精品解析：云南省昆明市云南民族大学附属高级中学2025-2026学年高一上学期期中诊断测试数学试卷

2025-2026学年秋季学期期中诊断测试 高一年级数学试卷 （考试时间_120_分钟，满分_150_分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则___________． 13. 函数的单调递增区间为______ 14. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值． （1）； （2）（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； （3） 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 17. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； （1）请用表示，并写出的取值范围； （2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值． 18. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数a，b的值． （2）用定义法证明：在上单调递增． （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期期中诊断测试 高一年级数学试卷 （考试时间_120_分钟，满分_150_分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，依次判断代入计算. 【详解】函数中，， 所以. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数奇偶性及函数正负，借助排除法即可得. 【详解】由题意可得，解得， 又，故为偶函数，故可排除A、C； 又时，，故可排除B，故D选项正确. 故选：D. 7. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定. 【详解】因为，利用换底公式可知， 构造函数， 显然时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以由，即， 所以，综上. 故选：A 【点睛】难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据单调函数和奇偶函数的定义可知为偶函数且在上单调递增，利用函数的单调性好奇偶性解不等式即可. 【详解】设，则， 所以为偶函数. 对于，且，有， 设，则，得，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 且，. 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析函数在指定区间上单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解不等式的解集. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】取值验证可判断A；利用不等式性质逐一推导可得BCD. 【详解】对A，取，满足， 但，故不成立，A错误，符合题意； 对B，若，则，所以，即，B正确，不符合题意； 对C，因为，所以，所以， 即，又，所以，C错误，符合题意； 对D，因为，所以， 又，所以，所以，D正确，不符合题意. 故选：AC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离常数法，利用反比例函数图象的平移变换可得AB项，由单调性性可判断出C项，解分式不等式即可判断D项. 【详解】， 函数的图象可看作函数向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到， 由于函数对称中心为，且值域为， 故函数的值域为，对称中心为， 所以A、B项都正确； 对于选项C，由的图象知在和单调递减，故C错误； 对于选项D，由得，移项得，，即，解得或，所以的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解析式，从而求函数值得答案. 【详解】设，则，解得：， 所以，则. 故答案为：2. 13. 函数的单调递增区间为______ 【答案】 【解析】 【分析】令，则，因为为上的增函数，所以由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间即为函数的单调递增区间. 【详解】解：令，则， 因为为上的增函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数与二次函数的单调性，结合分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数为减函数， 所以，故， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值． （1）； （2）（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； （3） 【答案】（1）10 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据指数幂运算法则化简即可； （3）结合指数运算法则、对数运算法则、对数换底公式计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，再根据并集和补集的运算即可； （2）由题意得，分和讨论即可. 【小问1详解】 当时，集合，所以或， . 【小问2详解】 由已知，， 因为是的必要条件，于是得， ①当时，，解得； ②当时，由得，解得：, 综上所述，. 17. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； （1）请用表示，并写出的取值范围； （2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值． 【答案】（1） （2），（平方分米） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，由几何图形的性质表示面积即可得的关系； （2）根据圆的面积公式，结合基本不等式求解最值即可得所求. 【小问1详解】 根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 【小问2详解】 若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米） 18. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数a，b的值． （2）用定义法证明：在上单调递增． （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知． 任取，则 因为，所以，所以， 则在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义建立关于参数的方程组，求解并验证即得参数值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，将其化成二次函数在给定区间上的恒成立问题，数形结合列出不等式即可求得参数范围. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以 即解得． 经验证符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为对任意的，关于的不等式恒成立， 即关于的不等式在上恒成立， 故 解得，即实数的取值范围是． 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $