精品解析：山东省青岛市莱西市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

高二学业水平阶段性检测（一） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的左顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，是两个空间向量，，则不一定共面 B. C. 若P在线段AB上，则 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的概念、性质和运算法则，对各选项进行判断，即可得到结果 【详解】根据向量的特点，若，是两个空间向量，则，一定共面，故选项A错误； ，故选项B错误； 若P在线段AB上，则，根据共线定理可知存在实数，使得故选项C正确； 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，故选项D错误； 故选：C. 3. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的倾斜角与斜率的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线方程可化为，故该直线的斜率为，该直线的倾斜角为. 故选：D. 4. 在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点D，连接，，，根据向量的加法可得，再由向量的线性运算可得选项. 【详解】解：如图，取的中点D，连接，，.在中， . 故选：C. 5. 直线与直线互相垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】由直线与直线互相垂直，可得. 解得. 故选C. 【点睛】已知两直线的一般方程判定垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，， ． 6. 圆与圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 则，圆与圆相交， 所以两圆的公共点个数为2. 故选：C 7. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率． 【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴） 所以只要求出椭圆的c和a， 由题意，结合图形可知， ， ， 所以． 故选：A． 【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力． 8. 已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，，则异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可设异面直线，所成的角为，利用向量可得的值，即求. 【详解】设异面直线，所成的角为， ∵，且，，，，， ∴ ∴ ∴ ∴，又 ∴. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答. 【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确； 直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确； 点到直线的距离，C正确； 设过与直线平行的直线方程是，则有，解得， 所以过与直线平行的直线方程是，D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案． 【详解】由已知得，2b=2，b=1，， 又，解得， ∴椭圆方程为， 如图： ∴，的周长为． 故选：ACD． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面 B. 当时，线段CP长度的最小值为 C. 当时，直线CP与平面所成的角不可能为 D. 当时，存在唯一点P使得直线DP与直线所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，可知点在线段上，易证平面平面，利用线面平行的性质可证得结论； 对于B，可知三点共线，线段在中，当点为中点时即可求得距离最小值； 对于C，设点在平面内的射影为在线段上，则为所求角，求，可判断结果；对于D，可证得点为中点，此时可判断. 【详解】对于A，当时，，即点在线段上，利用正方体的性质，易证平面平面，平面，平面，故A正确； 对于B，当时，可知三点共线，线段在中，当点为中点时，最小，此时，，故长度的最小值为，故B正确； 对于C，当时，可知三点共线，点在平面内的射影为在线段上，则为与平面所成的角，，又，所以，而，所以与平面所成的角不可能为，故C正确； 对于D， 当时，，设的中点为，则，即，即点为中点，此时，故D错误； 故选：ABC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______． 【答案】 【解析】 【分析】用向量法求解距离，将转换成模长和夹角已知的向量，根据向量平方等于模长的平方进行计算 【详解】由图可得，，所以 所以， 故答案为： 14. 已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解； 【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点； 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，直线（）. （1）若与直线平行，求； （2）求点到的最大距离及此时的值. 【答案】（1）； （2）；. 【解析】 【分析】（1）将两条直线方程化为斜截式，利用斜率相等，纵截距不相等可求出结果. （2）根据直线方程求出所过定点，当时，O到直线l的距离最大，据此求解即可. 【小问1详解】 由直线得，得直线的斜率为， 由得，得斜率为， 因为直线与直线平行，所以， 解得. 【小问2详解】 由直线可得， 故直线l恒过定点， 所以O到l的最大距离小于等于， 此时，， 所以，即，解得． 16. 在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程． 【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为， 所以中垂线方程为，即， 由得，圆心，所以， 所以圆的标准方程为：. （2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立， 当该直线斜率存在时，设其方程为：，即， 因为该直线与圆恰有1个公共点， 所以圆心到直线距离，得. 所以切线方程为或. 【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 17. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点. （1）求线段PQ长度的最小值； （2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面平面，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得长度的最小值. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再求得其余弦值. 【详解】（1）依题意，四边形是菱形，边长为，， 所以三角形和三角形是等边三角形. 设是的中点，则， 所以，所以， 由于，所以平面. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系. 设，其中， 所以， 当时，取得最小值为. （2）由（1）得. ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设与平面所成角为， 则, 所以. 18. 在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点. （I）求点F到直线EC的距离； （II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值； （III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（I）； （II）； （III）不存在，证明如下： 设GF上存在一点Q，设， 则， 设平面MNQ的法向量为 则，令，则 若平面平面，则， 故不存在，即不存在点Q使得平面平面 【解析】 【分析】（I）由题知，，，又，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量，，则点F到直线EC的距离为； （II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值； （III）假设GF上存在点Q使得平面平面，设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可. 【详解】（I）由平面ABCD知，，，又， 则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则， ，， 所以点F到直线EC的距离为 （II）由（I）知，，， 设平面BED的法向量为， 则，令，则 设平面EDC的法向量为， 则，令，则 故 由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为 （III）略 19. 已知为坐标原点，直线上一点，动点满足：，. （1）求动点的轨迹的标准方程； （2）直线与轨迹相交于两点，线段的中点为，射线交轨迹于点，交直线于点.证明：. 【答案】（1）； （2）由题意:设，的中点为， 由得： 由韦达定理得：，所以， 即点 因为，所以射线 由得：，即点； 由得： 又因为，所以，即∙ 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用两点之间的距离公式即可求得动点P的轨迹W的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得E点坐标，求得直线OE的方程，联立方程组，求得D和G点坐标，由，即可证明|OG|2＝|OD|•|OE|． 【详解】（1）设，由题知：， 所以 又因为，所以 所以得: 所以轨迹的方程为：. （2）略 【点睛】本题考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二学业水平阶段性检测（一） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的左顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，是两个空间向量，，则不一定共面 B. C. 若P在线段AB上，则 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 3. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 直线与直线互相垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 0 6. 圆与圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 7. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，，则异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 的周长为 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面 B. 当时，线段CP长度的最小值为 C. 当时，直线CP与平面所成的角不可能为 D. 当时，存在唯一点P使得直线DP与直线所成的角为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 13. 如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______． 14. 已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，直线（）. （1）若与直线平行，求； （2）求点到的最大距离及此时的值. 16. 在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程. 17. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点. （1）求线段PQ长度的最小值； （2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的余弦值. 18. 在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点. （I）求点F到直线EC的距离； （II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值； （III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由. 19. 已知为坐标原点，直线上一点，动点满足：，. （1）求动点的轨迹的标准方程； （2）直线与轨迹相交于两点，线段的中点为，射线交轨迹于点，交直线于点.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $