2.5二次函数与一元二次方程 同步练习题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《2.5二次函数与一元二次方程》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的对称轴为．若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下结论：④．其中结论正确的序号为（    ） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 8．二次函数（）的对称轴是 ． 9．若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为 ． 10．二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 11．设函数与x轴的交点坐标为，，若函数，则与x轴交点的坐标是 ． 12．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是 ． 14．如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是 ． 三、解答题 15．已知二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），点、点的横坐标是一元二次方程的两个根． (1)求点、点的坐标； (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． 16．已知二次函数． (1)求证：无论m取何值时，该函数与x轴都有两个交点； (2)设方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 17．已知关于x的二次函数（m是常数）． (1)求证：二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)若该抛物线与x轴的交点分别为，且，求m的值． 18．已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为，求： (1)抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点坐标； (3)抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点的三角形的面积． 19．如图，抛物线与轴一个交点为，与轴交于点，直线的解析式为． (1)抛物线与轴另一个交点坐标为__________； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)当时，的取值范围是__________． 20．如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方抛物线上的一点，求点到直线距离的最大值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点个数的判断，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式判断交点个数． 求二次函数图象与x轴的交点个数，可转化为求对应的一元二次方程的实数根个数，通过计算根的判别式的值来判断． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交点的个数，等价于方程的实数根的个数， 。 因为，所以方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有2个交点， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题，求得时的y值即可求解． 【详解】解：对于，当， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称轴公式以及利用函数值的范围确定参数范围是解题的关键． 先根据抛物线对称轴求出的值，将方程转化为函数形式，再结合函数在给定区间内的取值情况确定的范围． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为． ∵对称轴为， ∴，解得． ∴， 令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为． 当时，． 当时，． 当时，． ∵方程在的范围内有解， ∴当时，，即，解得； 当时，，即，解得． 综上，． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 6．C 【分析】本题考查了主的图象与性质，一次函数、二次函数图象综合判断,抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出二次函数的图象与的交点、的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式，然后求出直线经过点时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而可确定m的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，， 解得：，， 则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时， ，解得：； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， ∴有相等的实数解， ∴， 解得：， 所以当直线与新图象有4个交点时， m的取值范围为． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线可知：，，， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故选：D． 8．直线 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点问题，求对称轴，先确定抛物线与轴的交点为，即可写出对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 当时， 解得： ∴抛物线与轴的交点为 ∴该抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线． 9．或/或 【分析】本题考查抛物线与轴的交点．解题的关键是把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数：抛物线与轴有两个交点；抛物线与x轴有一个交点；抛物线与轴没有交点．也考查了函数图像上点的坐标特征．根据抛物线与两坐标轴有且只有两个交点知：抛物线与坐标轴有且只有一个非原点的交点或抛物线与坐标轴有两个交点，其中一个交点为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与两坐标轴有且只有两个交点， ①抛物线与轴有且只有一个非原点的交点， ∴， 解得：； ②抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点， ∴， 解得：， ∴的值为或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 设另一个交点的坐标为，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 11．， 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括二次函数的顶点式、二次函数与x轴的交点、二次函数的对称性．先根据二次函数与x轴交点的对称性求出h的值，再求出m关于a的表达式，最后可求出与x轴交点的坐标． 【详解】解：由题意，∵函数与x轴的交点坐标为，， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴h， ∴，即， 又∵函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为，． 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的顶点坐标，一元二次方程的判别式等， 熟练掌握相关知识点，从图象中获取信息是解题的关键； 根据函数图象可得，，进一步可得，再由方程有两个不相等的实数根， 转化为，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：由图知，抛物线开口向下，顶点坐标为， ，，， 方程可化为， 由题知，， ， ， 又， 解得． 的取值范围是． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是读懂函数图象；由方程变形为，则可看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：由方程变形为， ∵抛物线与直线相交于点， ∴方程的根是； 故答案为． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数图象的对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为； 故答案为：． 15．(1)， (2)，直线， 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式及对称轴和顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可得到A点和B点坐标； （2）将A、B两点坐标代入二次函数，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ∵点在点的左侧， ，． （2）解：将、两点坐标代入二次函数，得： ， 解得， ， ， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为． 16．(1)见解析 (2)或1 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用； 对于（1），先求出一元二次方程中根的判别式，再根据结果判断； 对于（2），先求出，再整理 ，然后整体代入求出方程的解. 【详解】（1）证明：二次函数对应的一元二次方程， ∵ ∴无论m取何值时，该方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点； （2）解：∵该方程有两个实数根a，b， ∴. ∵ . ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴m的值为或1． 17．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与x轴的交点的意义，根的判别式，根与系数的关系． （1）只要证明方程的判别式大于零即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再根据，列式得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴二次函数的图象与x轴总有两个交点； （2）解：根据题意，可知，是方程的两个根， ∴，， ∵，∴， ∴， 即， ∴， ∴，∴． 18．(1) (2) (3)2 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质等知识，求出二次函数的解析式是关键． （1）求出，再利用待定系数法求出答案； （2）根据抛物线的性质即可得到答案； （3）求出抛物线与x轴和y轴的交点分别为，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵直线与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴， ∵一抛物线经过A、B两点且其对称轴为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得到 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）当时，， 当时，，解得 ∴抛物线与x轴和y轴的交点分别为， ∴抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点坐标的三角形的面积为． 19．(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合，利用数形结合的思想是解题的关键． （）根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点，则与轴另一个交点； （）根据图象即可求解； （）根据图象可知，当时，有最大值，当时，有最小值，从而可得的取值范围； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点， ∴与轴另一个交点， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象可知，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）解：根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）在中，求出函数值为0时自变量的值可得点A和点B的坐标，求出自变量的值为0时的函数值可得点C的坐标； （2）连接，由抛物线的对称性可得，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标； （3）过点P作轴交于E，于F，连接，设，则，则；可求出，根据，得到当有最大值时，有最大值，据此求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得或， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∵A、C是定点， ∴的长是定值， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， ∴存在使得的周长有最小值； （3）解：如图所示，过点P作轴交于E，于F，连接， 设，则， ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为， ∴点P到的距离的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $