2.3 等腰三角形的性质定理（2）课件 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2.3等腰三角形的性质定理（2） 一般三角形 等腰三角形 边特殊化 等边三角形 知识回顾 （轴对称性） 定义 性质 判定 （边、角、相关线段） 探究：如图2-19，在△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线。将三角形沿AD所在的直线对折后再展开。在图中找出所有相等的线段和相等的角。 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 相等的线段 相等的角 　 新知探究 图2-19 问题1 思考折痕AD有哪些特征？ AD是BC上的中线 AD是BC边上的高线 猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。 ▲ 问题2 如何证明三条线段重合？你有什么方法？ 将其中一个条件作为已知条件，推导出另外两个结论。 追问：如果将“三线”中的一条线段作为条件，那么这个问题可以分解成哪些命题？ 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是顶角的平分线，那么它也是底边上的中线和高线。 新知探究 猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是底边上的高线，那么它也是底边上的中线和顶角的平分线。 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是底边上的中线，那么它也是底边上的高线和顶角的平分线。 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线。求证:AD⊥BC，BD=CD。 猜想：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是顶角的平分线，那么它也是底边上的中线和高线。 新知探究 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线。 求证:AD⊥BC，BD=CD。 证明：因为AD是顶角平分线，则∠BAD=∠CAD。 又因为AB=AC，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（ASA）， 所以BD=DC，∠ADB=∠ADC， 所以∠ADB=∠ADC= ×180°=90°即AD⊥BC， 所以AD也是底边上的高和中线。 新知探究 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 符号语言：1.因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以BD=DC，AD⊥BC。 2.因为AB=AC，AD⊥BC， 所以AD平分∠BAC，BD=DC。 3.因为AB=AC，BD=DC， 所以AD平分∠BAC，AD⊥BC。 新知形成 练习1 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上。 (1)如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠　　　　，BD=　　　　;  (2)如果∠BAD=∠CAD，BC=6 cm,那么∠BDA=　　　　°，BD=　　　cm;  (3)如果BD=CD，那么∠BAD=∠　　　　，AD⊥　　　　。  CAD CD 90 3 CAD BC 新知应用 练习2（书本66页 课内练习 第1题 ）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AD上的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G分别为垂足。 求证：EF＝EG。 证明：因为AB＝AC，AD⊥BC( 已知 )， 所以AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）， 因为EF⊥AB于E，EG⊥AC于G， 所以EF＝EG。 新知应用 练习3（书本66页 课内练习 第2题） 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ 因为图中的三角尺是等腰三角形。当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。如果重锤线偏离中点，则横梁不水平。 新知应用 例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC。求证：AD⊥BC。 追问：要证AD⊥BC，有哪些方法？ 1.直接利用垂直的定义； 2.利用“等腰三角形三线合一”。 新知应用 图2-21 例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC。 证明：延长AD，交BC于点E。因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）， 而AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（已知）， 所以 △ABD≌△ACD （ASA）， 所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）， 所以△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）， 因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线， 所以AE⊥BC （等腰三角形三线合一）， 即AD⊥BC。 新知应用 图2-21 练习4（书本67页作业题B组第4题 ）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且DE=AE。求证:DE//AC。 新知应用 ∠BAD＝∠CAD AD平分∠BAC ∠BAD＝∠ADE DE=AE AB =AC AD是BC边上的中线 DE//AC ∠CAD＝∠ADE 练习4（书本67页作业题B组第4题 ）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且DE=AE。求证:DE//AC。 证明：因为AB=AC，AD是BC上的中线， 所以AD为顶角∠BAC的平分线， 所以∠BAD＝∠CAD， 又因为DE=AE， 所以∠BAD＝∠ADE ， 所以∠CAD＝∠EDA， 所以DE∥AC（内错角相等，两直线平行）。 新知应用 例4 已知线段a，h（图2-22），用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC边上的高线长为h。 B C D A？ 新知应用 图2-22 A 作法: 1. 作线段BC=a。 2. 作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。 3. 在直线l上截取DA=h，连结AB， AC。 △ABC就是所求作的等腰三角形。 B C D · A l 回顾本节课的内容，我们学习了哪些知识？ 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 课堂小结 符号语言：1.因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以BD=DC，AD⊥BC。 2.因为AB=AC，AD⊥BC， 所以AD平分∠BAC，BD=DC。 3.因为AB=AC，BD=DC， 所以AD平分∠BAC，AD⊥BC。 文字叙述 符号语言 定理1 等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线互相重合（简称等腰三角形三线合一）。 因为AB=AC， 所以∠B=∠C 因为AB=AC，∠BAC=∠CAD， 所以AD⊥BC，BD=CD 等腰三角形的性质定理 知识梳理 EVCapture4.2.3.170软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $