精品解析：江苏省海安市实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

实验中学高二年级期中考试 数学 一、单选题 1. 直线的倾斜角为 A. 60° B. 90° C. 120° D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】直线垂直于x轴，所以倾斜角为90°，选B. 2. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】圆即的圆心，再利用点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】圆，即. 圆心到直线的距离， ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了圆的一般方程，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 3. 等差数列的首项，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式列方程可求得公差，进而可得解. 【详解】因为是等差数列，设其公差为， 所以， 又，所以，解得， 所以， 故选：D． 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求圆心关于直线直线的对称点，再确定圆的半径，由此可求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设圆心关于直线直线的对称点的坐标为， 则线段的中点为，且. 于是，解得，所以点的坐标为，圆的半径与圆的半径相等， 故圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：D. 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程. 【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为 故选：A 6. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用直径所对的圆周角为直角，将问题等价转化为两圆的位置关系，结合圆心距与两圆的位置关系，可得答案. 【详解】设以原点为圆心，以为半径作圆，则其方程为，则点A、B，点P在该圆上， 当两圆用公共点时，圆上一定存在点，使得， 由圆，则圆心，半径， ，则，解得. 故选：B. 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程可知，即可知为正三角形，再根据垂直可知为垂直平分线，即可知，，即，可知的周长，并可知直线的方程，联立方程可得弦长及到直线的距离，即可得，则. 【详解】 由椭圆方程，可得，， 即，所以为等边三角形，， 由过作直线的垂线交椭圆于，两点， 即为垂直平分线， 则，即直线的倾斜角为， 则点，关于直线对称，而的周长为， 所以的周长为， 所以直线，即， 设，， 联立方程，消去得， 则， 可得，， 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 所以， 故选：C． 二、多选题 9. 数列前两项为3，，则其通项公式可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据逐项检验即可. 【详解】对于A，，不符合题意，故A不可以； 对于B，，符合题意，故B可以； 对于C，，符合题意，故C可以； 对于D，，不符合题意，故D不可以. 故选：BC. 10. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D. 【详解】A：时，曲线可整理为，即曲线是一个圆，正确； B：时，曲线可整理为，即曲线是一个双曲线，正确； C：时，曲线可整理为，即曲线是焦点为的椭圆，正确； D：由上分析知：若曲线是离心率为的椭圆，则或，可得或，错误. 故选：ABC. 11. 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得，即可根据得，逐一代入即可求解. 【详解】设且， 故 故， 故， 由于，故，故，即， 对于A，，满足，故A正确， 对于B，，，故B错误， 对于B，，，故C错误， 对于D，，，故D正确， 故选：AD 三、填空题 12. 已知直线：与直线：平行，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行得出他们的斜率相等，结合两直线不重合，计算即可. 【详解】由题意知， 由，得. 故答案为：2 13. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 14. 设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得，即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点． 故答案为： 四、解答题 15. 如图，已知的边所在直线的方程为，为中点，点在边所在直线上且满足． （1）求边所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程可知的一般式方程； （2）根据的形状确定出外接圆的圆心和半径，则外接圆的方程可知. 【小问1详解】 由，在上，所以，所以为， 因为边所在直线的方程为，所以斜率为， 所以直线的斜率为， 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知边所在直线的方程为， 联立方程组，可得， 因为为斜边上的中点，即为外接圆的圆心， 又由， 所以外接圆的方程为． 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）设直线与圆交于点，，且，求面积． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）分离参数，可得直线过定点； （2）由（1）可得，则直线的斜率为，即可得直线方程，进而可得圆心到直线的距离及弦长，从而可得三角形面积. 【小问1详解】 由直线，即， 所以，解得， 即直线过定点； 【小问2详解】 由（1）得，且圆，即，半径， 则直线的斜率， 又，即，， 即直线，化简可得， 所以圆心到直线的距离， 则弦长， 所以的面积. 17. 设等差数列的公差为，且，令，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【小问1详解】 由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 18. 已知抛物线． （1）若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； （2）求过点的抛物线的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【小问1详解】 当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2）的大小为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数求解即可； （2）先讨论直线斜率不存在时的情况得，再讨论一般情况下成立即可； （3）先讨论直线斜率不存在时的面积为，再根据弦长公式，面积公式，结合韦达定理求解面积得，再结合基本不等式，分当和讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为的离心率为，所以，即① 因为在椭圆C上，所以②， 又③， 所以，联立方程①②③解得：， 所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 解：当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为， 由对称性，不妨令直线l的方程为． 联立，将代入得：， 所以，即，解得：， 所以 此时，即与垂直， 所以． 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为，，． 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得． 联立，消去y得． 则，即． 由韦达定理可得，． 所以 将代入上式得：， 所以，即． 综上，的大小为定值，该定值为． 【小问3详解】 解：直线l的斜率不存在时：，则． 当直线l的斜率存在时：， 将代入上式得： ， 所以三角形的面积． 当时，； 当时，． 由基本不等式 （当且仅当，即时取等号）． 则，，， ， ，即． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高二年级期中考试 数学 一、单选题 1. 直线的倾斜角为 A. 60° B. 90° C. 120° D. 不存在 2. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 等差数列的首项，且，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 数列前两项为3，，则其通项公式可以是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 11. 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知直线：与直线：平行，则______． 13. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 14. 设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 四、解答题 15. 如图，已知的边所在直线的方程为，为中点，点在边所在直线上且满足． （1）求边所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）设直线与圆交于点，，且，求面积． 17. 设等差数列的公差为，且，令，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 18. 已知抛物线． （1）若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； （2）求过点的抛物线的切线方程． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $