专题16.3乘法公式（知识点总结+12大题型 同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3乘法公式 【题型1】平方差公式直接计算 1.核心知识点总结 平方差公式：，关键是两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。 公式中、可表示具体数、单项式或多项式，需关注系数、指数的变化。 2.高频考点梳理 基础应用：直接代入公式计算（含符号、系数、指数变化，如）。 变形应用：位置变形（）、符号变形（）、项数变形（）。 3.易错点警示 混淆“相同项”和“互为相反数的项”，导致平方后符号错误。 忽略单项式或多项式作为、时的整体平方（如中，需整体平方）。 4.解题技巧拆解 第一步：判断式子是否符合“一项相同、一项相反”的结构，不符合则变形。 第二步：明确公式中的（相同项）和（相反项）。 第三步：代入公式计算，注意符号和指数运算规则。 【例题1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题1-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特点找相同项和相反项，即可得到答案． 【详解】解： A、，符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式进行计算，此选项正确； B、，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； C、，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； D、，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； 故选：A． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键．根据平方差公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； C、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，则此项符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）填空：（ ）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式，掌握平方差公式是解题关键，根据平方差公式直接解决问题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2】完全平方公式直接计算 1.核心知识点总结 完全平方公式:，。 关键特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式，中间项为(符号与左边一致)。 2.高频考点梳理 基础应用：直接计算(含符号变形，如、)。 特殊形式：单项式与常数项的平方(如)、多项式整体平方(如，需先分组)。 3.易错点警示 漏乘中间项(如误算为)。 符号错误：中间项为负，等同于，中间项为正。 多项式平方时未分组直接展开(如未写成)。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中央符号看左边”。 多项式平方：先分组为“两部分”，再套用公式(如)。 计算后验证：中间项系数是否为首项尾项。 【例题2】．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式中，是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：． 故选：C． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即完全平方公式：．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． （3）利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型3】添括号变形为乘法公式 1.核心知识点总结 添括号法则：括号前是“”，括入各项符号不变；括号前是“”，括入各项符号改变。 核心作用：将多项式变形为乘法公式的结构(如)。 2.高频考点梳理 基础应用：根据公式需求添括号(如变形为)。 综合应用：结合平方差、完全平方公式添括号后计算。 3.易错点警示 括号前是“”时，漏变部分项的符号(如误添为，正确为)。 添括号后破坏乘法公式结构，未用去括号验证。 4.解题技巧拆解 明确目标：根据乘法公式需求，确定需分组的项(如凑“相同项”或“相反项”)。 验证方法：添括号后用去括号法则反向验证，确保符号正确。 优先处理负号：括号前为“”时，逐次改变括入项的符号。 【例题3】．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）计算： 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据去括号法则，平方差公式化简计算即可，熟记平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式题3-1】．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，注意乘法公式的运用． 先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式的应用，掌握通过变形构造完全平方公式或平方差公式来进行计算是解题的关键． （1）把看作，利用完全平方公式展开计算； （2）把变形为，再利用乘法公式展开． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，重点是多项式乘多项式法则以及平方差公式的运用； （1）先算乘法，再合并同类项； （2）先用平方差公式计算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】乘法公式混合化简与求值 1.核心知识点总结 核心是平方差、完全平方公式的混合运算，遵循“先化简，再求值”的原则。 关键步骤：公式展开→去括号→合并同类项→代入求值。 2.高频考点梳理 基础求值：已知字母具体值，化简后代入(如，，)。 条件求值：已知代数式的值(如，)，整体代入化简式。 3.易错点警示 去括号时符号错误(如误算为)。 合并同类项时漏项或系数计算错误。 代入负数时未加括号(如，误算为)。 4.解题技巧拆解 分步化简：先分别展开每个公式，再统一去括号，避免混乱。 整体代换：化简结果若含、等形式，直接代入已知条件，无需单独求、。 代入验证：求值后反向代入原式，检查结果是否一致。 【例题4】．（25-26八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式一化简求值，正确计算是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再合并同类项进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： ， 把代入． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减，最后代入数值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·北京·期中）代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，平方差公式，提公因式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据完全平方公式与平方差公式计算括号内的，最后进行整式的加减，即可求解； （2）根据已知条件可得，然后将代数式化简，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵， ∴， ∴ ， ． 【题型5】平方差公式简便运算(提升) 1.核心知识点总结 核心是“凑平方差结构”，将非标准形式转化为，实现简便计算。 常用技巧：补乘“差值为1的式子”(如、)，连用平方差公式约分。 2.高频考点梳理 接近整数的数计算(如、)。 连用平方差公式(如)。 代数式化简(如)。 3.易错点警示 凑形时符号错误(如误凑为，正确为)。 连用公式时漏写最后一步约分(如误算为)。 4.解题技巧拆解 凑形方法：对于，若、接近同一数，则化为(如)。 补乘技巧：对于，补乘，再除以，连用公式后约分。 结果验证：复杂计算后用常规方法验算，确保结果正确。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）利用乘法公式计算（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先将转化为，运用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，正确计算是解题的关键；将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题5-2】．（15-16七年级下·江苏·期末）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可； （2）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题5-3】．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）利用乘法公式能进行简便计算． (1) (2) 【答案】(1)39975 (2)1 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式简便计算是解题的关键． （1）利用平方差公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型6】完全平方公式变形求值(提升) 1.核心知识点总结 公式核心变形：；。 核心思想：整体代换，已知“、、、”中任意两个，可求另外两个。 2.高频考点梳理 基础变形：知和，求；知和，求。 复杂变形：含三项的完全平方(如)。 真题改编：已知，求(设变形)。 3.易错点警示 变形公式符号混淆(如，错误)。 三项完全平方漏加部分交叉项(如漏加)。 整体代换时计算错误(如，，误算)。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“和方减积二倍，差方加积二倍”。 换元法：对于含相同整体的式子，设简化计算(如上述)。 验证技巧：求出结果后，反向代入变形公式，检查是否符合已知条件。 【例题6】．（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据 进行计算求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，，求①和②的值； 【答案】①1；②13 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用．利用两边平方，求出，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ． 【变式题6-2】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)41 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 当，时，． （2）解：因为， 所以， 当，时，． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 【题型7】乘法公式与几何图形结合(提升) 1.核心知识点总结 核心是“等面积法”，通过不同方式表示同一图形的面积，验证或应用乘法公式。 常见图形：正方形分割、长方形拼接、正方形与小正方形组合。 2.高频考点梳理 公式验证：用面积表示推导平方差、完全平方公式(如边长为的正方形挖去边长为的小正方形，拼接为长方形)。 求边长/面积：已知图形面积关系，用公式求边长、面积(如长方形周长定值，求最大面积)。 真题题型：2024江苏扬州期中——通过图形阴影面积列等式，求代数式的值。 3.易错点警示 图形分割/拼接错误，导致面积表示错误(如将正方形误分割为非矩形图形)。 混淆图形边长与公式中、的对应关系。 忽略图形隐含条件(如正方形边长为正，长方形长>宽)。 4.解题技巧拆解 两步法：第一步用整体法表示图形面积(如大正方形面积)；第二步用分割法表示(如)。 对应关系：明确图形边长与公式中、的对应(如长方形长，宽，面积对应平方差)。 实际应用：周长定值时，用完全平方非负性求最大面积()。 【例题7】．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值． （2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）10；（2）96 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）设，，得出，，利用代入计算即可； （2）根据题意得，再根据（1）的方法求出的值即可． 【详解】解：（1）设，，则 ，， ∴ ； （2）∵，，， ∴，， ∵长方形的面积为40， ∴， 设，， 则，， ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴图中阴影部分的面积和是：． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·北京·期中）学习整式乘法时，小明制作了三种型号的卡片若干张进行探究学习，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．小明进行了一系列探究，请你和小明一起解决下面的问题． (1)选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________，通过不同方式表示大正方形的面积，可以得到等式________________________； (2)选取1张A型卡片和1张B型卡片按照图3的方式叠合摆放，用剪刀沿B型卡片的边缘剪开，再沿虚线剪开，得到了两个全等的直角梯形，如图3所示，再将它们重新拼成了一个长方形，通过图3中的图形面积关系可以得到等式________________________； (3)请你选取适当数量的三种型号卡片拼出一个面积为的长方形，在下面的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标出长方形的长与宽． 【答案】(1)； (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、平方差公式的几何背景等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）分别表示左右两个图形的面积得出结论即可； （3）结合，根据面积为的长方形由1个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，3个长和宽分别为a，b的长方形完成作图即可． 【详解】（1）解：选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为， 通过不同方式表示大正方形的面积，则可以表示为或， 可以得到等式； （2）解：由图3中的左边图形面积为，右边图形面积为， 则可以得到等式； （3）解：∵面积为的长方形由1个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，3个长和宽分别为a，b的长方形构成， 又∵， 如下图即为所求作． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________    方法2：________________________ (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系：________________． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①2.5，15；②21 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）方法1：根据“阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积”即可得出答案； 方法2：根据“阴影部分的面积边长为的正方形边长为，的长方形”即可得出答案； （2）由（1）计算的结果即可得出，，之间的等量关系； （3）①由（2）的结果得，则，将，代入计算即可得出的值；根据，得，由此可得的值； ②设，，则，，进而由得，根据得，继而得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：方法阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积为：； 方法阴影部分的面积边长为的正方形的面积边长为，的长方形的面积， 阴影部分的面积为：； 故答案为：；； （2）由（1）可知：； （3）①由（2）可知：； ， ，， ， ； ，， ， ； ②设，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 问题提出 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：_____（用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式：_____（用图中字母表示）． 问题拓展 （2）如图3，一个边长为的大正方形被分割成3个正方形以及6个长方形．若，，求的值． 延伸应用 （3）已知正数，，和正数，，，满足，当时，构造适当几何图形，直观比较与的大小关系，再从代数角度证明该关系． 【答案】（1）①；②；（2）12；（3），见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的运算法则． （1）①用四个小长方形面积和大长方形面积公式表示出大长方形的面积，即可得出答案； ②用两个正方形的面积加上两个长方形面积得出大正方形面积，根据大正方形面积公式求出大正方形面积即可； （2）根据图3得出，然后整体代入求值即可； （3）先构造图形，得出当时，，用多项式乘多项式运算法则，进行证明即可． 【详解】解：（1）①大长方形的面积为， 大长方形的面积也可以表示为， ∴； ②大正方形面积为， 大正方形的面积也可以表示为， ∴； （2）由图3可知： ， ， ； （3）构造的图形，如图所示， （1） 根据图形面积可得：当时，； 证明：， ， ，， ， ， ． 【题型8】新定义问题与乘法公式结合(培优) 1.核心知识点总结 核心是理解新定义规则，将其转化为乘法公式的应用(如“创新数”“对消多项式”“智慧优数”)。 关键：提取新定义中的代数特征，与平方差、完全平方公式匹配。 2.高频考点梳理 新定义判断：如“创新数”——能表示为两个正整数平方差的数，判断某数是否为创新数。 新定义计算：如“对消多项式”——两个多项式和为常数，求参数值(2024辽宁辽阳阶段练习)。 新定义探究：如“智慧优数”——且，求第个智慧优数(2025陕西西安开学考试)。 3.易错点警示 误解新定义条件(如“智慧优数”中忽略的限制)。 无法将新定义转化为乘法公式结构(如“对消多项式”未意识到需二次项系数互为相反数)。 探究规律时遗漏特殊情况(如创新数中奇数、偶数的规律)。 4.解题技巧拆解 三步法：①精读定义，提取核心条件(如“平方差”“和为常数”)；②转化为代数表达式(如“创新数”→)；③结合乘法公式求解。 规律总结：对于探究类新定义，先列举前几个例子，归纳规律(如智慧优数从小到大排列，先列出1,3,4,5,7,8…再找第27个)。 验证：结果需符合新定义的所有条件，避免遗漏限制。 【例题8】．（25-26七年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及一元一次方程的求解，解题的关键是先利用完全平方公式化简新定义运算“”的表达式，再进行后续计算或解方程． （1）先通过完全平方公式化简，得到简化表达式后，代入、计算； （2）利用化简后的表达式，代入得到关于x的一元一次方程，求解方程即可得x的值． 【详解】（1）解：，   ∴． （2）由（1）知， 则，且，   ∴，   解得． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 【答案】(1)5 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，运用完全平方公式进行推导是解决本题的关键． （1）通过检查每个数是否能表示为两个整数的平方和，确定平方和数即可求解； （2）利用平方和数的恒等式性质，结合给定条件推导n的表达式即可； （3）通过代数恒等式证明两个平方和数的积仍是平方和数 【详解】（1）解：根据题意得，5可以表示为， 19不能表示为两个整数的平方和， 33也不能表示为两个整数的平方和， ∴平方和数是5， 故答案为：5； （2）解：由题意得，，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， （3）证明：设两个平方和数分别为和（a，b，c，d均为整数）， ∴ ， ∵和均为整数， ∴可以表示为两个整数的平方和， ∴是平方和数． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【答案】（）；（）；（）的最大值为． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分成和即可； （）由，然后根据为“完美数”，从而求出的值； （）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ， ∵为“完美数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·福建·阶段练习）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”． 理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你判断是否为“完全数”__________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为____________； 探究问题： （3）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． （4）已知实数，满足，求的最小值． 【答案】（）是；（）；（）；（）的最小值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，掌握公式的形式是解题的关键． （）根据“完全数”即可求解； （）由，得，，然后代入即可求解； （）得，然后根据“完全数”即可求解； （）由，得，则有，从而可求的最小值． 【详解】解：（）∵， ∴是否为“完全数”， 故答案为：是； （）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （） ， ∵为“完全数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【题型9】乘法公式最值问题(培优) 1.核心知识点总结 核心是“完全平方的非负性”：，当且仅当时，等号成立。 应用：将代数式配方为“完全平方+常数”，求最大值或最小值。 2.高频考点梳理 代数式最值：如求的最小值(配方为，最小值1)。 实际问题最值：如用10m绳子围长方形，求最大面积(2025广东肇庆期末)。 结合参数的最值：如已知，求的最值(2025福建漳州期中)。 3.易错点警示 配方时常数项计算错误(如误配方为，遗漏)。 混淆最大值与最小值(完全平方非负，“完全平方+常数”求最小值，“-完全平方+常数”求最大值)。 实际问题中忽略变量取值范围(如长方形边长为正，，)。 4.解题技巧拆解 配方步骤：①提取二次项系数(若不为1)；②常数项移到右边；③配方(两边加一次项系数一半的平方)；④化为完全平方形式。 口诀：“一提二移三配方四变形”。 实际应用：先建立代数式模型(如面积)，再配方求最值，结合变量范围验证。 【例题9】．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）阅读例题，解答下列问题 例：试说明对于任何实数x，均有 解： (1)试说明对于任何实数x，均有：； (2)利用例题中的代数式配方法，试判断代数式的最值情况，当 时，函数存在 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． (3)不论x为何实数，多项式的值总大于的值．（提示：可将这两个代数式作差） 【答案】(1)见解析 (2)，最大值，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干进行配方，进而判断即可； （3）将这两个代数式作差，根据差的正负即可判断大小． 【详解】（1）证明： ∴ （2）解：当 时，函数存在最大值，理由如下： ∴ 即当 时，函数存在最大值 故答案为：，最大值 （3）证明： 即不论x为何实数，多项式的值总大于的值 【变式题9-1】．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)已知，求的值． (2)求多项式的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方式： （1）将式子化成两个完全平方式，利用平方数的非负性求解出，代入即可； （2）将式子化成两个完全平方式，利用平方数的非负性求出最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：， ． （2）解：， ， ， ， ， 多项式的最大值为． 【变式题9-2】．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了乘法公式的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：当时，的值最小，最小值是， 此时． 故答案为：，； （2）解： 因为， 所以当时，的最大值是0． 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 【变式题9-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【答案】(1)，，2，， (2)1，小，2 (3)有最小值，是2 (4)有最小值，是3，此时 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解决此题的关键是正确的计算； （1）把x的值代入得到答案即可； （2）根据表格数据观察可知当时，式子取得最大值； （3）根据完全平方公式配方即可； （4）把当作一个整体，再运用完全平方公式配方即可； 【详解】（1）解：填表如下： x … 1 2 3 … … 2 … （2）解：当时，有最小值，是2； 故答案为：1    小    2 （3）解∶． ， ∴当时，有最小值，是2． （4）解： ． ， 有最小值，是3，此时，即， 有最小值，是3，此时． 【题型10】乘法公式综合推理与证明(培优) 1.核心知识点总结 核心是乘法公式的灵活变形与逆向应用，结合代数推理、一题多解。 常见题型：证明代数式的值与某变量无关、推理等式恒成立、一题多解验证公式。 2.高频考点梳理 无关性证明：如证明的值与无关。 恒等式证明：如证明。 一题多解：用不同公式变形解决同一问题(如用平方差或完全平方两种方法化简)。 3.易错点警示 推理步骤遗漏(如证明无关性时未合并同类项至消去)。 逆向应用公式错误(如误算为，未验证平方差逆向)。 多解时方法混淆(如同时用两种公式导致符号错误)。 4.解题技巧拆解 无关性证明：化简代数式，若结果不含该变量，则与该变量无关(重点合并同类项，消去目标变量)。 恒等式证明：左边化简→右边，或左右两边同时化简为同一形式。 一题多解：先尝试直接展开，再尝试整体变形(如用)，对比两种方法的优劣。 【例题10】．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即），求证：代数式的值是一个定值，并求出这个定值． 【答案】证明见详解，定值为3 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，先将原式分子分母同时乘以2，再将分子配方成三个完全平方式，然后代入数据计算即可. 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵a、b、c是三个连续整数按从小到大的顺序依次排列（即）， ∴设，则, 所以原式＝＝＝3， 故代数式是一个定值，定值为3. 【变式题10-1】．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）求证：两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （2）两个连续偶数的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用； （1）根据题意先列出算式，再根据完全平方公式进行计算，进行分析判断即可． （2）设两个连续偶数分别为与（为整数），再列出算式，根据完全平方公式进行计算，进行分析判断即可． 【详解】解：（1）， ． 为整数， ∴两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍． （2）两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，理由如下： 设两个连续偶数分别为与（为整数）， ∴， ． 为整数，是分数， ∴两个连续偶数分别为与（为整数）的平方差不是8的整数倍． 【变式题10-2】．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知是任意实数． (1)求证：； (2)当满足时，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)的最小值118． 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）由（1）可得：，，，然后相加求解即可． 【详解】（1）证明：， ，当且仅当时取等号； （2）解：由（1）可得：，，， ， ，当且仅当时取等号． 的最小值118． 【变式题10-3】．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等腰三角形 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据配方法变形即可； （2）先将代数式配方，根据非负性即可得证； （3）先将配方，进一步可得，，即可判定的形状． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴无论、取任何实数，代数式的值恒为正数； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∴，， 解得：， ∴是等腰三角形． 【题型11】乘法公式实际应用拓展(培优) 1.核心知识点总结 核心是将实际问题转化为乘法公式模型，如利润计算、图形面积优化、行程问题等。 关键：提取实际问题中的等量关系，建立含、、的代数式。 2.高频考点梳理 利润最值：某商品进价40元，售价元，销量，求每日最大利润(2025河南南阳期末)。 图形优化：正方形空地改造，求面积变化；梯形、矩形组合图形的面积计算(2024山东淄博期末)。 行程问题：两人运动的路程差、速度平方差，用平方差公式计算。 3.易错点警示 实际问题建模错误(如利润公式误写为“售价-进价×销量”)。 忽略实际变量的取值范围(如售价需大于进价，销量为正)。 计算时单位不统一(如长度单位米、面积单位平方米混淆)。 4.解题技巧拆解 建模步骤：①明确实际问题中的变量(如售价、边长)；②建立等量关系(如利润)；③转化为乘法公式形式(如配方求最值)；④结合实际范围验证结果。 优化技巧：实际问题中最值多通过完全平方配方求解，注意变量的正整数限制(如商品售价为整数)。 验证：将结果代入实际问题，检查是否符合题意(如最大利润对应的销量是否为正)。 【例题11】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值， 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了非负数的性质，配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的应用． （）仿照题例进行配方可得最值； （）作差并配方，可进行大小比较； （）由点和点，则，通过配方得有最小值，然后通过三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由 ∵， ∴， ∴代数式有最小值， 故答案为：； （2）解：由 ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点和点， ∴ ， ∵， ∴， ∴有最小值， ∵， ∴线段最长为， ∴点的坐标为． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析．若满足，求的值； 解：设，则 请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上从左到右依次有点、、三点，它们表示的数分别是、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点．若正方形与正方形面积的和为90，求长方形的面积． 【答案】(1)39 (2)52 (3)43 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据完全平方公式可得可求得此题结果； （2）设，，则，，再利用完全平方公式求解即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，可得，设，，则，，利用可求出答案． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）解：设，，则，， ∴ ； （3）解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，，则，， 所以长方形的面积为： ， 答：长方形的面积为43． 【变式题11-2】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀剪成两个边长分别为x（分米）和y（分米）的正方形和两个长方形，用所得的两个的正方形制作成如图2所示的新年挂图． (1)用含x、y的代数式表示正方形纸片的周长； (2)用含x、y的代数式表示李明剪掉部分（阴影部分）的面积； (3)当时，求李明剪掉部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 平方分米 【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握列代数式、代数式求值是解决本题的关键． （1）根据题中图形列出代数式即可． （2）根据阴影部分面积大正方形面积减去两个小正方形的面积，列出代数式即可． （3）将未知数的值代入（2）中求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的边长， ∴这个正方形纸片的周长为． （2）解：阴影部分的面积． （3）解：当时，则（平方分米）． ∴剪掉的阴影部分的面积为8平方分米． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）数形结合是一种重要的数学思想．用两种不同的方法表示同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：图1可以得到．基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ______ ______ ______； (2)利用（1）中得到的结论，解决问题： 若，，则______； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长和宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则______； (4)图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个几何体的体积，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1) (2)90 (3)12 (4) 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到x，y，z的值； （4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90； （3）解：由题意得：， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）解：∵原几何体的体积 ， 新几何体的体积， ∴． 故答案为：． 【题型12】乘法公式拓展与高阶应用(培优) 1.核心知识点总结 核心是乘法公式的延伸，如杨辉三角与完全平方展开式、的因式分解、高阶次方计算。 关键：归纳低次项规律，推广到高阶应用。 2.高频考点梳理 杨辉三角应用：根据杨辉三角求的展开式系数(如的系数为1,4,6,4,1)。 高阶次方计算：如(用)、(用杨辉三角)。 分解：如。 3.易错点警示 杨辉三角系数记忆错误(如系数误记为1,2,1)。 高阶展开时漏项或系数错误(如漏写中间项)。 因式分解时未识别的结构(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 杨辉三角规律：第行(从0开始)有项，系数和为，中间项系数最大。 高阶计算技巧：将底数化为“整数±小数/分数”（如），套用完全平方或立方公式。 【例题12】．（23-24七年级下·河南郑州·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单、特殊的情形入手，再到复杂、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】若n为大于1的正整数，则= ；（请在答题卡相应位置填写答案） 【应用】（1）计算； （2）计算．（n为正偶数） 【答案】[归纳]；[应用]（1）；（2） 【分析】本题考查了数字类规律探究； [归纳]观察等式找到规律，根据规律即可求解； [应用] （1）根据[归纳]的结论，令，，代入，即可求解； （2）仿造（1），令，代入，即可求解． 【详解】 [归纳] 若n为大于1的正整数，则=， 故答案为：； [应用] （1）解：令，，， 则 ∴ （2）令， 则 ． 【变式题12-1】．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 【变式题12-2】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________； (2)利用展开式规律计算：________； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，……，记，，，，，则________；_________（用n表示）；________． 【答案】(1)6，32 (2) (3)36，， 【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中，，由展开式得，从而即可得解； （）总结规律得，，从而代入求解即可； （）总结规律得，再由，，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 故答案为：，， （2）解：依题意，多项式展开式共有项，各项系数和为； 令中，，由展开式得 故答案为：； （3）解：， ， ， … ∴； ∴， 故答案为：，，； 【变式题12-3】．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则_______（用图中字母表示） ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：____________（用图中字母表示） 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算 拓展创新 （3）①若正数x、y、z和正数m、n、p，满足，请通过构造图形比较与的大小（画出图形，并说明理由）． 迁移应用 ②已知x、y、z满足，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）． 【答案】（1）①；②；（2）画图见解析，；（3）①，图形和理由见详解； ② 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式与几何图形面积等知识，用代数式表示式等，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合的思想是解本题的关键． （1）①用两种方法表示出大长方形的面积求解即可； ②用两种方法表示出大正方形的面积求解即可； （2）直接作图即可得出成立； （3）①画出图形可得结论； ②先将两边同时平方得：，继续平方后化简可得结论． 【详解】解：（1）①大长方形的面积可以表示为， 大长方形的面积还可以表示为， ∴， 故答案为：； ②大正方形的面积可以表示为， 大长方形的面积还可以表示为， ∴， 故答案为：； （2）已知大正方形的边长为，    利用上图的面积关系可得：． （3）①如下图，由图形得：； ∵ ∴大正方形的面积为：， ∴ ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式的应用，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A：，故A错误； ∵ 选项B： ，故B错误； ∵ 选项C：，故C正确； ∵ 选项D：，故D错误． ∴ 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，，当，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，完全平方公式．利用，，的关系，得，将转化为关于c的方程，进行求解，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 展开得：， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，易错点是符号的变化规律，以及偶次方和奇次方的性质．通过计算每个等式的左右两边，发现选项A、B、D在时均不成立，而选项C恒成立． 【详解】解：A、，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若是完全平方式，则k的值是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，将给定的代数式与完全平方公式的形式对比，求出的值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 设， ∴ ，解得， ∴ ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添括号，完全平方公式，掌握去括号与添括号法则以及完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据添括号法则以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值．将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 【答案】20 【分析】此题考查了完全平方公式，通过展开完全平方公式，比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：左边展开得：， 与右边 比较系数，得： ， 解得，代入得， 因此． 故答案为：20． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的非负性、整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形及整式化简方法是解题的关键． 先利用完全平方公式的非负性确定的取值范围，进而求出的最小值；再对进行化简，结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：①∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，即， 解得， ∵ ，即， ∴ ，即，解得， ∴ 的取值范围为，故的最小值为， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 当时，； 当时，， ∴ 的取值范围为， 故答案为：，． 9．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 10．（25-26八年级上·北京西城·期中）以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．根据灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为，即可求解． 【详解】解：灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·北京西城·期中）利用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将原式变形后先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 【答案】 3.16 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据积的乘方逆用将原式变形为． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列算式：①    ②    ③ (1)请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； (2)请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可得出第④个算式； （2）观察题干的过程，以及（1）中的第④个算式为：，则第个算式为：，然后把等式的左边的式子展开合并同类项，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第④个算式为：； （2）解：观察题干的过程以及（1）中的第④个算式为：； 以此类推，得第个算式为：； 证明： ． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2) (3)，画图见解析 (4)2号卡片的边长为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ， 所以， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3乘法公式 【题型1】平方差公式直接计算 1.核心知识点总结 平方差公式：，关键是两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。 公式中、可表示具体数、单项式或多项式，需关注系数、指数的变化。 2.高频考点梳理 基础应用：直接代入公式计算（含符号、系数、指数变化，如）。 变形应用：位置变形（）、符号变形（）、项数变形（）。 3.易错点警示 混淆“相同项”和“互为相反数的项”，导致平方后符号错误。 忽略单项式或多项式作为、时的整体平方（如中，需整体平方）。 4.解题技巧拆解 第一步：判断式子是否符合“一项相同、一项相反”的结构，不符合则变形。 第二步：明确公式中的（相同项）和（相反项）。 第三步：代入公式计算，注意符号和指数运算规则。 【例题1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【变式题1-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）填空：（ ）． 【题型2】完全平方公式直接计算 1.核心知识点总结 完全平方公式:，。 关键特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式，中间项为(符号与左边一致)。 2.高频考点梳理 基础应用：直接计算(含符号变形，如、)。 特殊形式：单项式与常数项的平方(如)、多项式整体平方(如，需先分组)。 3.易错点警示 漏乘中间项(如误算为)。 符号错误：中间项为负，等同于，中间项为正。 多项式平方时未分组直接展开(如未写成)。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中央符号看左边”。 多项式平方：先分组为“两部分”，再套用公式(如)。 计算后验证：中间项系数是否为首项尾项。 【例题2】．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式中，是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则 ． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3】添括号变形为乘法公式 1.核心知识点总结 添括号法则：括号前是“”，括入各项符号不变；括号前是“”，括入各项符号改变。 核心作用：将多项式变形为乘法公式的结构(如)。 2.高频考点梳理 基础应用：根据公式需求添括号(如变形为)。 综合应用：结合平方差、完全平方公式添括号后计算。 3.易错点警示 括号前是“”时，漏变部分项的符号(如误添为，正确为)。 添括号后破坏乘法公式结构，未用去括号验证。 4.解题技巧拆解 明确目标：根据乘法公式需求，确定需分组的项(如凑“相同项”或“相反项”)。 验证方法：添括号后用去括号法则反向验证，确保符号正确。 优先处理负号：括号前为“”时，逐次改变括入项的符号。 【例题3】．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）计算： 【变式题3-1】．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）计算： 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式题3-3】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【题型4】乘法公式混合化简与求值 1.核心知识点总结 核心是平方差、完全平方公式的混合运算，遵循“先化简，再求值”的原则。 关键步骤：公式展开→去括号→合并同类项→代入求值。 2.高频考点梳理 基础求值：已知字母具体值，化简后代入(如，，)。 条件求值：已知代数式的值(如，)，整体代入化简式。 3.易错点警示 去括号时符号错误(如误算为)。 合并同类项时漏项或系数计算错误。 代入负数时未加括号(如，误算为)。 4.解题技巧拆解 分步化简：先分别展开每个公式，再统一去括号，避免混乱。 整体代换：化简结果若含、等形式，直接代入已知条件，无需单独求、。 代入验证：求值后反向代入原式，检查结果是否一致。 【例题4】．（25-26八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·北京·期中）代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【题型5】平方差公式简便运算(提升) 1.核心知识点总结 核心是“凑平方差结构”，将非标准形式转化为，实现简便计算。 常用技巧：补乘“差值为1的式子”(如、)，连用平方差公式约分。 2.高频考点梳理 接近整数的数计算(如、)。 连用平方差公式(如)。 代数式化简(如)。 3.易错点警示 凑形时符号错误(如误凑为，正确为)。 连用公式时漏写最后一步约分(如误算为)。 4.解题技巧拆解 凑形方法：对于，若、接近同一数，则化为(如)。 补乘技巧：对于，补乘，再除以，连用公式后约分。 结果验证：复杂计算后用常规方法验算，确保结果正确。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）利用乘法公式计算（    ） A．1 B． C． D． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【变式题5-2】．（15-16七年级下·江苏·期末）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式题5-3】．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）利用乘法公式能进行简便计算． (1) (2) 【题型6】完全平方公式变形求值(提升) 1.核心知识点总结 公式核心变形：；。 核心思想：整体代换，已知“、、、”中任意两个，可求另外两个。 2.高频考点梳理 基础变形：知和，求；知和，求。 复杂变形：含三项的完全平方(如)。 真题改编：已知，求(设变形)。 3.易错点警示 变形公式符号混淆(如，错误)。 三项完全平方漏加部分交叉项(如漏加)。 整体代换时计算错误(如，，误算)。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“和方减积二倍，差方加积二倍”。 换元法：对于含相同整体的式子，设简化计算(如上述)。 验证技巧：求出结果后，反向代入变形公式，检查是否符合已知条件。 【例题6】．（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值为 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，，求①和②的值； 【变式题6-2】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【变式题6-3】．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【题型7】乘法公式与几何图形结合(提升) 1.核心知识点总结 核心是“等面积法”，通过不同方式表示同一图形的面积，验证或应用乘法公式。 常见图形：正方形分割、长方形拼接、正方形与小正方形组合。 2.高频考点梳理 公式验证：用面积表示推导平方差、完全平方公式(如边长为的正方形挖去边长为的小正方形，拼接为长方形)。 求边长/面积：已知图形面积关系，用公式求边长、面积(如长方形周长定值，求最大面积)。 真题题型：2024江苏扬州期中——通过图形阴影面积列等式，求代数式的值。 3.易错点警示 图形分割/拼接错误，导致面积表示错误(如将正方形误分割为非矩形图形)。 混淆图形边长与公式中、的对应关系。 忽略图形隐含条件(如正方形边长为正，长方形长>宽)。 4.解题技巧拆解 两步法：第一步用整体法表示图形面积(如大正方形面积)；第二步用分割法表示(如)。 对应关系：明确图形边长与公式中、的对应(如长方形长，宽，面积对应平方差)。 实际应用：周长定值时，用完全平方非负性求最大面积()。 【例题7】．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值． （2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·北京·期中）学习整式乘法时，小明制作了三种型号的卡片若干张进行探究学习，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．小明进行了一系列探究，请你和小明一起解决下面的问题． (1)选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________，通过不同方式表示大正方形的面积，可以得到等式________________________； (2)选取1张A型卡片和1张B型卡片按照图3的方式叠合摆放，用剪刀沿B型卡片的边缘剪开，再沿虚线剪开，得到了两个全等的直角梯形，如图3所示，再将它们重新拼成了一个长方形，通过图3中的图形面积关系可以得到等式________________________； (3)请你选取适当数量的三种型号卡片拼出一个面积为的长方形，在下面的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标出长方形的长与宽． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________    方法2：________________________ (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系：________________． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 问题提出 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：_____（用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式：_____（用图中字母表示）． 问题拓展 （2）如图3，一个边长为的大正方形被分割成3个正方形以及6个长方形．若，，求的值． 延伸应用 （3）已知正数，，和正数，，，满足，当时，构造适当几何图形，直观比较与的大小关系，再从代数角度证明该关系． 【题型8】新定义问题与乘法公式结合(培优) 1.核心知识点总结 核心是理解新定义规则，将其转化为乘法公式的应用(如“创新数”“对消多项式”“智慧优数”)。 关键：提取新定义中的代数特征，与平方差、完全平方公式匹配。 2.高频考点梳理 新定义判断：如“创新数”——能表示为两个正整数平方差的数，判断某数是否为创新数。 新定义计算：如“对消多项式”——两个多项式和为常数，求参数值(2024辽宁辽阳阶段练习)。 新定义探究：如“智慧优数”——且，求第个智慧优数(2025陕西西安开学考试)。 3.易错点警示 误解新定义条件(如“智慧优数”中忽略的限制)。 无法将新定义转化为乘法公式结构(如“对消多项式”未意识到需二次项系数互为相反数)。 探究规律时遗漏特殊情况(如创新数中奇数、偶数的规律)。 4.解题技巧拆解 三步法：①精读定义，提取核心条件(如“平方差”“和为常数”)；②转化为代数表达式(如“创新数”→)；③结合乘法公式求解。 规律总结：对于探究类新定义，先列举前几个例子，归纳规律(如智慧优数从小到大排列，先列出1,3,4,5,7,8…再找第27个)。 验证：结果需符合新定义的所有条件，避免遗漏限制。 【例题8】．（25-26七年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·福建·阶段练习）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”． 理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你判断是否为“完全数”__________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为____________； 探究问题： （3）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． （4）已知实数，满足，求的最小值． 【题型9】乘法公式最值问题(培优) 1.核心知识点总结 核心是“完全平方的非负性”：，当且仅当时，等号成立。 应用：将代数式配方为“完全平方+常数”，求最大值或最小值。 2.高频考点梳理 代数式最值：如求的最小值(配方为，最小值1)。 实际问题最值：如用10m绳子围长方形，求最大面积(2025广东肇庆期末)。 结合参数的最值：如已知，求的最值(2025福建漳州期中)。 3.易错点警示 配方时常数项计算错误(如误配方为，遗漏)。 混淆最大值与最小值(完全平方非负，“完全平方+常数”求最小值，“-完全平方+常数”求最大值)。 实际问题中忽略变量取值范围(如长方形边长为正，，)。 4.解题技巧拆解 配方步骤：①提取二次项系数(若不为1)；②常数项移到右边；③配方(两边加一次项系数一半的平方)；④化为完全平方形式。 口诀：“一提二移三配方四变形”。 实际应用：先建立代数式模型(如面积)，再配方求最值，结合变量范围验证。 【例题9】．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）阅读例题，解答下列问题 例：试说明对于任何实数x，均有 解： (1)试说明对于任何实数x，均有：； (2)利用例题中的代数式配方法，试判断代数式的最值情况，当 时，函数存在 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． (3)不论x为何实数，多项式的值总大于的值．（提示：可将这两个代数式作差） 【变式题9-1】．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)已知，求的值． (2)求多项式的最大值 【变式题9-2】．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)求多项式的最大值． 【变式题9-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【题型10】乘法公式综合推理与证明(培优) 1.核心知识点总结 核心是乘法公式的灵活变形与逆向应用，结合代数推理、一题多解。 常见题型：证明代数式的值与某变量无关、推理等式恒成立、一题多解验证公式。 2.高频考点梳理 无关性证明：如证明的值与无关。 恒等式证明：如证明。 一题多解：用不同公式变形解决同一问题(如用平方差或完全平方两种方法化简)。 3.易错点警示 推理步骤遗漏(如证明无关性时未合并同类项至消去)。 逆向应用公式错误(如误算为，未验证平方差逆向)。 多解时方法混淆(如同时用两种公式导致符号错误)。 4.解题技巧拆解 无关性证明：化简代数式，若结果不含该变量，则与该变量无关(重点合并同类项，消去目标变量)。 恒等式证明：左边化简→右边，或左右两边同时化简为同一形式。 一题多解：先尝试直接展开，再尝试整体变形(如用)，对比两种方法的优劣。 【例题10】．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即），求证：代数式的值是一个定值，并求出这个定值． 【变式题10-1】．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）求证：两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （2）两个连续偶数的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由． 【变式题10-2】．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知是任意实数． (1)求证：； (2)当满足时，求的最小值． 【变式题10-3】．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【题型11】乘法公式实际应用拓展(培优) 1.核心知识点总结 核心是将实际问题转化为乘法公式模型，如利润计算、图形面积优化、行程问题等。 关键：提取实际问题中的等量关系，建立含、、的代数式。 2.高频考点梳理 利润最值：某商品进价40元，售价元，销量，求每日最大利润(2025河南南阳期末)。 图形优化：正方形空地改造，求面积变化；梯形、矩形组合图形的面积计算(2024山东淄博期末)。 行程问题：两人运动的路程差、速度平方差，用平方差公式计算。 3.易错点警示 实际问题建模错误(如利润公式误写为“售价-进价×销量”)。 忽略实际变量的取值范围(如售价需大于进价，销量为正)。 计算时单位不统一(如长度单位米、面积单位平方米混淆)。 4.解题技巧拆解 建模步骤：①明确实际问题中的变量(如售价、边长)；②建立等量关系(如利润)；③转化为乘法公式形式(如配方求最值)；④结合实际范围验证结果。 优化技巧：实际问题中最值多通过完全平方配方求解，注意变量的正整数限制(如商品售价为整数)。 验证：将结果代入实际问题，检查是否符合题意(如最大利润对应的销量是否为正)。 【例题11】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值， 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析．若满足，求的值； 解：设，则 请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上从左到右依次有点、、三点，它们表示的数分别是、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点．若正方形与正方形面积的和为90，求长方形的面积． 【变式题11-2】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀剪成两个边长分别为x（分米）和y（分米）的正方形和两个长方形，用所得的两个的正方形制作成如图2所示的新年挂图． (1)用含x、y的代数式表示正方形纸片的周长； (2)用含x、y的代数式表示李明剪掉部分（阴影部分）的面积； (3)当时，求李明剪掉部分（阴影部分）的面积． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）数形结合是一种重要的数学思想．用两种不同的方法表示同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：图1可以得到．基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ______ ______ ______； (2)利用（1）中得到的结论，解决问题： 若，，则______； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长和宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则______； (4)图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个几何体的体积，写出一个代数恒等式：______． 【题型12】乘法公式拓展与高阶应用(培优) 1.核心知识点总结 核心是乘法公式的延伸，如杨辉三角与完全平方展开式、的因式分解、高阶次方计算。 关键：归纳低次项规律，推广到高阶应用。 2.高频考点梳理 杨辉三角应用：根据杨辉三角求的展开式系数(如的系数为1,4,6,4,1)。 高阶次方计算：如(用)、(用杨辉三角)。 分解：如。 3.易错点警示 杨辉三角系数记忆错误(如系数误记为1,2,1)。 高阶展开时漏项或系数错误(如漏写中间项)。 因式分解时未识别的结构(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 杨辉三角规律：第行(从0开始)有项，系数和为，中间项系数最大。 高阶计算技巧：将底数化为“整数±小数/分数”（如），套用完全平方或立方公式。 【例题12】．（23-24七年级下·河南郑州·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单、特殊的情形入手，再到复杂、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】若n为大于1的正整数，则= ；（请在答题卡相应位置填写答案） 【应用】（1）计算； （2）计算．（n为正偶数） 【变式题12-1】．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【变式题12-2】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________； (2)利用展开式规律计算：________； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，……，记，，，，，则________；_________（用n表示）；________． 【变式题12-3】．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则_______（用图中字母表示） ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：____________（用图中字母表示） 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算 拓展创新 （3）①若正数x、y、z和正数m、n、p，满足，请通过构造图形比较与的大小（画出图形，并说明理由）． 迁移应用 ②已知x、y、z满足，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，，当，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若是完全平方式，则k的值是（   ） A．8 B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 9．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 10．（25-26八年级上·北京西城·期中）以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·北京西城·期中）利用乘法公式计算： (1) (2) 12．（25-26七年级上·上海·期中）运用乘法公式计算：． 13．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列算式：①    ②    ③ (1)请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； (2)请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $