精品解析：云南省镇雄县赤水源中学2025-2026学年高一上学期期中数学考试卷

赤水源高级中学2025年秋期高一年级数学期中考试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 8. 若，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 2 D. 二、多选题 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，有 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 三、单空题 12. 求值：__________. 13. 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤水源高级中学2025年秋期高一年级数学期中考试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 5. 若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 6. 已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 7. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 8. 若，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，代入整理得，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，有 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，先根据抽象函数定义域的求法可得的定义域，再求的定义域即可；选项B，分离常数可得，结合函数图象的中心对称性与函数图象的平移法则，即可得解；选项C，采用换元法求函数的解析式即可，注意函数的定义域；选项D，根据幂函数图象的凹凸性，即可作出判断． 【解答】选项A，因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 所以函数的定义域是，即选项A正确； 选项B，， 因为的图象关于点对称，而的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位， 所以的图象关于点对称，即选项B正确； 选项C，令，则， 所以，其中， 所以，即选项C正确； 选项D，因为是上凸函数， 所以对任意，有，即选项D错误． 故选：ABC. 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解的取值范围；对于B：利用不等式可判断；对于C：变形，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令，且，于是，然后利用基本不等式求解其最小值． 【详解】因为，所以有． 对于A：因为， 所以，可得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：令，所以，且， 于是 ， 当且仅当，即时取等号，故D错误， 故选：AB． 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出判断A；令得到，再替换、判断B；再利用定义法证明函数的单调性判断C；根据已知不等式化为，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代替，，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 三、单空题 12. 求值：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：3 13. 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式为，分，和讨论求解.， 【详解】解：由题意知：不等式可化为， 当时，该不等式无解； 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时要有两个整数解是，， 所以， 所以， 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时由两个整数解0，1， 所以， 所以 所以， 综上的取值范围是 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 则，解得； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，（不同时取等号），解得. 所以实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，，， ，，则，即， 因此，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再解不等式组即得答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， 所以函数的解析式，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，原不等式化为， 由（2）知在上单调递增，则，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3），“偏差”的最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $