第22章 一元二次方程 一元二次方程的定义基础卷2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

2025年华东师大版九年级上学期 第22章 一元二次方程 一元二次方程的定义基础卷 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+4＝7 B． C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．方程x2+5x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 3．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（2x﹣1）2＝8 B．2（x﹣1）2＝8 C．（x﹣1）2＝8 D．2（x﹣1）2＝4 4．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为2，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣1 5．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 7．若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 8．若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 9．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条．除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（　　） A．（24﹣2x）（40﹣2x）＝520 B．（24﹣x）（40﹣x）＝520 C．（24﹣x）（40﹣2x）＝520 D．（24﹣2x）（40﹣x）＝520 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题（共6小题） 11．方程x2﹣2x＝0的根是 　 　 ． 12．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝　 　 ． 14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 　 　 ． 16．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．解下列方程． （1）x2+10x﹣2＝0； （2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0． 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 19．先化简．再求值：．其中a是方程x2+x﹣2＝0的解． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 22．下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：3x（3x﹣1）＝1﹣3x： 解：原方程可以化简为3x（3x﹣1）＝﹣（3x﹣1）．……第一步 两边同时除以（3x﹣1）得3x＝﹣1．……第二步 系数化为1，得．……第三步 任务： （1）李华的解法是不正确的，他从第 　 　 步开始出现了错误． （2）请完成这个方程的正确解题过程． 23．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是方程x2+2mx+2m﹣1＝0的根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，求m的值． 24．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程﹣12x2﹣x+1＝0的倒方程是 　 　 ； （2）若x＝5是x2﹣3x+c＝0的倒方程的解，求出c的值． （3）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2﹣mn﹣10m的值． 25．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　 　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　 　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 2025年华东师大版九年级上学期 第22章 一元二次方程 一元二次方程的定义基础卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B D A D C B 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+4＝7 B． C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【解答】解：A．xy+4＝7含有两个未知数，不符合定义，不符合题意； B．分母中含未知数，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； C．x2+3x﹣5＝0只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合定义，符合题意； D．ax2+bx+c＝0中a＝0时不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．方程x2+5x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 【分析】求出判别式的值即可判断． 【解答】解：方程x2+5x﹣4＝0， ∵Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞0， ∴方程有不相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 3．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（2x﹣1）2＝8 B．2（x﹣1）2＝8 C．（x﹣1）2＝8 D．2（x﹣1）2＝4 【分析】把常数项﹣6移项后，提出公因式2，然后括号内配方求解即可． 【解答】解：2x2﹣4x﹣6＝0， 移项得2x2﹣4x＝6， 配方得2（x2﹣2x+1﹣1）＝6， 2（x﹣1）2﹣2＝6， 2（x﹣1）2＝6+2， 2（x﹣1）2＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 4．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为2，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣1 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到4﹣6+a＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 即a的值为2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【分析】先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再由方程有实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，最后联立得到结果． 【解答】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0． 其中 Δ＝32﹣4•k•（﹣2）＝9+8k， ∴9+8k≥0，即 8k≥﹣9， ∴． 综上， 且 k≠0． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定k≠0，再结合根的判别式求出k的取值范围． 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断． 【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0， 解得k≤1且k≠0， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 7．若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【分析】关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，根据题意得到x+2＝2025，从而得到x＝2023． 【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， 此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程， ∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025， 解得x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【分析】根据方程解的定义求出m2﹣4m＝﹣2，整体代入求解． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根， ∴m2﹣4m+2＝0， ∴m2﹣4m＝﹣2， ∴2020﹣2m2+8m＝2020﹣2（m2﹣4m）＝2020+4＝2024． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 9．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条．除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（　　） A．（24﹣2x）（40﹣2x）＝520 B．（24﹣x）（40﹣x）＝520 C．（24﹣x）（40﹣2x）＝520 D．（24﹣2x）（40﹣x）＝520 【分析】设修建的路宽为x米，利用图形的平移法，将种植面积平移拼接为长方形，即可列出方程． 【解答】解：根据题意可列方程为（24﹣x）（40﹣2x）＝520． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．方程x2﹣2x＝0的根是 x1＝0，x2＝2　 ． 【分析】利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝　3　 ． 【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2， ∴x1•x23． 故答案为3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 13．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意把x＝1代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答． 【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0中，得 a2＝1， ∴a＝±1， 由题意得： a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m且m≠2　 ． 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（m﹣2）×1≥0且m﹣2≠0， 解得m且m≠2， 故答案为：m且m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 　﹣7　 ． 【分析】先将代数式变形整理，然后将x＝﹣2代入原方程，利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式＝3（2a﹣b）+2， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2， ∴4a﹣2b+6＝0， 4a﹣2b＝﹣6， ∴2a﹣b＝﹣3， ∴原式＝3×（﹣3）+2＝﹣9+2＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查代数式求值，一元二次方程的解，理解方程的解的概念，运用整体思想解题是关键． 16．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　　 ． 【分析】由a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b可知a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，继而知a+b＝﹣5，ab＝2，且a＜0，b＜0，将其代入到原式可得答案． 【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b， ∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根， 则a+b＝﹣5，ab＝2， ∴a＜0，b＜0， 则原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据a、b满足的等式判断出a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根且a+b＝﹣5，ab＝2，a＜0，b＜0是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．解下列方程． （1）x2+10x﹣2＝0； （2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0． 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+10x＝2， x2+10x+25＝2+25， （x+5）2＝27， 或， ∴，； （2）原方程分解因式可得： （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝5，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40﹣x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利＝1200元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利＝1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为：y＝（40﹣x）（20+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x， 由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 即：（x﹣10）（x﹣20）＝0， 解，得x1＝10，x2＝20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1500， 整理，得2x2﹣60x+700＝0， Δ＝602﹣2×4×700＝3600﹣5600＜0， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， 由题意，得y＝（40﹣x）（20+2x）， ＝800+80x﹣20x﹣2x2， ＝﹣2（x2﹣30x+225）+450+800， ＝﹣2（x﹣15）2+1250， 当x＝15元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 19．先化简．再求值：．其中a是方程x2+x﹣2＝0的解． 【分析】因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【解答】解：原式 ； ∵a是方程x2+x﹣2＝0的解， ∴a2+a﹣2＝0，即a2+a＝2， ∴原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； （2）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案； （2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc， 9＝（k+2）2﹣2×2k， 解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 故△ABC的周长C＝5． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键． 22．下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：3x（3x﹣1）＝1﹣3x： 解：原方程可以化简为3x（3x﹣1）＝﹣（3x﹣1）．……第一步 两边同时除以（3x﹣1）得3x＝﹣1．……第二步 系数化为1，得．……第三步 任务： （1）李华的解法是不正确的，他从第 　二　 步开始出现了错误． （2）请完成这个方程的正确解题过程． 【分析】（1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到3x（3x﹣1）+（3x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为3x﹣1＝0或3x+1＝0，然后解两个一次方程． 【解答】解：（1）他从第二步开始出现了错误； 故答案为：二； （2）3x（3x﹣1）＝﹣（3x﹣1）， 3x（3x﹣1）+（3x﹣1）＝0， （3x﹣1）（3x+1）＝0， 3x﹣1＝0或3x+1＝0， 所以x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 23．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是方程x2+2mx+2m﹣1＝0的根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（2m﹣2）2≥0，进而证得结论； （2）利用根与系数的关系，求出两根和以及两根积，代入等式计算即可． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝（2m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由x1，x2是方程x2+2mx+2m﹣1＝0的根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m﹣1， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2m﹣1﹣2（﹣2m）+4 ＝6m+3， ∴6m+3＝10， 解得． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键掌握相关的知识点． 24．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程﹣12x2﹣x+1＝0的倒方程是 x2﹣x﹣12＝0　 ； （2）若x＝5是x2﹣3x+c＝0的倒方程的解，求出c的值． （3）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2﹣mn﹣10m的值． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程x2﹣3x+c＝0的倒方程为cx2﹣3x+1＝0，把x＝5代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程x2﹣5x﹣1＝0的倒方程为﹣x2﹣5x+1＝0，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【解答】解：（1）方程的倒方程是x2﹣x﹣12＝0； 故答案为：x2﹣x﹣12＝0； （2）由题意得：方程的倒方程为cx2﹣3x+1＝0， 把x＝5代入方程cx2﹣3x+1＝0得：25c﹣15+1＝0， ∴； （3）由题意得：方程x2﹣5x﹣1＝0的倒方程为﹣x2﹣5x+1＝0， ∵m，n是方程﹣x2﹣5x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝﹣5，mn＝﹣1，﹣n2﹣5n+1＝0， ∴n2＝1﹣5n， ∴2n2﹣mn﹣10m＝2（n2﹣5m）﹣mn ＝2[1﹣5（n+m）]﹣mn ＝2×[1﹣5×（﹣5）]﹣（﹣1） ＝53． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． 25．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　﹣1或3　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 【分析】（1）①当m＝2 时，方程为x2﹣3x+2＝0，求得，于是得到结论； ②根据题意得到求得，解方程即可得到结论； （2）求得b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29，得到45＜4m+29＜89，其中完全平方数有49、64和81，解方程即可得到结论； （3）由于方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”是，方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码是，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）①当 m＝2 时，方程为 x2﹣3x+2＝0， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得m1＝﹣1，m2＝3 则当m＝﹣1或3时，若该全整根方程的“关爱码”是﹣1， 故答案为：﹣1或3； （2）∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， 其中完全平方数有49、64和81， 当4m+29＝49 时，m＝5， 当4m+29＝64时， （不合题意）， 当4m+29＝81时，m＝13， 当m＝5时，原方程为x2﹣7x＝0， 则， 当m＝13时，原方程为x2﹣23x+112＝0， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）方程 x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码， 由题意得：， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∴m+n＝0 或 m﹣n＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＝0不合题意， ∴m﹣n＝2． 【点评】本题考查的是“全整根伴侣方程”、“全整根方程”的“关爱码”、正确理解“全整根方程”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/12 21:10:13；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $