精品解析：广西壮族自治区 南宁市天桃实验学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期九年级期中质量检测 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 3. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统．截至2025年2月，的全球日活跃用户总量达到亿．将数据120000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向下平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是菱形，，，，垂足为，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 11. 施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：=______． 14. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 15. 如图，已知四边形是正方形，直线经过点，分别过点和点作和，垂足分别为和，若，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解一元二次方程：． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标 ； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求半径． 21. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素 材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线型建 造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1：确定桥拱形状 在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 问题解决 任务2：探究悬挂范围 在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 问题解决 任务3：拟定设计方案 符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的方案． 23. 综合与探究 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． 【观察猜想】（1）图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，， ①证明： ②判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级期中质量检测 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故B是轴对称图形； 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 3. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（为常数且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知，四个函数中，只有是反比例函数， 故选：C． 4. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统．截至2025年2月，的全球日活跃用户总量达到亿．将数据120000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 5. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 7. 如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，根据南北方向线是平行的得出，再和相加即可得出答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 将抛物线向下平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位所得直线解析式为：； 故选：B． 9. 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 10. 如图，四边形是菱形，，，，垂足为，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理即可求出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11. 施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米．根据提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 12. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4，可知，过点O作，求出，进而得出等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴， 则， ， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：D． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 14. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 15. 如图，已知四边形是正方形，直线经过点，分别过点和点作和，垂足分别为和，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决这类问题线段的等量转化要借助全等三角形实现， 证明，得到，阴影部分为面积可求． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积， 故答案为：2． 16. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点B的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标 ； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 解：即为所求作； （2）解：即为所求作； ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，根据图写出坐标，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 【答案】（1）40 （2）360人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数； （2）先求出C档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用甲，乙，丙，丁表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：C档人数是：（人）， （人）， 答：全校C档的人数为360人； 【小问3详解】 解：用甲表示七年级学生，用乙表示八年级学生，用丙和丁分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到2名学生都来自九年级的2种， 所以抽到2名学生都来自九年级的概率为：． 20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键． （1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径为3． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 21. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 【答案】（1）一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨 （2）该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键， （1）设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行”列不等式再结合m为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨． 【小问2详解】 解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥， ∴， 解得：， 因为m为整数，所以最大整数解， 答：该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素 材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线型建 造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1：确定桥拱形状 在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 问题解决 任务2：探究悬挂范围 在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 问题解决 任务3：拟定设计方案 符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的方案． 【答案】任务1：； 任务2：纵坐标的最小值是，横坐标的取值范围是：； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼； 方案二：如图，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂6盏灯笼． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，分别求解即可． 【详解】解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 任务2： ∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离最高水位不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 任务3：略 23. 综合与探究 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． 【观察猜想】（1）图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，， ①证明： ②判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）； （2）①由旋转知，， ∵， ∴， ②是等腰直角三角形，理由如下： ∴， 同（1）由三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用； （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，再利用平行得出，，最后用互余即可得出结论； （2）①先利用判断出；②得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，即可得出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： ∵点P，N是的中点， ∴， ∵点P，M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形， ∴最大时，的面积最大， ∴且在顶点A上面， ∴， 连接， 在中，， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $