精品解析：上海师范大学附属虹口中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

上海师范大学附属虹口中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1 已知集合，，则__________. 2. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 3. 已知向量和满足，则__________. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的侧面积为__________.（结果保留） 5. 若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___ 6. 已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 7. 函数在上的极大值点为__________. 8. 设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则______． 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 12. 在空间中，点为定点，设集合，若在上的数量投影为，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 15. 如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数 . （1）若函数的最小正周期为，求在的值域； （2）若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 19. 21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 （1）若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ （2）车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ （3）参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 21. 已知，. （1）若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； （2）若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； （3）记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属虹口中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 故. 故答案为：. 2. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】先判断是等差数列，然后根据等比中项的知识列方程求得. 【详解】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 3. 已知向量和满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量模长公式计算. 【详解】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的侧面积为__________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式可求得结果. 【详解】因为圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 5. 若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___ 【答案】 【解析】 【分析】先由题意，得到，化简整理，再由复数相等，得到，根据复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根， 所以，整理得：， 因此，解得. 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型. 6. 已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，结合已知即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以项的系数为， 又，所以. 故答案为：. 7. 函数在上的极大值点为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 8. 设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，可证得，，即可得到，进而根据向量的加减运算以及数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】设分别为的中点，连接，    在正三角形中，，且， 在正方形中，， 则为二面角的平面角，即， 故 . 故答案为：. 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 12. 在空间中，点为定点，设集合，若在上的数量投影为，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，求得，得到，得出是以为球心，半径为的球体内部及表面，根据题意得到，设是轴上的单位向量，点的坐标为，求得，得到线段在运动中所形成的几何体为圆锥，结合圆锥的体积公式， 【详解】由， 又因为且，可得， 即，即，所以是以为球心，半径为的球体内部及表面， 又在上的数量投影为，即， 设是轴上的单位向量（与轴正方向同向），点的坐标为， 即，，所以，即， 又，即， 将代入可得，解得， 所以点轨迹为半径为，位于平面上的圆及内部， 所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥，其中底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为，即线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为； 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C 14. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 15. 如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】 设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则，，，，， ，不是定值，故A错； ，不是定值，故B错； ，所以直线与直线所成角为，故C正确； ，不是定值，故D错. 故选：C. 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再取一个单调递增函数，按给定的条件使方程有正整数解的函数个数即可判断. 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 18. 已知函数 . （1）若函数的最小正周期为，求在的值域； （2）若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值，即可得到解析式，再由诱导公式及两角差的正弦公式化简，由的范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）首先求出解析式，由求出，根据数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； 【小问2详解】 当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 19. 21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 （1）若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ （2）车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ （3）参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 【答案】（1），，事件和事件独立 （2）元 （3）个 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式和事件的独立性定义即可得出. （2）分别求出外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同的概率，即可判断； （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且），根据古典概型的概率公式得到，即可得到不等式，解得的取值范围，即可求出的最小值. 【小问1详解】 若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立． 【小问2详解】 依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金. 【小问3详解】 设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 21. 已知，. （1）若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； （2）若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； （3）记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【答案】（1） （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数在区间上的单调性可得，验证即可； （2）令得或，分类讨论与区间的位置关系，由函数的单调性求出对应的最大值即可； （3）由题意，根据函数的单调性求出函数的极值，令，作出函数的图象，结合图象即可证明. 【小问1详解】 由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数， 所以，即，解得. 当时，，， 显然时，，时，， 则在区间上严格减，在区间上严格增， 所以满足要求. 【小问2详解】 因为，， 令，得或， 当即时，，是上的严格增函数， 所以，不满足要求； 当即时，，是上的严格减函数， 所以，满足要求； 当即时，若时，，若时，， 所以在区间上严格减，在区间上的严格增， 又， 则当时，，，解得， 当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 综上，的取值范围. 【小问3详解】 由，得或，列表如下： 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以，. 令，因为，所以， 由函数的示意图（如图所示）， 可得有三个不相等的实数解，，，其中，，， 根据函数的单调性，且， 则，，即和均有且只有一个实数解， 设为和，则； 又， 而，是上的严格增函数， 所以， 所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然， 综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根， 所以函数有且仅有三个零点. 【点睛】方法点睛：解决有关函数有零点(方程有根)问题常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $