专题3.7 直线与抛物线的位置关系（11类必考点）讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.7 直线与抛物线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与抛物线的位置关系】 2 【考点2：根据直线与抛物线的位置关系求参】 6 【考点3：求直线与抛物线相交所得弦的弦长】 8 【考点4：焦点弦问题】 11 【考点5：中点弦问题】 13 【考点6：已知弦长求参数】 16 【考点7：抛物线中的三角形或四边形的面积问题】 19 【考点8：抛物线中的范围与最值问题】 24 【考点9：抛物线中的直线过定点问题】 30 【考点10：抛物线中的定值问题】 35 【考点11：抛物线中的定直线问题】 40 【知识梳理】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 3．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 4．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 5．三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 6．四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 7．求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. 8．涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 9．圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 10．解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【考点1：判断直线与抛物线的位置关系】 1．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意求得抛物线方程，再联立直线与抛物线方程判断交点个数， 【详解】设，由对称性，可知，故，代入中，解得， 故抛物线：， 易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点； 联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点， 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】先把直线与抛物线方程联立消去，进而根据判别式与0的大小关系判断直线与抛物线的位置关系. 【详解】由与联立，消去得：， ∴， ∵， ∴， 所以直线与抛物线无公共点， 故答案为：相离. 【考点2：根据直线与抛物线的位置关系求参】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 【答案】0或或 【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得. 【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此； 当时，由消去y并整理得：， 当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此； 当且时，，则， 此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此， 所以实数a的值为0或或. 故答案为：0或或 2．（25-26高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【详解】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线方程为，与联立，根据判别式得到方程，求出，从而求出点的横坐标，代入直线方程，求出点的纵坐标. 【详解】设过点的直线方程为，与联立得 ， 由，解得， 故，所以，解得， 将代入中得，. 故选：B 4．（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 【考点3：求直线与抛物线相交所得弦的弦长】 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）直线被曲线截得的线段长为 . 【答案】 【分析】联立直线和曲线方程，求出交点坐标，即可得出结果. 【详解】设交点为，联立方程可得， 解得，所以 故答案为： 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 【答案】/ 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 3．（24-25高二上·河北承德·期末）已知直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y交于A，B两点，则|AB|＝ ． 【答案】20 【分析】把直线代入抛物线，利用韦达定理可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4，再利用弦长公式即可求出|AB|的长。 【详解】直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y联立，可得x2+8x﹣4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4， 则|AB|••20． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的弦长公式，解决此类问题主要是把直线代入抛物线利用韦达定理。属于中等题。 4．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则 【答案】 【分析】设直线的方程为，，联立抛物线应用韦达定理求出中点坐标，进而得，最后由弦长公式求弦长. 【详解】设直线的方程为，， 由，易知的中点， 由在直线上，可得，则，故， 由弦长公式可求出. 故答案为： 5．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另解：． 【考点4：焦点弦问题】 1．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 2．（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 3．（2025·广西·模拟预测）已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 4．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得. 【详解】由可知，设，、， 联立，则有， 故，即， 又，， 由，则，即有， 则， 即，则或， 又，故，则，则. 故选：A. 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（    ） A．4 B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】由直线的方向向量得出直线方程，代入抛物线方程得出，根据抛物线焦半径公式即可求解． 【详解】由题得，所以直线的方程为， 代入，得， 设，则， ， 则， 故选：D． 【考点5：中点弦问题】 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 2．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 则 ，由中点坐标公式可得 两式相减可得， 则直线的斜率 直线的方程为 即 联立方程可得 故选C． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，其中数列应用中点坐标公式，韦达定理，弦长公式是解题的关键． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设， ，两式相减得， 即， 当时，， 因为点是的中点，所以，， 解得： 故选：A 【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型. 4．（2025·浙江嘉兴·一模）过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 5．（24-25高二下·湖北襄阳·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线y=8x2即 x2="1/" 8 y，∴p="1" /16 ． 设A、B、M到准线y="-1/" 32 的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得 AB=AA′+BB′． 再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1/ 32 ）=AA′+BB′=AB， ∴AB="65/" 16 ， 故答案为 65/ 16 ． 【考点6：已知弦长求参数】 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 【答案】1 【分析】设出直线PQ的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，利用线段的中点坐标以及的长列方程，由此求得的值. 【详解】设直线PQ的方程为，，. 由消去得，， 则，. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的焦点弦基于倾斜角的弦长公式即可求解. 【详解】，， 抛物线的方程为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出直线方程，再把其和抛物线联立。利用韦达定理得到，最后利用焦半径公式建立方程，求解参数即可. 【详解】设，，直线斜率为， 因为倾斜角为，所以，则直线方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，由焦半径公式得， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 【答案】 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，借助弦长公式求出，再利用余弦定理求得答案. 【详解】设直线，点， 由消去得， 所以， 所以， 解得，方程，解得， 于是，由余弦定理得. 故答案为： 【点睛】结论点睛：直线l：上两点间的距离； 直线l：上两点间的距离. 5．（2025·陕西汉中·三模）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. （2）易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 【考点7：抛物线中的三角形或四边形的面积问题】 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，确定坐标，得到直线方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. 【详解】 如图，不妨设在轴下方， 因为，且 所以，由抛物线方程可得， 则， 所以直线方程为：， 联立抛物线方程消去得：， 化简得：， 所以， 则， 到直线的距离， 所以的面积为， 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程并与抛物线联立，结合已知条件及根与系数的关系即可求解． 【详解】因为抛物线的焦点为， 故可设直线方程为，，， 与抛物线方程联立可得，所以， 由，可得，据此解得，即， 的面积为． 故选：B． 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程： （2）过点作直线l交C于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由抛物线的几何性质可得,即可解得,进而得到抛物线方程； （2）设直线l为,代入得：则,,由,代入后利用均值定理求得最值即可 【详解】（1）由题意得：, 解得, 故抛物线C的方程为 （2）由（1）可得焦点, 显然直线l的斜率不为0, 故设其方程为,代入得：, 设,则,, ， 当且仅当,即轴时取等号, 所以的面积的最小值为 【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线内三角形面积的最值,考查运算能力 4．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. 【详解】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 5．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【详解】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 【考点8：抛物线中的范围与最值问题】 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】设出对称的两点和弦的中点，求出直线的解析式，直曲联立，利用韦达定理求出中点的纵坐标，进而求出中点的横坐标，利用点在抛物线的开口内即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意， 在抛物线中，存在关于直线对称的相异两点， 设两点为，且弦的中点为． 由几何知识得，，所以． 设与联立， 得，方程的判别式， 所以， 所以 所以． 因为点在直线上， 所以，故． 点在抛物线的开口内，， 所以． 解得． ∴实数的取值范围是． 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）已知，为抛物线上不同的两点. （1）若，求直线的倾斜角； （2）若，且的中点为，求到轴距离的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用斜率公式，和抛物线的方程，利用点差法求得斜率； （2）考虑到直线的斜率可能不存在，但不可能为零，设方程为设的形式，与抛物线的方程联立，利用判别式求得t,m满足的条件，利用弦长公式求得t,m的关系，利用中点公式求得Q到y轴的距离关于t,m的表达式，化为关于t的函数表达式，适当配凑，利用对勾函数的单调性求得最小值. 【详解】（1） ∴直线的倾斜角为； （2）设, 代入抛物线方程，并整理得： , , , , , , Q到y轴的距离 , 当时取等号， 到轴的距离的最小值为. 【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长和距离最值问题，属较难试题，关键是利用弦长公式得到t,m的关系，求得Q到y轴的距离关于m的函数表达式后，要适当配凑，换元(将当成一个整体，利用对勾函数在时的单调递增特性求得最小值，若用基本不等式求最值，这里将取不到等号. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【考点9：抛物线中的直线过定点问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，动直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的倾斜角分别为和，若，证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【答案】证明见解析，直线l过定点． 【分析】由倾斜角的关系可得，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系可 得，据此可求出直线过定点. 【详解】设， 由，得， 即． 设直线，代入，得，即， 所以，所以 故，即， 与对比知，直线l过定点． 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】(1) 设，确定中点，由半径列出化简即可； (2) 设点,,直线的方程为：,联立直线与抛物线的方程,求得韦达定理代入求得或,再分析定点即可. 【详解】（1）设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； （2）设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    4．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 5．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【详解】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 【考点10：抛物线中的定值问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是曲线上的动点，点的坐标为，以为直径作圆，问：是否存在定直线被该圆截得的弦的长为定值？    【答案】存在 【分析】设，得以为直径的圆方程为．设直线与圆的交点为，根据韦达定理可得，计算即可判断，（定值）． 【详解】设，则以为直径的圆方程为． 设直线与圆的交点为， 则是关于的方程的两个实根， 整理得．所以 又 ， 要使为定值，就要让不起作用，即， 从而得到，此时（定值）． 所以存在定直线，被为直径的圆截得的弦长为定值，定值为. 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 3．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案. （2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. （2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值. 5．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得，，设， 由韦达定理得， 故； （3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得：， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵， ∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２． 【考点11：抛物线中的定直线问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 【答案】 【分析】解法一：设，求出过点、的切线方程分别为，．求出交点，．联立过点的直线与抛物线方程，由韦达定理得，故可求得点所在直线. 解法二：由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：，结合已知条件求解即可． 【详解】解法一： 设，则，， 过点、的切线方程分别为，． ，． 由这两方程解得，． 设过点的直线斜率为，则方程为．① 把①式代入抛物线方程，消去，得． 由韦达定理得，，所以． 即点的轨迹在定直线上． 解法二： 由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：． 由题意，知，， 过两切点的弦所在直线方程为：，且此直线过． 把代入方程，得， 即点的轨迹在定直线上． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解. 【详解】证明：法一（常规证法） 由题意，设点，，，． 直线的方程为，直线的方程为． 由得， ∵恒成立，由韦达定理得，， 同理有，， ∴， ∴① 同理可得 ∵，∴，同理∵，∴， ∴， 即② 联立①②得 整理得 化简得，即点在直线上． 法二（参数方程）． 设，，，，（，）， 则， ∴， 同理可得， ∵，且，， ∴ 化简得，同理可得． 由整理得 即，∴点在直线上． 【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 4．（25-26高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 5．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 直线与抛物线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与抛物线的位置关系】 2 【考点2：根据直线与抛物线的位置关系求参】 4 【考点3：求直线与抛物线相交所得弦的弦长】 5 【考点4：焦点弦问题】 5 【考点5：中点弦问题】 6 【考点6：已知弦长求参数】 6 【考点7：抛物线中的三角形或四边形的面积问题】 7 【考点8：抛物线中的范围与最值问题】 9 【考点9：抛物线中的直线过定点问题】 11 【考点10：抛物线中的定值问题】 14 【考点11：抛物线中的定直线问题】 17 【知识梳理】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 3．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 4．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 5．三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 6．四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 7．求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. 8．涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 9．圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 10．解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【考点1：判断直线与抛物线的位置关系】 1．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025高三·全国·专题练习）对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 【考点2：根据直线与抛物线的位置关系求参】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 2．（25-26高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3：求直线与抛物线相交所得弦的弦长】 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）直线被曲线截得的线段长为 . 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 3．（24-25高二上·河北承德·期末）已知直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y交于A，B两点，则|AB|＝ ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则 5．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【考点4：焦点弦问题】 1．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 2．（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 3．（2025·广西·模拟预测）已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（    ） A．4 B． C．6 D．5 【考点5：中点弦问题】 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 2．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为 A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·一模）过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 5．（24-25高二下·湖北襄阳·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为 ． 【考点6：已知弦长求参数】 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 4．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 5．（2025·陕西汉中·三模）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【考点7：抛物线中的三角形或四边形的面积问题】 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程： （2）过点作直线l交C于A，B两点，求面积的最小值. 4．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 5．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【考点8：抛物线中的范围与最值问题】 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围． 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）已知，为抛物线上不同的两点. （1）若，求直线的倾斜角； （2）若，且的中点为，求到轴距离的最小值. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【考点9：抛物线中的直线过定点问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，动直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的倾斜角分别为和，若，证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 4．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 5．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【考点10：抛物线中的定值问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是曲线上的动点，点的坐标为，以为直径作圆，问：是否存在定直线被该圆截得的弦的长为定值？    2．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 3．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 5．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【考点11：抛物线中的定直线问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 4．（25-26高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 5．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $