： ．建立模型 ①收集数据 t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 s（米） 196 144 100 64 36 16 4 ②为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是 的图象． A． 一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． Ⅱ．应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是______； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图1－1，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ，…… 请将小明的证明过程补充完整 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $